Voici tous les exercices bac de maths des annales sur la dérivation et la convexité, classés du plus récent au plus ancien.
Tableau de variations, tangente, dérivée seconde : l’étude de fonction reste le cœur de nombreux exercices de spécialité. Retrouvez ici 106 énoncés sur la dérivation et la convexité au bac, extraits des annales de 2007 à 2026.
Les questions typiques : dériver une fonction composée, étudier le signe de \(f^{\prime}\) pour dresser les variations, écrire l’équation d’une tangente, puis déterminer la convexité à partir du signe de \(f^{\prime\prime}\) et localiser un point d’inflexion. Une lecture graphique précède souvent le calcul.
Attention à ne pas confondre le signe de \(f\), celui de \(f^{\prime}\) et celui de \(f^{\prime\prime}\) : chacun renseigne sur une propriété différente. Les exercices sont rangés du plus récent au plus ancien, avec un lien vers le sujet complet, et le corrigé est placé en bas de page. Ces questions rapportent beaucoup de points lorsqu’elles sont rédigées avec méthode, car elles s’enchaînent souvent dans un même exercice.
Exercices bac de maths par thème · Corrigé bac de maths : Dérivation et convexité
Exercices bac de maths : les 106 exercices des annales sur la dérivation et la convexité
Session 2026
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=5\ln(x^2+1)-3x\) : conjecture de convexité, limites, dérivée et variations. Par ailleurs, dérivée seconde, tangente et inégalité logarithmique déduite de la concavité.
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\) et suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) : variations, récurrence et convergence. Ensuite, suite géométrique auxiliaire, script Python et encadrement d’une somme de carrés.
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x(\ln x)^2\) : limites, variations et maximum. Enfin, TVI, intégrale calculée par deux intégrations par parties et sa limite.
Antilles-Guyane – jour 1 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Lecture graphique puis étude de \(f(x)=x\ln(2x-1)\) : limite, convexité et point d’inflexion. En outre, aire par intégration par parties et généralisation à \(f_a\).
Antilles-Guyane – jour 2 · Exercice 3 · 4 points Spécialité maths
Vrai-faux d’analyse : solutions d’équations différentielles \(y^{\prime}+2y=0\) et \(y^{\prime}-3y=2-6x\). Ensuite, convexité de \(x-\cos x\) et asymptote de \(1+\frac{\sin x}{x}\).
Antilles-Guyane – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Famille de fonctions \(f_k(x)=1-x+\frac{k(1+\ln x)}{x}\) : lecture graphique d’une primitive, dérivées première et seconde. Puis, point d’inflexion, limites et existence d’un maximum.
Asie – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(g(x)=x\cos x-\sin x\) et de \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) sur \([0;2\pi]\) : dérivées et théorème des valeurs intermédiaires. Enfin, limite en 0 et inégalité sur les sinus.
Asie – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Lancers-francs au basket : loi binomiale et espérance. De plus, loi de \(Y\) sur 3 lancers et étude de \(f(x)=-2x^3+3x^2\).
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\) : limites, variations, tangente, convexité et point d’inflexion. Par ailleurs, inégalité, suite d’intégrales, méthode des rectangles en Python et intégration par parties.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Courbes de \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\), équation différentielle \(y^{\prime}+y=(2x-3)\mathrm{e}^{-x}\), étude de la solution et nombre de tangentes passant par l’origine.
France – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=a+\frac{b\ln(x+1)}{x+1}\) : lecture graphique de tangente, convexité, dérivée et asymptote. Enfin, variations, théorème des valeurs intermédiaires et calcul d’aire par intégrale.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=(3x-1)e^{-x}+2\) : limites, dérivée et variations. En outre, solution unique de \(f(x)=0\), aire sous la courbe par primitive et position par rapport à une tangente.
France – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Logo industriel modélisé par \(f(x)=(2x-1)\mathrm{e}^{-2x+3}\) : lecture graphique, primitives et limite en l’infini. Ensuite, variations, valeurs intermédiaires et calcul d’aire par intégrale.
Polynésie – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Cinq affirmations vrai/faux : convexité de \(x\mathrm{e}^{x^2}\), répartition de rapaces en groupes et équation différentielle \(y^{\prime}=-y+1\). Puis, limite de \(\dfrac{\sin n}{n}\), aire entre parabole et droite.
Session 2025
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\mathrm{e}^x\sin x\) sur \([0;\pi]\) : variations, tangente et convexité. De plus, point d’inflexion, intégrations par parties et aire entre deux courbes.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Concentration d’un médicament dans le sang : lectures graphiques, équation différentielle \(y^{\prime}+y=5\text{e}^{-t}\) et étude de \(f(t)=5t\text{e}^{-t}\). Par ailleurs, TVI et valeur moyenne par intégrale.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Distance d’un point à la droite (CK) minimisée par étude de fonction, projeté orthogonal, orthocentre par produit scalaire, équation du plan (ABC) et aire du triangle.
Asie (septembre) · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Vrai/faux sur \(f(x)=x\text{e}^{-2x}\) : dérivée, équation différentielle et convexité. Enfin, unicité d’une solution et aire sous la courbe par intégration.
Asie – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\) : primitive, limites et variations. En outre, TVI, intégrale sur \([1;2]\) et convexité.
Asie – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Température d’une réaction chimique modélisée par \(f(t)=(60t+40)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) : équation différentielle et variations. Ensuite, théorème des valeurs intermédiaires et valeur moyenne par intégration par parties.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Fonction logistique \(f(x)=\frac{1}{1+e^{-0,2x}}\) : paramètres par tangente, limite et variations. Puis, théorème des valeurs intermédiaires, primitive et valeur moyenne sur \([0;40]\).
France – jour 1 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Lectures graphiques puis étude de \(f(x)=x[2(\ln x)^2-3\ln x+2]\) : limite et convexité. Enfin, position par rapport à une tangente et aire par intégration par parties.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 4 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=\frac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x}\) : signe et aire maximale d’un rectangle inscrit sous la courbe. De plus, script Python de seuil à compléter.
France – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Freinage d’un chariot de manège : lecture graphique de la distance et de la tangente. Par ailleurs, équation différentielle \(y^{\prime}+0,6y=e^{-0,6t}\) donnant la vitesse et étude de fonction.
Nouvelle-Calédonie – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\frac{\ln x}{x^2}+1\) : limites, asymptotes et variations. Ensuite, TVI et distance minimale de l’origine à la courbe du logarithme.
Polynésie (septembre) · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Population animale d’une réserve : deux modèles par équations différentielles, fonction logistique \(f(x)=\frac{800}{1+15\text{e}^{-0{,}05x}}\) et limite. Enfin, variations et convexité de la vitesse de croissance.
Polynésie – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x\ln(x-2)\) : conjectures graphiques, limite, dérivée seconde et variations. En outre, convexité, point d’inflexion et tangentes de pente 3.
Session 2024
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x\ln(x^2)-\frac{1}{x}\) : lecture graphique de la tangente, limites et dérivée seconde. Puis, convexité, point d’inflexion et solution unique de \(f(x)=0\).
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 4 · 4 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=a\ln(x)\) : intersection avec l’axe des abscisses et primitive \(a(x\ln x-x)\). Enfin, aire d’un domaine et longueur AB constante liée à une tangente.
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=(x^2-4)\mathrm{e}^{-x}\) : limites, dérivée et variations. De plus, suite d’intégrales \(I_n\) par intégration par parties et calcul d’une aire.
Asie – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=(4x-2)e^{-x+1}\) : lecture graphique, variations et convexité. Par ailleurs, primitive et intégrale pour le profil d’une piste de trottinette.
Asie – jour 2 · Exercice 1 · 5,5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x^2-x\ln x\) : limites, dérivée seconde et variations. Ensuite, résolution de \(f(x)=x\) et suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) montrée monotone par récurrence.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Contrôle antidopage : variations de \(f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}\) et arbre pondéré. Enfin, probabilités totales et valeur prédictive positive du test selon la proportion de dopés.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\frac{e^x}{x-1}\) : limites, asymptote, dérivée et variations. En outre, convexité, tangente en 0 et solution unique de \(f(x)=-2\).
France (septembre) – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Bonbons au chocolat : volume par intégration par parties de \((1-x^2)\mathrm{e}^x\), bénéfice \(B(q)=8q^2(2-3\ln q)-3\) et variations. Ensuite, maximum et valeurs intermédiaires.
France – jour 1 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x-2+\frac{1}{2}\ln x\) : limites, variations et convexité. Puis, TVI, fonction auxiliaire g et aire entre deux courbes par une intégrale.
France – jour 2 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2)\) : lecture graphique, limite, variations et TVI. Enfin, point d’inflexion, distance minimale entre un point et la courbe de \(\ln(x+2)\).
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Fonction logistique \(f(x)=\frac{6}{1+5e^{-x}}\) : asymptote, variations et convexité. De plus, primitive, aire et résolution de l’équation différentielle \(y^{\prime}=y-\frac{1}{6}y^2\).
Session 2023
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=e^{3x}-(2x+1)e^x\) via la fonction auxiliaire \(g(x)=3e^{2x}-2x-3\) : limites, variations et solutions de \(g(x)=0\). Ensuite, signe et convexité.
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Lecture graphique de \(f^{\prime}\) puis étude de \(f(x)=(x^2-5x+6)e^x\) : limites et variations. Enfin, tangente au point d’abscisse 0 et convexité.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=1+x^2-2x^2\ln(x)\) : limites, variations et TVI. En outre, dichotomie en Python, maximum de \(g(x)=\ln(x)/(1+x^2)\) et intersection de tangentes.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Suite logistique \(u_{n+1}=2u_n(1-u_n)\) : variations de la fonction associée, récurrence et convergence. Ensuite, limite, modèle de population de Verhulst avec suite géométrique et stabilisation.
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\ln(1+e^{-x})+\frac14x\) : limite, variations et valeurs intermédiaires. Puis, convexité et position par rapport à une tangente.
Asie – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Nombre de solutions de l’équation \(\ln x=kx\) selon le paramètre \(k\) : conjectures graphiques et étude de variations. Enfin, extremum et discussion à l’aide du logarithme.
Asie – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Vérification de conjectures sur \(f(x)=\ln(\text{e}^{2x}-\text{e}^x+1)\) : fonction auxiliaire, limites et variations. De plus, signe, tangente en 0 et théorème des valeurs intermédiaires.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Fonction auxiliaire \(g(x)=\ln(x^2)+x-2\) et TVI, puis étude de \(f(x)=\frac{x-2}{x}\ln x\) : limites et dérivée. Par ailleurs, variations et position relative avec la courbe de ln.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Fonction logistique \(f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-3x}}\) : lectures graphiques, dérivée, limites et équation. Ensuite, tangente, dérivée seconde, convexité et point d’inflexion.
France – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x^2-8\ln(x)\) : limites, dérivée et tableau de variations. Enfin, solutions de \(f(x)=0\), signe et valeur de \(k\) rendant \(g_k\) positive.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 4 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(g(x)=\frac2x-\frac1{x^2}+\ln x\) avec TVI, puis de \(f(x)=\text{e}^x\ln x\) : dérivée seconde, point d’inflexion et convexité. En outre, limites et variations.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=(2-\ln x)\ln x\) : lecture graphique de \(f^{\prime}\), limites et intersections avec l’axe des abscisses. Ensuite, variations, convexité et point d’inflexion.
France – jour 2 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^{-x})\) : limites, dérivée et variations. Puis, tangente en 0, convexité pour une inégalité et parallélisme d’une corde avec la tangente.
La Réunion – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=3x+1-2x\ln x\) : limites, variations, valeurs intermédiaires et signe. Enfin, primitive, convexité, tangente et inégalité \(\ln x\geq\, 1-\frac{1}{x}\).
Mayotte-Liban – jour 1 · Exercice 4 · 3 points Spécialité maths
Vrai-faux sur une population de bactéries modélisée par \(f(t)=e^3-e^{-0,5t^2+t+2}\) : variations et limite en l’infini. De plus, nombre de solutions d’une équation.
Nouvelle-Calédonie – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln x\) : limites, dérivées première et seconde. Par ailleurs, convexité, valeurs intermédiaires pour \(f^{\prime}(x)=0\) et encadrement du maximum.
Nouvelle-Calédonie – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=xe^{-x}\) : asymptote, variations et nombre de solutions. Ensuite, convexité, tangente en un point et maximum de son ordonnée à l’origine.
Polynésie (septembre) · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=(x+\frac12)\mathrm{e}^{-x}+x\) : limites, dérivée seconde et solution unique de \(f(x)=0\). Enfin, points d’inflexion et tangente pour déterminer une fonction.
Polynésie – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Identification graphique de \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) avec points d’inflexion, puis fonction logistique \(g(x)=\frac{4}{1+e^{-kx}}\) : limites et dérivée en 0. En outre, inflexion.
Session 2022
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 4 · 7 points Spécialité maths
Vrai/faux sur la fonction exponentielle : identité algébrique, équation et tangente horizontale de \(x^2\text{e}^{-x}\). Puis, point d’inflexion, limite et inégalité.
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Profil de toboggan \(f(x)=\frac{e^x}{1+x^2}\) : étude du polynôme \(p\), valeurs intermédiaires et dérivée. Enfin, tangente horizontale et points d’inflexion par la dérivée seconde.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(g(x)=1+x^2(1-2\ln x)\) : limite, variations et solution unique \(\alpha\). De plus, signe, concavité et position par rapport à la corde \((AB)\).
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=3x-x\ln x-2\ln x\) grâce à une fonction auxiliaire : limites, variations et deux solutions de \(g(x)=0\). Par ailleurs, convexité et point d’inflexion.
Asie – jour 1 · Exercice 4 · 7 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=\ln(x^2+1)+3-\ln 2\) : paramètres par lecture de tangente, parité et limites. Ensuite, variations, équation \(f(x)=k\) et convexité.
Asie – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\ln(x^2-x-6)\) : lecture graphique de \(f\), \(f^{\prime}\), limites et asymptote. Enfin, variations, TVI pour \(f(x)=3\) et convexité.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 1 · 7 points Spécialité maths
QCM sur le logarithme : nombre de solutions, convexité, point d’inflexion et primitive. En outre, ensemble de définition, tangente et inéquation \(\ln(x+3)<2\ln(x+1)\).
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(h(x)=e^x-x\), tangente à la courbe de l’exponentielle en 0, puis suite \(u_n=e^{1/n}-\frac{1}{n}-1\) : limite et monotonie.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x\ln(x)+1\) : limites, variations, tangente et convexité. Puis, suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) bornée par récurrence, croissante et convergente.
France – jour 1 · Exercice 1 · 7 points Spécialité maths
Protocoles de traitement médical : étude de \(f(t)=3t\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}\) et maximum. Enfin, valeurs intermédiaires et injections horaires modélisées par \(u_{n+1}=0{,}7u_n+1{,}8\).
France (septembre) – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
QCM : suites géométriques, couplées et programme Python. De plus, convexité lue sur la courbe de la dérivée, tangente et primitive de \((x^2+1)e^x\).
France – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
QCM : extremums, convexité lus sur la courbe de \(f^{\prime}\) et signe de \(f^{\prime\prime}\). Par ailleurs, théorèmes de comparaison et de convergence des suites.
France – jour 2 · Exercice 4 · 7 points Spécialité maths
Trajectoires d’une balle de golf : étude d’un polynôme, de \(g(x)=(-0{,}15x+2{,}2)\mathrm{e}^{0{,}2x}-2{,}2\) et limites. Ensuite, variations, tangentes et angles de décollage.
Mayotte-Liban – jour 1 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
QCM sur suites et logarithme : baisse de 15 % par heure, propriétés de \(\ln\) et asymptotes. Enfin, tangente et points d’inflexion de \(h(x)=x^2(1+2\ln x)\).
Mayotte-Liban – jour 2 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
QCM : convexité de \(x^{1000}+x\), tangente lue sur la courbe de \(f^{\prime}\) et suites bornées. En outre, alternées, arithmético-géométriques et croissance cellulaire.
Nouvelle-Calédonie – jour 1 · Exercice 1 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x^2-6x+4\ln x\) : limites, dérivée, variations et solution unique dans \([4;5]\). Ensuite, convexité, point d’inflexion et position d’une corde par rapport à la courbe.
Nouvelle-Calédonie – jour 2 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x\ln(x)-x-2\) : dérivée, tangente, convexité et position relative. Puis, limites, TVI et fonction seuil en Python.
Polynésie (septembre) · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(g(x)=\frac{2\ln x}{x}\) puis de \(f(x)=(\ln x)^2\) comme primitive de g : convexité et variations. Enfin, tangente et inégalité.
Polynésie – jour 1 · Exercice 1 · 7 points Spécialité maths
QCM : dérivée d’un logarithme, primitive de \(\ln x\) et limite de suite. De plus, convexité à partir de \(f^{\prime}\), lecture graphique et fonction Python de seuil.
Polynésie – jour 2 · Exercice 1 · 7 points Spécialité maths
QCM sur les fonctions : dérivée de \(x\ln x-x+1\), limite en 0 et nombre de solutions d’une équation cubique. Par ailleurs, primitive d’une composée, tangente et inéquation \(0{,}2^n\lt 0{,}001\).
Session 2021
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
QCM : dérivée seconde de \(xe^{-2x}\), combinaisons de spécialités et variations lues sur \(f^{\prime}\). Enfin, probabilité d’une intersection et signe de la dérivée.
France – jour 1 · Exercice 1 · 4 points Spécialité maths
QCM sur \(f(x)=\frac{e^{2x}}{x}\) : dérivée et extremum. En outre, limite en l’infini et convexité à partir de la dérivée seconde.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 1 · 4 points Spécialité maths
QCM à partir de la courbe de \(f(x)=(ax+b)\text{e}^x\) : nombre dérivé, tangente et paramètres. Ensuite, convexité, point d’inflexion et comparaison de suites.
France (mars) – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}\) : limites, asymptote et dérivée. Puis, variations, nombre de solutions de \(f(x)=m\) et tangente parallèle à une droite donnée.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Crapauds accoucheurs des Pyrénées : étude de \(f(t)=(0{,}04t^2-8t+400)e^{t/50}+40\) et minimum. Enfin, seuil et arbre sur les lacs infectés.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=x-\text{e}^{-2x}\) : limites, variations et valeurs intermédiaires. De plus, signe, point de la courbe de \(\text{e}^{-x}\) le plus proche de l’origine et tangente perpendiculaire.
Session 2020
Antilles-Guyane (septembre) · Exercice 2 · 6 points Bac S
Fonctions \(g(x)=1-\mathrm{e}^{-x}\) et \(f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{-kx}+1\) : limite, variations et tangente. Ensuite, encadrement et calcul d’une aire par primitive.
Nouvelle-Calédonie · Exercice 3 · 5 points Bac S
Distance minimale entre un point A et la courbe de \(f(x)=3-\frac{2}{1+\text{e}^x}\) : limites, variations de \(g\) et minimum. Enfin, dérivée et tangente perpendiculaire.
Polynésie (septembre) · Exercice 3 · 6 points Bac S
Étude de \(f(x)=x\text{e}^{-x^2+1}\) : limite, symétrie de la courbe et variations. En outre, équation \(f(x)=0{,}5\), intégrale \(I_A\) et aire d’une région grisée.
Session 2019
Antilles-Guyane · Exercice 1 · 6 points Bac S
Proportion d’équipés modélisée par une fonction exponentielle : paramètres par tangente, variations et limite. Puis, année de saturation, primitive et valeur moyenne.
France · Exercice 1 · 6 points Bac S
Arceau de serre modélisé par \(f(x)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})\) : limite, variations et solutions de \(f(x)=0\). Enfin, longueur de courbe et aire de bâche.
Liban · Exercice 1 · 5 points Bac S
Fonction \(f(x)=x(1-\ln x)^2\) : dérivée et variations. De plus, tangente à la courbe du logarithme et aire maximale du triangle ONP.
Nouvelle-Calédonie (mars) · Exercice 2 · 6 points Bac S
Fonction auxiliaire \(g(x)=(x+2)e^{x-4}-2\), étude de \(f(x)=x^2-x^2e^{x-4}\), maximum, position par rapport à une parabole et aire exacte par primitive.
Session 2018
France · Exercice 1 · 6 points Bac S
Arc de chaînette et Gateway Arch : étude de \(f(x)=e^x+e^{-x}-4x-2\), limite et variations. Enfin, solution unique et algorithme de dichotomie.
Session 2017
Antilles-Guyane · Exercice 3 · 3 points Bac S
Tangentes aux courbes de \(e^x\) et \(e^{-x}\) en une même abscisse : perpendicularité par produit scalaire et longueur PQ constante égale à 2.
Antilles-Guyane · Exercice 4 · 5 points Bac S
Équation \(\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac1n\) : variations de \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) et solution unique \(\alpha_n\) dans \([1;\mathrm{e}]\). Puis, monotonie et convergence de la suite \((\alpha_n)\).
Polynésie · Exercice 2 · 5 points Bac S
Corrigé : cône obtenu en découpant un disque et volume \(V(h)=\frac{1}{3}\pi(400-h^2)h\) maximisé par dérivation. Enfin, angle du secteur à retirer et indépendance vis-à-vis du rayon.
Session 2013
Amérique du Nord · Exercice 4 · 5 points Bac S
Étude de \(f(x)=\frac{1+\ln x}{x^2}\) : limites, asymptotes et variations. Par ailleurs, signe, encadrement et calcul des intégrales \(I_n\).
France · Exercice 2 · 7 points Bac S – spécialité
Étude de \(f(x)=\frac{a+b\ln x}{x}\) à partir d’une tangente : détermination de a, b, limites et variations. Ensuite, TVI, algorithme et calcul d’aire.
Session 2012
Amérique du Nord · Exercice 3 Bac S
Fonction définie par \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^2}\) et \(f(1)=\frac{\pi}{4}\), intégration par parties et suite d’intégrales \(I_n\) de limite nulle par encadrement.
Antilles-Guyane · Exercice 1 · 6 points Bac S
Étude de \(f(x)=x\mathrm{e}^{x-1}+1\) : limites, dérivée et variations. Ensuite, tangentes passant par l’origine, calcul d’intégrale et d’aire.
Centres étrangers · Exercice 3 · 6 points Bac S
Équation \(e^x=3(x^2+x^3)\) : conjecture graphique et passage au logarithme. Puis, étude de fonction pour dénombrer les solutions.
France · Exercice 1 · 4 points Bac S – spécialité
Vrai/faux à partir de la courbe de la dérivée \(f^{\prime}\) : signe de la dérivée et variations de \(f\). Enfin, comparaison de valeurs et équation de tangente.
France · Exercice 1 · 4 points Bac S
Vrai-faux à partir de la courbe de la dérivée \(f^{\prime}\) : signe de la dérivée et variations. De plus, minimum de \(f\) et tangente au point d’abscisse 0.
Liban · Exercice 1 · 6 points Bac S
Fonction auxiliaire \(g(x)=2x^3-1+2\ln x\), théorème des valeurs intermédiaires, puis étude d’une fonction logarithme et calcul d’une intégrale.
Nouvelle-Calédonie (mars) · Exercice 4 · 6 points Bac S
Aire entre la courbe de \(xe^x\) et une ligne brisée : intégration par parties et aires d’un triangle. Ensuite, d’un trapèze et minimisation par étude de fonction.
Session 2011
France · Exercice 3 Bac S
Famille de fonctions \(f_n(x)=x^n\text{e}^{-x}\) : limites, variations et points communs. En outre, tangente, maximum et suite d’intégrales associée.
Session 2008
France · Exercice 1 · 5 points Bac S
Courbes de \(\ln x\) et \((\ln x)^2\) : primitive et intégration par parties. Puis, aire entre les courbes sur \([1\,;\mathrm{e}]\) et écart maximal par étude de fonction.
Session 2007
France · Exercice 5 · 5 points Bac S
Fonction \(f(x)=x-\frac{\ln(1+x)}{1+x}\) : dérivée, fonction auxiliaire et variations. De plus, intersection avec \(y=x\), suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) et sa convergence.
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Questions fréquentes
Comment déterminer la convexité d’une fonction au bac ?
On étudie le signe de la dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) : la fonction est convexe là où \(f^{\prime\prime}\) est positive, concave là où elle est négative. Un changement de signe de \(f^{\prime\prime}\) indique un point d’inflexion.
Quelle formule donne l’équation de la tangente ?
La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y = f^{\prime}(a)(x-a) + f(a)\). Il faut connaître cette formule par cœur, elle est très souvent utilisée.
Faut-il savoir dériver une fonction composée ?
Oui, au moins les formes usuelles comme \(e^{u}\), \(\ln(u)\) ou \(\sqrt{u}\). La formule générale de dérivation de \(g \circ u\) figure au programme de terminale et apparaît régulièrement dans les sujets.
Peut-on utiliser la calculatrice pour les variations ?
Elle permet de vérifier une conjecture, mais ne constitue pas une preuve. Les variations doivent être justifiées par l’étude du signe de la dérivée, rédigée dans la copie.
