Bac 2021 France : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

De plus, ce sujet est celui du bac de spécialité mathématiques France métropolitaine 2021, sujet 1 des candidats libres, posé le 7 juin 2021. En outre, son corrigé détaillé suit l’énoncé, question par question. On commence par un QCM sur la fonction \(x \mapsto \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\) (dérivée, minimum, limite, convexité), puis un test de contrôle de pièces mécaniques défectueuses avec arbre pondéré, valeur prédictive positive et loi binomiale. Ensuite, l’exercice le plus long suit la décongélation des gâteaux de Cécile sur sa terrasse : modèle linéaire écarté, suite récurrente, suite géométrique auxiliaire et script Python de seuil. Par ailleurs, pour finir, le candidat choisissait entre la recherche du point d’une droite le plus proche d’un point A dans l’espace, avec le volume d’une pyramide, et l’équation différentielle \(y^{\prime} = y + 2x\text{e}^x\).

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 en France (jour 1).

En outre, vous préparez le bac de maths 2027 ? Ensuite, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac 2021 France : présentation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce bac 2021 France reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en France (jour 1) dans sa version intégrale. Ainsi, vous trouverez 5 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la fonction exponentielle, la dérivation, les limites et la convexité. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 48 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 1
France métropolitaine — 7 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\]

On donne l’expression de la dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) de \(f\), définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x}(2x^2 – 2x + 1)}{x^3}.\]

1. La fonction \(f^{\prime}\), dérivée de \(f\), est définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{2x}\)	\(f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}(x – 1)}{x^2}\)	\(f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}(2x – 1)}{x^2}\)	\(f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}(1 + 2x)}{x^2}\)

2. La fonction \(f\) :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\)	est monotone sur \(]0\,;\,+\infty[\)	admet un minimum en \(\dfrac{1}{2}\)	admet un maximum en \(\dfrac{1}{2}\)

3. La fonction \(f\) admet pour limite en \(+\infty\) :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(+\infty\)	\(0\)	\(1\)	\(\text{e}^{2x}\)

4. La fonction \(f\) :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
est concave sur \(]0\,;\,+\infty[\)	est convexe \(]0\,;\,+\infty[\)	est concave sur \(]0\,;\,\dfrac{1}{2}]\)	est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles : « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

En outre, on note \(p(E)\) la probabilité d’un évènement \(E\).

On considère les évènements suivants :

\(D\) : « la pièce est défectueuse » ;
\(T\) : « la pièce présente un test positif » ;
\(\overline{D}\) et \(\overline{T}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(D\) et \(T\).

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle est défectueuse est égale à \(0{,}98\) ;
la probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à \(0{,}97\).

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.

b. Démontrer que : \(p(T) = 0{,}0775\).

3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à \(0{,}95\).

Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.

PARTIE II

On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Ensuite, on note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

On rappelle que : \(p(D) = 0{,}05\).

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.

On donnera un résultat arrondi au centième.

3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat obtenu.

Exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à −19 °C et les apporte sur la terrasse où la température est de 25 °C.

Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de 1,3 °C.

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante c’est-à-dire que l’augmentation de la température est la même minute après minute.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.

Ce modèle semble-t-il pertinent ?

II – Second modèle

On note \(T_n\) la température des gâteaux en degré Celsius, au bout de \(n\) minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi \(T_0 = -19\).

On admet que pour modéliser l’évolution de la température, on doit avoir la relation suivante :

\[\text{Pour tout entier naturel } n,\ T_{n+1} – T_n = -0{,}06 \times (T_n – 25).\]

1. Justifier que, pour tout entier \(n\), on a \(T_{n+1} = 0{,}94T_n + 1{,}5\).

Exercice 3 du bac 2021 France : questions 2 à 7

2. Calculer \(T_1\) et \(T_2\). On donnera des valeurs arrondies au dixième.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(T_n \leq\, 25\).

En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?

4. Étudier le sens de variation de la suite \((T_n)\).

5. Démontrer que la suite \((T_n)\) est convergente.

6. On pose pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = T_n – 25\).

a. Montrer que la suite \((U_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme \(U_0\).

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(T_n = -44 \times 0{,}94^n + 25\).

c. En déduire la limite de la suite \((T_n)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.

7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur.

Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.

b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, à la température de 10 °C.

Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.

c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier \(n\) pour laquelle \(T_n \geq\, 10\).

def seuil() :
    n=0
    T= ..........
    while T ..........
        T= ..........
        n=n+1
    return

Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : Exercice A ou Exercice B

Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé ; orthogonalité dans l’espace

Dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) on considère

le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
la droite \(d\) passant par l’origine O du repère et admettant pour vecteur directeur \(\vec{u}\).

Le but de cet exercice est de déterminer le point de \(d\) le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\).

2. Soit \(t\) un nombre réel quelconque, et \(M\) un point de la droite \(d\), le point \(M\) ayant pour coordonnées \((t\,;\,t\,;\,0)\).

a. On note \(AM\) la distance entre les points A et \(M\). Démontrer que :

\[AM^2 = 2t^2 – 8t + 14.\]

b. Démontrer que le point \(M_0\) de coordonnées \((2\,;\,2\,;\,0)\) est le point de la droite \(d\) pour lequel la distance \(AM\) est minimale.

On admettra que la distance \(AM\) est minimale lorsque son carré \(AM^2\) est minimal.

Exercice A du bac 2021 France : questions 3 à 5

3. Démontrer que les droites \((AM_0)\) et \(d\) sont orthogonales.

4. On appelle \(A^{\prime}\) le projeté orthogonal du point \(A\) sur le plan d’équation cartésienne \(z = 0\). Le point \(A^{\prime}\) admet donc pour coordonnées \((1\,;\,3\,;\,0)\).

Démontrer que le point \(M_0\) est le point du plan \((AA^{\prime}M_0)\) le plus proche du point O, origine du repère.

5. Calculer le volume de la pyramide \(OM_0A^{\prime}A\).

On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : \(V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

Exercice B

Principaux domaines abordés : Équations différentielles ; fonction exponentielle.

On considère l’équation différentielle

\[(E)\quad y^{\prime} = y + 2x\text{e}^x\]

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

1. Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x^2\text{e}^x\). On admet que \(u\) est dérivable et on note \(u^{\prime}\) sa fonction dérivée. Démontrer que \(u\) est une solution particulière de \((E)\).

2. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = f(x) – u(x)\]

a. Démontrer que si la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\) alors la fonction \(g\) est solution de l’équation différentielle : \(y^{\prime} = y\).

On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.

b. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle \(y^{\prime} = y\), résoudre l’équation différentielle \((E)\).

3. Étude de la fonction \(u\)

a. Étudier le signe de \(u^{\prime}(x)\) pour \(x\) variant dans \(\mathbb{R}\).

b. Dresser le tableau de variations de la fonction \(u\) sur \(\mathbb{R}\) (les limites ne sont pas demandées).

c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(u\) est concave.

Bac 2021 France : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction exponentielle ou la dérivation, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction exponentielle propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Questions fréquentes sur ce bac 2021 France

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction exponentielle, la dérivation et les limites, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 en France (jour 1)

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