Bac de maths 2021 en France (mars, sujet 1) : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Sujet 1
France métropolitaine — 15 mars 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1, commun à tous les candidats (5 points)

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

• 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel 60 % d’entre eux sont finalement admis à l’école.
• Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle 20 % d’entre eux sont admis à l’école.

Partie 1

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera :

• \(D\) l’évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
• \(A\) l’évènement « le candidat a été admis à l’école » ;
• \(\overline{D}\) et \(\overline{A}\) les évènements contraires des évènements \(D\) et \(A\) respectivement.

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école.

3. Montrer que la probabilité de l’évènement \(A\) est égale à \(0{,}24\).

4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?

Partie 2

1. On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \(0{,}24\).

On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \(X\) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort.

a. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?

b. Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième.

c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.

2. Un lycée présente \(n\) candidats au recrutement dans cette école, où \(n\) est un entier naturel non nul.

On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à \(0{,}24\) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

a. Donner l’expression, en fonction de \(n\), de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école.

b. À partir de quelle valeur de l’entier \(n\) la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à \(0{,}99\) ?

Exercice 2, commun à tous les candidats (5 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé.

1. a. Préciser la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}_f\).

2. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^x(x – 1)}{x^2}\]

où \(f^{\prime}\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(f\).

3. Déterminer les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

On établira un tableau de variations de la fonction \(f\) dans lequel apparaîtront les limites.

4. Soit \(m\) un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x) = m\).

5. On note \(\Delta\) la droite d’équation \(y = -x\).

On note A un éventuel point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\) en lequel la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) est parallèle à la droite \(\Delta\).

a. Montrer que \(a\) est solution de l’équation \(\text{e}^x(x – 1) + x^2 = 0\).

On note \(g\) la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = \text{e}^x(x – 1) + x^2\).

On admet que la fonction \(g\) est dérivable et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

b. Calculer \(g^{\prime}(x)\) pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de \(g\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

c. Montrer qu’il existe un unique point A en lequel la tangente à \(\mathcal{C}_f\) est parallèle à la droite \(\Delta\).

Exercice 3, commun à tous les candidats (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.

Le point I est le centre du carré ABCD.

On suppose que : \(\text{IC} = \text{IB} = \text{IS} = 1\).

Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].

1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l’espace \((\text{I}\,;\,\vec{\text{IC}},\,\vec{\text{IB}},\,\vec{\text{IS}})\).

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :

\[\text{I}(0\,;\,0\,;\,0) \quad ; \quad \text{A}(-1\,;\,0\,;\,0) \quad ; \quad \text{B}(0\,;\,1\,;\,0) \quad ; \quad \text{C}(1\,;\,0\,;\,0) \quad ; \quad \text{D}(0\,;\,-1\,;\,0) \quad ; \quad \text{S}(0\,;\,0\,;\,1).\]

2. Les coordonnées du milieu N de [KL] sont :

3. Les coordonnées du vecteur \(\vec{\text{AS}}\) sont :

4. Une représentation paramétrique de la droite (AS) est :

5. Une équation cartésienne du plan (SCB) est :

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B. Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques ; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.

La suite \((u_n)\) est définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]

1. Calculer, en détaillant les calculs, \(u_1\) et \(u_2\) sous forme de fraction irréductible.

L’extrait, reproduit ci-dessous, d’une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite \((u_n)\).

2. a. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de \((u_n)\) dans la colonne B ?

b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\).

3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\).

b. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\).

c. Démontrer que :

\[\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]

4. On désigne par \((v_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = u_n – n\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\).

b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = (\dfrac{3}{4})^n + n\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; convexité.

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = x + 4 – 4\ln(x) – \dfrac{3}{x}\]

où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

On note \(\mathcal{C}\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout nombre réel \(x \gt 0\), on a :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{x^2 – 4x + 3}{x^2}.\]

3. a. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

On admettra que \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = -\infty\).

b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équation \(f(x) = \dfrac{5}{3}\).

4. Étudier la convexité de la fonction \(f\) c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) sur lesquelles \(f\) est convexe, et celles sur lesquelles \(f\) est concave.

On justifiera que la courbe \(\mathcal{C}\) admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie 1

1. L’énoncé donne \(P(D) = 0{,}1\), \(P_D(A) = 0{,}6\) et \(P_{\overline{D}}(A) = 0{,}2\). On complète par passage au contraire : \(P(\overline{D}) = 0{,}9\), \(P_D(\overline{A}) = 0{,}4\) et \(P_{\overline{D}}(\overline{A}) = 0{,}8\).

2. On suit le chemin \(D\) puis \(A\) de l’arbre et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(D \cap A) = P(D) \times P_D(A) = 0{,}1 \times 0{,}6 = 0{,}06.\]

La probabilité qu’un candidat soit sélectionné sur dossier puis admis est \(0{,}06\).

3. Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers. Avec \(P(\overline{D} \cap A) = 0{,}9 \times 0{,}2 = 0{,}18\), la formule des probabilités totales donne :

\[P(A) = P(D \cap A) + P(\overline{D} \cap A) = 0{,}06 + 0{,}18 = 0{,}24.\]

On a bien \(P(A) = 0{,}24\).

4. On sait que le candidat est admis : on calcule la probabilité conditionnelle de \(\overline{D}\) sachant \(A\).

\[P_A(\overline{D}) = \dfrac{P(\overline{D} \cap A)}{P(A)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}24} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75.\]

Un candidat admis a été recruté par l’épreuve écrite avec une probabilité de \(0{,}75\) : trois admis sur quatre viennent de l’écrit.

Partie 2

1. a. On répète 7 fois, de façon indépendante (tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « le candidat est admis » a pour probabilité \(0{,}24\). \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 7\) et \(p = 0{,}24\).

b. On cherche \(P(X = 1)\) :

\[P(X = 1) = \binom\,{7}{1} \times 0{,}24^1 \times 0{,}76^6 = 7 \times 0{,}24 \times 0{,}76^6 \approx 0{,}324.\]

Au centième, \(P(X = 1) \approx 0{,}32\).

c. « Au moins deux » est le contraire de « zéro ou un ». Avec \(P(X = 0) = 0{,}76^7 \approx 0{,}146\) :

\[P(X \geq\, 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) \approx 1 – 0{,}146\,5 – 0{,}323\,7 \approx 0{,}530.\]

Au centième, \(P(X \geq\, 2) \approx 0{,}53\).

2. a. Chacun des \(n\) candidats est refusé avec la probabilité \(1 – 0{,}24 = 0{,}76\), et les résultats sont indépendants. La probabilité qu’aucun ne soit admis est le produit de ces \(n\) probabilités : \(0{,}76^n\).

b. La probabilité qu’au moins un élève soit admis est l’évènement contraire : \(1 – 0{,}76^n\). On résout :

\[1 – 0{,}76^n \geq\, 0{,}99 \iff 0{,}76^n \leq\, 0{,}01 \iff n \ln(0{,}76) \leq\, \ln(0{,}01),\]

par stricte croissance de \(\ln\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Comme \(\ln(0{,}76) \lt 0\), la division change le sens de l’inégalité :

\[n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}76)} \approx 16{,}78.\]

Vérification : \(1 – 0{,}76^{16} \approx 0{,}988 \lt 0{,}99\) et \(1 – 0{,}76^{17} \approx 0{,}991 \geq\, 0{,}99\). C’est donc à partir de \(n = 17\) candidats que la probabilité d’avoir au moins un admis atteint 99 %.

Exercice 2 :

1. a. Par croissance comparée de l’exponentielle et des puissances, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\).

b. Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives, \(\text{e}^x\) tend vers \(\text{e}^0 = 1\) et \(\dfrac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty\). Une limite infinie en 0 signifie que la droite d’équation \(x = 0\), c’est-à-dire l’axe des ordonnées, est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).

2. \(f\) est le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \text{e}^x\), \(u^{\prime}(x) = \text{e}^x\), \(v(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = 1\), et \(v\) ne s’annule pas sur \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^x \times x – \text{e}^x \times 1}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x – 1)}{x^2}.\]

3. Pour \(x \gt 0\), \(\text{e}^x \gt 0\) et \(x^2 \gt 0\) : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 1\). Donc \(f^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(f^{\prime}(1) = 0\) et \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,1]\) et strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(f(1) = \text{e}\).

4. On raisonne sur chacun des deux intervalles de monotonie, où \(f\) est continue et strictement monotone.

• Si \(m \lt \text{e}\) : le minimum de \(f\) est \(\text{e}\), donc \(f(x) \geq\, \text{e} \gt m\) pour tout \(x\) : aucune solution.
• Si \(m = \text{e}\) : le minimum n’est atteint qu’en \(x = 1\) : une seule solution, \(x = 1\).
• Si \(m \gt \text{e}\) : sur \(]0\,;\,1]\), \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(\text{e}\), et sur \([1\,;\,+\infty[\), elle croît de \(\text{e}\) à \(+\infty\). Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une solution unique dans chacun des deux intervalles : deux solutions.

5. a. Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur. Celui de \(\Delta\) est \(-1\) et celui de la tangente en A est \(f^{\prime}(a)\). La condition s’écrit donc, avec \(a \gt 0\) :

\[\dfrac{\text{e}^a(a – 1)}{a^2} = -1 \iff \text{e}^a(a – 1) = -a^2 \iff \text{e}^a(a – 1) + a^2 = 0.\]

(On a multiplié par \(a^2 \neq 0\).) Ainsi \(a\) est solution de l’équation \(\text{e}^x(x – 1) + x^2 = 0\).

b. On dérive le produit \(\text{e}^x(x – 1)\) et le carré :

\[g^{\prime}(x) = \text{e}^x(x – 1) + \text{e}^x \times 1 + 2x = x\,\text{e}^x + 2x = x(\text{e}^x + 2).\]

Sur \([0\,;\,+\infty[\), \(x \geq\, 0\) et \(\text{e}^x + 2 \gt 0\), donc \(g^{\prime}(x) \geq\, 0\), avec égalité seulement en 0 : \(g\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). On a \(g(0) = 1 \times (-1) + 0 = -1\) et, comme \(\text{e}^x(x – 1)\) et \(x^2\) tendent vers \(+\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

c. La fonction \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec \(g(0) = -1 \lt 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) dans \([0\,;\,+\infty[\), et \(a \neq 0\) puisque \(g(0) \neq 0\) : \(a\) appartient bien à \(]0\,;\,+\infty[\).

D’après la question a (où chaque étape est une équivalence), les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à \(\Delta\) sont exactement ceux dont l’abscisse est solution de \(g(x) = 0\). Il existe donc un unique point A qui convient. La calculatrice donne \(g(0{,}73) \lt 0 \lt g(0{,}74)\), d’où \(a \approx 0{,}74\) et \(f(a) \approx 2{,}83\).

Exercice 3 :

1. Les droites (DK) et (SD) sont confondues (K est sur [SD]) ; (AS) et (IC) se coupent en A, car (IC) est la droite (AC) ; (LM) est parallèle à (CB) par le théorème des milieux dans le triangle SCB, donc à (AD) : ces trois paires sont coplanaires. En revanche, (AC) est contenue dans le plan de la base, que (SB) ne coupe qu’au point B ; comme B n’est pas sur la diagonale (AC), les deux droites n’ont aucun point commun sans être parallèles. Réponse c.

2. K milieu de [SD] : \(\text{K}(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\) ; L milieu de [SC] : \(\text{L}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})\). Le milieu de [KL] a pour coordonnées les moyennes : \(\text{N}(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2})\). Réponse b.

3. \(\vec{\text{AS}}\) a pour coordonnées \((0 – (-1)\,;\,0 – 0\,;\,1 – 0) = (1\,;\,0\,;\,1)\). Réponse b.

4. Il faut un vecteur directeur colinéaire à \((1\,;\,0\,;\,1)\) : cela élimine a et d (coordonnée \(y\) non constante). Pour b, \(y = 0\) et le vecteur \((2\,;\,0\,;\,2)\) convient, mais le point de paramètre \(t = 0\) est \((-1\,;\,0\,;\,1)\), qui n’est pas sur (AS) (le point de (AS) d’abscisse \(-1\) est A, de cote 0). Pour c, \(t = -1\) donne \((-1\,;\,0\,;\,0)\), c’est-à-dire A, et \(t = 0\) donne \((0\,;\,0\,;\,1)\), c’est-à-dire S. Réponse c.

5. On teste les trois points S(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 0 ; 0) et B(0 ; 1 ; 0), non alignés. Pour \(x + y + z – 1 = 0\) : \(0 + 0 + 1 – 1 = 0\), \(1 + 0 + 0 – 1 = 0\) et \(0 + 1 + 0 – 1 = 0\) : les trois points vérifient l’équation. Les autres propositions échouent : a n’est pas vérifiée par C, c par S, d par B. Réponse b.

Exercice A :

1. Avec \(n = 0\) : \(u_1 = \dfrac{3}{4} \times 1 + \dfrac{1}{4} \times 0 + 1 = \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{7}{4}\).

Avec \(n = 1\) : \(u_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4} \times 1 + 1 = \dfrac{21}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{16}{16} = \dfrac{41}{16}\).

Ainsi \(u_1 = \dfrac{7}{4}\) et \(u_2 = \dfrac{41}{16}\) (fractions irréductibles, car 7 et 41 sont impairs), ce qui correspond bien à 1,75 et 2,562 5 dans le tableur.

2. a. La cellule B3 contient \(u_1\), calculé à partir de \(u_0\) (cellule B2) et de \(n = 0\) (cellule A2). On peut écrire =3/4*B2+1/4*A2+1 (ou =0,75*B2+0,25*A2+1) : en recopiant vers le bas, les références deviennent B3 et A3, puis B4 et A4, etc.

b. Les valeurs affichées augmentent : 1 ; 1,75 ; 2,562 5 ; 3,42… ; 4,32… On conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante.

3. a. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\) ».

Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(0 \leq\, 1 \leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\). On multiplie par \(\dfrac{3}{4} \gt 0\) (le sens des inégalités est conservé), puis on ajoute \(\dfrac{1}{4}n + 1\) :

\[\dfrac{3}{4}n + \dfrac{1}{4}n + 1 \leq\, \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 \leq\, \dfrac{3}{4}(n + 1) + \dfrac{1}{4}n + 1,\]

c’est-à-dire \(n + 1 \leq\, u_{n+1} \leq\, n + \dfrac{7}{4}\). Or \(n + \dfrac{7}{4} \leq\, n + 2\), donc \(n + 1 \leq\, u_{n+1} \leq\, (n + 1) + 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\).

b. Sens de variation. Pour tout \(n\), l’encadrement au rang \(n + 1\) donne \(u_{n+1} \geq\, n + 1\), et celui au rang \(n\) donne \(n + 1 \geq\, u_n\). Donc \(u_{n+1} \geq\, u_n\) : la suite \((u_n)\) est croissante, ce qui confirme la conjecture.

Limite. Pour tout \(n\), \(u_n \geq\, n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty\). Par comparaison, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

c. Pour \(n \geq\, 1\), on divise l’encadrement par \(n \gt 0\) :

\[1 \leq\, \dfrac{u_n}{n} \leq\, \dfrac{n + 1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}.\]

Comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + \dfrac{1}{n}) = 1\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n} = 1\).

4. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = u_{n+1} – (n + 1) = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 – n – 1 = \dfrac{3}{4}u_n – \dfrac{3}{4}n = \dfrac{3}{4}(u_n – n) = \dfrac{3}{4}v_n.\]

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par \(\dfrac{3}{4}\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\), de premier terme \(v_0 = u_0 – 0 = 1\).

b. Le terme général d’une suite géométrique donne \(v_n = v_0 \times (\dfrac{3}{4})^n = (\dfrac{3}{4})^n\). Comme \(u_n = v_n + n\), on obtient, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = (\dfrac{3}{4})^n + n\).

Exercice B :

1. La somme \(x – 4\ln(x)\) est une forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». On factorise par \(x\) :

\[f(x) = x(1 – 4\,\dfrac{\ln(x)}{x}) + 4 – \dfrac{3}{x}.\]

Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\), donc la parenthèse tend vers 1 et le produit tend vers \(+\infty\). Comme \(4 – \dfrac{3}{x}\) tend vers 4, par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. On dérive terme à terme : la dérivée de \(x + 4\) est 1, celle de \(-4\ln(x)\) est \(-\dfrac{4}{x}\), celle de \(-\dfrac{3}{x}\) est \(\dfrac{3}{x^2}\). En réduisant au dénominateur \(x^2\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 – 4x + 3}{x^2}.\]

3. a. Comme \(x^2 \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2 – 4x + 3\), dont 1 est racine évidente (\(1 – 4 + 3 = 0\)) ; le produit des racines valant 3, l’autre racine est 3. Ainsi \(x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)\), positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

Valeurs aux extremums : \(f(1) = 1 + 4 – 0 – 3 = 2\) et \(f(3) = 3 + 4 – 4\ln(3) – 1 = 6 – 4\ln(3) \approx 1{,}61\).

\(f\) est croissante sur \(]0\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\), avec un maximum local 2 et un minimum local \(6 – 4\ln(3)\).

b. On compare \(\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\) aux valeurs du tableau : \(6 – 4\ln(3) \approx 1{,}61 \lt \dfrac{5}{3} \lt 2\).

• Sur \(]0\,;\,1]\), \(f\) croît de \(-\infty\) à 2 : la valeur \(\dfrac{5}{3}\) est atteinte une fois.
• Sur \([1\,;\,3]\), \(f\) décroît de 2 à \(6 – 4\ln(3)\) : \(\dfrac{5}{3}\) est atteinte une fois.
• Sur \([3\,;\,+\infty[\), \(f\) croît de \(6 – 4\ln(3)\) à \(+\infty\) : \(\dfrac{5}{3}\) est atteinte une fois.

L’équation \(f(x) = \dfrac{5}{3}\) admet trois solutions sur \(]0\,;\,+\infty[\).

4. On dérive \(f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{x^2}\) terme à terme :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{4}{x^2} – \dfrac{6}{x^3} = \dfrac{4x – 6}{x^3} = \dfrac{2(2x – 3)}{x^3}.\]

Comme \(x^3 \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 3\), qui s’annule en \(\dfrac{3}{2}\) :

• sur \(]0\,;\,\dfrac{3}{2}]\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f\) est concave ;
• sur \([\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) : \(f\) est convexe.

La dérivée seconde s’annule en changeant de signe uniquement en \(x = \dfrac{3}{2}\) : la courbe \(\mathcal{C}\) admet donc un unique point d’inflexion, d’abscisse \(\dfrac{3}{2}\). Son ordonnée est :

\[f(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{3}{2} + 4 – 4\ln(\dfrac{3}{2}) – 2 = \dfrac{7}{2} – 4\ln(\dfrac{3}{2}) \approx 1{,}88.\]

Le point d’inflexion est \((\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{7}{2} – 4\ln(\dfrac{3}{2}))\).

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