Première — chapitre 3 sur 10
Dérivation
Le nombre dérivé est la pente de la tangente ; le signe de la dérivée donne les variations.
$f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a une limite finie quand $h\to0$. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ : c'est le coefficient directeur de la tangente en $a$.
Tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $$y = f'(a)(x-a) + f(a).$$
| $f(x)$ | $k$ | $x$ | $x^2$ | $x^n$ | $\dfrac1x$ | $\sqrt x$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $1$ | $2x$ | $nx^{n-1}$ | $-\dfrac1{x^2}$ | $\dfrac1{2\sqrt x}$ |
$(u+v)' = u'+v'$, $(ku)' = ku'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$, $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, $(g(ax+b))' = a\,g'(ax+b)$.
Sur un intervalle $I$ : si $f'\ge0$ alors $f$ est croissante ; si $f'\le0$, décroissante ; si $f' = 0$, constante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, $f$ admet un extremum local en $x_0$.
$f(x) = x^3-3x$ : $f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$. $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;1]$, croissante sur $[1\,;+\infty[$ ; maximum local $2$ en $-1$, minimum local $-2$ en $1$.
