Bac de maths 2023 en Asie (jour 2) : sujet et corrigé

Vous préparez le bac de maths 2027 ? Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Asie — 24 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG positionnés comme sur la figure suivante :

Le point I est le milieu de [EF].

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}}\,;\,\vec{\text{AD}}\,;\,\vec{\text{AE}})\).

Ainsi, par exemple, les points F, G et J ont pour coordonnées

\(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{G}(1\,;\,1\,;\,1)\) et \(\text{J}(2\,;\,0\,;\,1)\).

1. Montrer que le volume du tétraèdre FIGB est égal à \(\dfrac{1}{12}\) d’unité de volume.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V=\dfrac13\times \text{aire d^{\prime}une base}\times \text{hauteur correspondante}.\]

2. Déterminer les coordonnées du point I.

3. Montrer que le vecteur \(\vec{\text{DJ}}\) un vecteur normal au plan (BIG).

4. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (BIG) est \(2x-y+z-2=0\).

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\), orthogonale à (BIG) et passant par F.

6. a. La droite \(d\) coupe le plan (BIG) au point L’. Montrer que les coordonnées du point L’ sont \((\dfrac23\,;\,\dfrac16\,;\,\dfrac56)\).

b. Calculer la longueur FL’.

c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle IGB.

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\ln(\text{e}^{2x}-\text{e}^x+1).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction \(f\).

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(g\) définie par

\[g(x)=\text{e}^{2x}-\text{e}^x+1.\]

1. Déterminer \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\).

2. Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

3. Montrer que \(g^{\prime}(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-1)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

4. Étudier le sens de variation de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

Dresser le tableau des variations de la fonction \(g\) en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de \(g\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).

5. En déduire le signe de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant \(X=\text{e}^x\).

Partie B

1. Justifier que la fonction \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\).

2. La fonction dérivée de la fonction \(f\) est notée \(f^{\prime}\).

Justifier que \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.

4. Montrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([-\ln(2)\,;\,+\infty[\).

5. Montrer que l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([-\ln(2)\,;\,+\infty[\) et déterminer une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

Exercice 3 (4 points)

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française. Deux Prix Nobel lui ont été décernés : un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de 2 g de polonium.

On sait que 1 g de polonium contient \(3\times 10^{21}\) noyaux atomiques.

On admet que, au bout de 24 heures, 0,5 % des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors 0,005 g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ; on note \(v_0\) le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience.

Pour \(n\geq\, 1\), \(v_n\) désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de \(n\) jours écoulés.

1. a. Vérifier que \(v_0=6\times 10^{21}\).

b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel \(n\), on a

\[v_{n+1}=0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}.\]

2. a. Démontrer, par récurrence sur \(n\), que \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\).

b. En déduire que la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est convergente.

3. On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par :

\[u_n=v_n-3\times 10^{21}.\]

a. Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est géométrique de raison 0,995.

b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=3\times 10^{21}(0{,}995^n+1)\).

c. En déduire la limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

4. Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à \(4{,}5\times 10^{21}\). Justifier la réponse.

5. On souhaite disposer de la liste des termes de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.

1  def noyaux (n) :
2      V =6*10**21
3      L=[V]
4      for k in range (n):
5          V= ...
6          L.append(V)
7      return L

a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.

b. Pour quelle valeur de l’entier n la commande noyaux(n) renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant 52 semaines d’étude ?

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère L une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3, le dernier nombre de la liste est 2 023 soit :

L = [7, 10, …, 2023].

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste. La probabilité de tirer un nombre pair est :

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.

On s’intéresse aux évènements suivants :

• Évènement \(A\) : « obtenir un multiple de 4 »
• Évènement \(B\) : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 6 »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne \(p(A\cap B)=\dfrac{34}{673}\).

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités est :

Question 4 : \(P_B(A)\) est égale à :

Question 5 : On choisit, au hasard, successivement, 10 éléments de cette liste.

Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces 10 nombres ne soit un multiple de 4 est :

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Choisissons comme base le triangle FIG, contenu dans la face supérieure EFGH du premier cube. Dans le repère, les arêtes du cube mesurent 1. Le triangle FIG est rectangle en F, car les arêtes [FE] et [FG] du carré EFGH sont perpendiculaires ; ses côtés de l’angle droit mesurent \(\text{FI}=\dfrac12\text{EF}=\dfrac12\) (I milieu de [EF]) et \(\text{FG}=1\). Son aire vaut donc \(\dfrac{\text{FI}\times \text{FG}}{2}=\dfrac{1}{4}\).

L’arête [BF] est perpendiculaire à la face EFGH : c’est la hauteur issue de B, de longueur \(\text{BF}=1\). Ainsi \(V=\dfrac13\times \dfrac14\times 1\), c’est-à-dire \(V_{\text{FIGB}}=\dfrac{1}{12}\) unité de volume.

2. On a \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\) et \(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\). Les coordonnées du milieu s’obtiennent en faisant la moyenne des coordonnées des extrémités : \(x_{\text{I}}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac12\), \(y_{\text{I}}=0\), \(z_{\text{I}}=1\). Donc \(\text{I}(\dfrac12\,;\,0\,;\,1)\).

3. Avec \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{J}(2\,;\,0\,;\,1)\), on obtient \(\vec{\text{DJ}}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Avec \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\), on calcule deux vecteurs du plan (BIG) : \(\vec{\text{BI}}\begin{pmatrix}-\frac12\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BG}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de \(\vec{\text{BG}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{BI}}\) ne l’est pas, tandis que la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{BI}}\) est nulle et pas celle de \(\vec{\text{BG}}\). Ils dirigent donc le plan (BIG).

Calculons les produits scalaires : \(\vec{\text{DJ}}\cdot\vec{\text{BI}}=2\times (-\dfrac12)+(-1)\times 0+1\times 1=-1+0+1=0\) et \(\vec{\text{DJ}}\cdot\vec{\text{BG}}=2\times 0+(-1)\times 1+1\times 1=0\).

Le vecteur \(\vec{\text{DJ}}\), non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BIG) : \(\vec{\text{DJ}}\) est un vecteur normal au plan (BIG).

4. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) admet une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\). Avec \(\vec{\text{DJ}}\), le plan (BIG) a une équation du type \(2x-y+z+d=0\). Le point \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) appartient au plan, donc \(2\times 1-0+0+d=0\), d’où \(d=-2\). Une équation cartésienne de (BIG) est bien \(2x-y+z-2=0\).

Contrôle : \(\text{I}\) donne \(1-0+1-2=0\) et \(\text{G}\) donne \(2-1+1-2=0\).

5. La droite \(d\) est orthogonale au plan (BIG), donc elle est dirigée par un vecteur normal à ce plan, par exemple \(\vec{\text{DJ}}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Elle passe par \(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\). Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à \(d\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{F}M}=t\,\vec{\text{DJ}}\), ce qui donne la représentation paramétrique :

\[d:\ \begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]

6. a. Le point L’ est sur \(d\) : ses coordonnées sont de la forme \((1+2t\,;\,-t\,;\,1+t)\). Il est aussi dans le plan (BIG), donc ces coordonnées vérifient son équation :

\[2(1+2t)-(-t)+(1+t)-2=0\iff 2+4t+t+1+t-2=0\iff 6t+1=0\iff t=-\dfrac16.\]

On remplace \(t\) par \(-\dfrac16\) : \(x=1-\dfrac26=\dfrac23\), \(y=\dfrac16\) et \(z=1-\dfrac16=\dfrac56\). Donc \(\text{L}^{\prime}(\dfrac23\,;\,\dfrac16\,;\,\dfrac56)\).

b. On a \(\vec{\text{FL}^{\prime}}\begin{pmatrix}\frac23-1\\\frac16-0\\\frac56-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac13\\\frac16\\-\frac16\end{pmatrix}\), donc \(\text{FL}^{\prime}^2=\dfrac19+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{4+1+1}{36}=\dfrac{6}{36}=\dfrac16\).

Ainsi \(\text{FL}^{\prime}=\sqrt{\dfrac16}=\dfrac{1}{\sqrt6}\), soit \(\text{FL}^{\prime}=\dfrac{\sqrt6}{6}\approx0{,}41\).

c. L’ est le point d’intersection de la droite \(d\), perpendiculaire au plan (BIG) et passant par F, avec ce plan : c’est le projeté orthogonal de F sur (BIG). Si l’on prend maintenant le triangle IGB comme base du tétraèdre FIGB, la hauteur correspondante est donc FL’.

La formule du volume donne \(\dfrac{1}{12}=\dfrac13\times \mathcal{A}_{\text{IGB}}\times \dfrac{\sqrt6}{6}\), d’où \(\mathcal{A}_{\text{IGB}}=\dfrac{3}{12}\times \dfrac{6}{\sqrt6}=\dfrac{1}{4}\times \sqrt6\).

L’aire du triangle IGB est \(\mathcal{A}_{\text{IGB}}=\dfrac{\sqrt6}{4}\approx0{,}61\) unité d’aire.

Exercice 2 :

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

1. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(2x\) tend aussi vers \(-\infty\) ; comme \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), on obtient par composition \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{2x}=0\), et de même \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x}=0\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0-0+1=1\).

2. La somme \(\text{e}^{2x}-\text{e}^x\) donne une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ». On factorise par le terme dominant \(\text{e}^{2x}\) : pour tout réel \(x\), \(g(x)=\text{e}^{2x}(1-\text{e}^{-x}+\text{e}^{-2x})\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\text{e}^{-x}\) et \(\text{e}^{-2x}\) tendent vers 0, donc la parenthèse tend vers 1, tandis que \(\text{e}^{2x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

3. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{2x}\) est \(x\mapsto 2\text{e}^{2x}\) (dérivée de \(\text{e}^{u}\) : \(u^{\prime}\text{e}^{u}\)). Donc \(g^{\prime}(x)=2\text{e}^{2x}-\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^{2x}=\text{e}^x\times \text{e}^x\), on factorise par \(\text{e}^x\) : \(g^{\prime}(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-1)\).

4. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^x\gt0\), donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(2\text{e}^x-1\). Or, la fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[2\text{e}^x-1\gt0\iff\text{e}^x\gt\dfrac12\iff x\gt\ln(\dfrac12)\iff x\gt-\ln2.\]

Donc \(g^{\prime}(x)\lt0\) sur \(]-\infty\,;\,-\ln2[\), \(g^{\prime}(-\ln2)=0\) et \(g^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]-\ln2\,;\,+\infty[\) : \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,-\ln2]\) et strictement croissante sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\).

Elle admet un minimum en \(-\ln2\). Comme \(\text{e}^{-\ln2}=\dfrac12\) et \(\text{e}^{-2\ln2}=(\text{e}^{-\ln2})^2=\dfrac14\), on a \(g(-\ln2)=\dfrac14-\dfrac12+1=\dfrac34\).

5. D’après le tableau, le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) est \(\dfrac34\), qui est strictement positif. Donc pour tout réel \(x\), \(g(x)\geq\,\dfrac34\gt0\) : \(g\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).

6. Avec \(X=\text{e}^x\), on a \(\text{e}^{2x}=X^2\), donc \(g(x)=X^2-X+1\). Il suffit alors d’étudier le signe du trinôme \(X^2-X+1\) : son discriminant vaut \(\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1=-3\lt0\), donc il n’a pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant 1, c’est-à-dire qu’il est strictement positif pour tout réel \(X\) (en particulier pour \(X=\text{e}^x\gt0\)). On retrouve que \(g(x)\gt0\) pour tout \(x\). On pouvait aussi utiliser la forme canonique \(X^2-X+1=(X-\dfrac12)^2+\dfrac34\).

Partie B

1. On a \(f(x)=\ln(g(x))\). La fonction \(\ln\) est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) et, d’après la partie A, \(g(x)\gt0\) pour tout réel \(x\). Donc \(f(x)\) existe pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

2. La fonction \(g\) est dérivable et strictement positive sur \(\mathbb{R}\). On utilise la dérivée de \(\ln(u)\), qui est \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) lorsque \(u\) est dérivable et strictement positive. Avec \(u=g\), on obtient \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\) pour tout réel \(x\).

3. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\).

On a \(g(0)=1-1+1=1\), donc \(f(0)=\ln1=0\), et \(g^{\prime}(0)=\text{e}^0(2\text{e}^0-1)=1\), donc \(f^{\prime}(0)=\dfrac{1}{1}=1\). La tangente a pour équation \(y=x\).

4. Comme \(g(x)\gt0\), le quotient \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\) a le même signe que \(g^{\prime}(x)\). D’après la partie A, \(g^{\prime}(x)\gt0\) pour \(x\gt-\ln2\) (et \(g^{\prime}(-\ln2)=0\) en un seul point). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\). On remarque de même que \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,-\ln2]\).

5. Sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\) :

• \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante ;
• \(f(-\ln2)=\ln(\dfrac34)\approx-0{,}29\), qui est inférieur à 2 ;
• \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\), donc par composition \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Le nombre 2 est compris entre \(f(-\ln2)\) et \(+\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d’une fonction strictement monotone), l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\).

Avec la calculatrice : \(f(1{,}1)\approx1{,}949\) et \(f(1{,}2)\approx2{,}164\), donc \(1{,}1\lt\alpha\lt1{,}2\) ; puis \(f(1{,}12)\approx1{,}992\) et \(f(1{,}13)\approx2{,}013\), donc \(1{,}12\lt\alpha\lt1{,}13\). Plus précisément \(\alpha\approx1{,}1238\), d’où \(\alpha\approx1{,}12\) à \(10^{-2}\) près.

Partie C

Conjecture 1 : vraie. La question B.5 prouve que l’équation \(f(x)=2\) a une solution, \(\alpha\approx1{,}12\) (et même une seule sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\)).

Conjecture 2 : fausse. \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,-\ln2]\) et strictement croissante sur \([-\ln2\,;\,+\infty[\). Le plus grand intervalle où \(f\) est croissante est donc \([-\ln2\,;\,+\infty[\), avec \(-\ln2\approx-0{,}69\), et non \([-0{,}5\,;\,+\infty[\), qui en est seulement une partie.

Conjecture 3 : fausse. D’après B.3, la tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=x\) : son coefficient directeur est 1, et non 1,5.

Exercice 3 :

1. a. Au départ, on a 2 g de polonium et chaque gramme contient \(3\times 10^{21}\) noyaux, donc \(v_0=2\times 3\times 10^{21}=6\times 10^{21}\).

b. Au bout de \(n\) jours, l’échantillon contient \(v_n\) noyaux. Durant les 24 heures suivantes, 0,5 % d’entre eux se désintègrent : il en reste 99,5 %, soit \((1-\dfrac{0{,}5}{100})v_n=0{,}995v_n\). On ajoute ensuite 0,005 g de polonium, qui apporte \(0{,}005\times 3\times 10^{21}=1{,}5\times 10^{19}\) noyaux. Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}\).

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) la propriété « \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\) ».

Initialisation. \(v_1=0{,}995\times 6\times 10^{21}+1{,}5\times 10^{19}=5{,}97\times 10^{21}+0{,}015\times 10^{21}=5{,}985\times 10^{21}\). On a bien \(0\leq\,5{,}985\times 10^{21}\leq\,6\times 10^{21}\), c’est-à-dire \(0\leq\, v_1\leq\, v_0\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\). En multipliant par 0,995, qui est positif, l’ordre est conservé : \(0\leq\,0{,}995v_{n+1}\leq\,0{,}995v_n\). En ajoutant \(1{,}5\times 10^{19}\) : \(1{,}5\times 10^{19}\leq\,0{,}995v_{n+1}+1{,}5\times 10^{19}\leq\,0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}\), c’est-à-dire \(1{,}5\times 10^{19}\leq\, v_{n+2}\leq\, v_{n+1}\). Comme \(1{,}5\times 10^{19}\gt0\), on obtient \(0\leq\, v_{n+2}\leq\, v_{n+1}\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_n\).

b. L’inégalité \(v_{n+1}\leq\, v_n\) pour tout \(n\) signifie que la suite \((v_n)\) est décroissante, et \(v_n\geq\,0\) pour tout \(n\) (déjà \(v_0\gt0\), puis \(v_{n+1}\geq\,0\)) signifie qu’elle est minorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge : \((v_n)\) est convergente.

3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=v_{n+1}-3\times 10^{21}=0{,}995v_n+1{,}5\times 10^{19}-3\times 10^{21}=0{,}995v_n-2{,}985\times 10^{21}.\]

Or \(2{,}985\times 10^{21}=0{,}995\times 3\times 10^{21}\), donc \(u_{n+1}=0{,}995(v_n-3\times 10^{21})=0{,}995u_n\). La suite \((u_n)\) est géométrique de raison 0,995, de premier terme \(u_0=6\times 10^{21}-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}\).

b. D’après le cours sur les suites géométriques, \(u_n=u_0\times 0{,}995^n=3\times 10^{21}\times 0{,}995^n\). Comme \(v_n=u_n+3\times 10^{21}\), on obtient \(v_n=3\times 10^{21}\times 0{,}995^n+3\times 10^{21}\), soit en factorisant \(v_n=3\times 10^{21}(0{,}995^n+1)\).

c. Comme \(0\lt0{,}995\lt1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}995^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}(0{,}995^n+1)=1\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3\times 10^{21}\).

Interprétation : à long terme, le nombre de noyaux se stabilise autour de \(3\times 10^{21}\), ce qui correspond à 1 g de polonium. L’ajout quotidien ne compense pas totalement la désintégration tant qu’il y a plus de 1 g, et l’échantillon se rapproche de cette masse d’équilibre.

4. On résout l’inéquation \(v_n\lt4{,}5\times 10^{21}\) :

\[3\times 10^{21}(0{,}995^n+1)\lt4{,}5\times 10^{21}\iff0{,}995^n+1\lt1{,}5\iff0{,}995^n\lt0{,}5.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc \(0{,}995^n\lt0{,}5\iff n\ln(0{,}995)\lt\ln(0{,}5)\). Comme \(\ln(0{,}995)\lt0\) (car \(0{,}995\lt1\)), en divisant on change le sens : \(n\gt\dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}995)}\approx138{,}3\).

Le plus petit entier qui convient est 139. Vérification : \(v_{138}\approx4{,}502\times 10^{21}\) et \(v_{139}\approx4{,}495\times 10^{21}\). Le nombre de noyaux devient inférieur à \(4{,}5\times 10^{21}\) au bout de 139 jours.

5. a. Dans la boucle, lors du passage numéro \(k\) (\(k\) allant de 0 à \(n-1\)), la variable V contient \(v_k\) et doit recevoir \(v_{k+1}\). Deux possibilités :

• avec la relation de récurrence de la question 1.b : V = 0.995*V + 1.5*10**19 ;
• avec la forme explicite de la question 3.b, appliquée au rang \(k+1\) : V = 3*10**21*(0.995**(k+1) + 1).

Par exemple, avec la première solution, la fonction complète s’écrit :

def noyaux (n) :
    V =6*10**21
    L=[V]
    for k in range (n):
        V= 0.995*V + 1.5*10**19
        L.append(V)
    return L

b. 52 semaines représentent \(52\times 7=364\) jours. La liste renvoyée par noyaux(n) contient \(v_0,v_1,\ldots,v_n\), c’est-à-dire les relevés du jour 0 au jour \(n\). Il faut donc exécuter noyaux(364), qui renvoie 365 valeurs (du début de l’expérience jusqu’au 364e jour).

Exercice 4 :

Question 1 : réponse B. Le terme de rang \(k\) (en commençant à \(k=0\)) est \(7+3k\). On cherche \(k\) tel que \(7+3k=2023\), soit \(3k=2016\) et \(k=672\). Les rangs vont de 0 à 672 : la liste compte 673 termes.

Question 2 : réponse C. Les termes \(7+3k\) sont alternativement impairs et pairs : 7 (impair), 10 (pair), 13 (impair)… Le terme est pair exactement lorsque \(k\) est impair. Parmi les entiers \(k\) de 0 à 672, il y a 336 entiers impairs (1, 3, …, 671). La liste contient donc 336 nombres pairs sur 673, et comme le choix se fait au hasard, la probabilité cherchée est \(\dfrac{336}{673}\).

Question 3 : réponse B. « Obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités », c’est réaliser à la fois \(A\) et \(B\). La probabilité cherchée est \(p(A\cap B)\), donnée dans l’énoncé : \(\dfrac{34}{673}\). (La réponse C, \(\dfrac{17}{84}\), est en fait \(P_A(B)=\dfrac{34}{673}\times \dfrac{673}{168}\), une probabilité conditionnelle.)

Question 4 : réponse D. D’abord, \(P(\overline{A})=1-\dfrac{168}{673}=\dfrac{505}{673}\), donc \(P(\overline{A}\cap B)=\dfrac{505}{673}\times \dfrac{33}{505}=\dfrac{33}{673}\). Par la formule des probabilités totales, \(P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=\dfrac{34}{673}+\dfrac{33}{673}=\dfrac{67}{673}\). Enfin \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{34}{673}\times \dfrac{673}{67}\), soit \(P_B(A)=\dfrac{34}{67}\).

Question 5 : réponse A. À chaque tirage, la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 4 est \(P(\overline{A})=\dfrac{505}{673}\). Les 10 tirages se font avec remise, ils sont donc identiques et indépendants : la probabilité qu’aucun des 10 nombres ne soit un multiple de 4 est le produit des 10 probabilités, soit \((\dfrac{505}{673})^{10}\approx0{,}057\).

Les autres sujets du bac de maths 2023

• Bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Amérique du Sud (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Amérique du Sud (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Asie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en France (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en France (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en France (septembre, jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en France (septembre, jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Polynésie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Polynésie (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 à La Réunion (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 à La Réunion (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 à Mayotte et au Liban (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2023 à Mayotte et au Liban (jour 2) : sujet et corrigé