Bac maths 2021 France sept. J1 : sujet et corrigé

Ce sujet est celui du bac de spécialité mathématiques de septembre 2021 en France métropolitaine (jour 1, candidats libres) : l’énoncé complet est reproduit ci-dessous, avec un corrigé détaillé de toutes les questions, y compris des deux exercices au choix. Un QCM de quatre questions exploite la courbe de \(f(x) = (10x + 5)\text{e}^x\), sa tangente et son point d’inflexion, puis une comparaison de suites. Le deuxième exercice étudie la suite \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{1 + 3u_n}\) par récurrence, avec un programme Python de seuil et une suite géométrique auxiliaire. Le troisième suit les crapauds accoucheurs d’un lac des Pyrénées après l’introduction de truites, puis la contamination des têtards par un champignon. Au choix : section d’un cube par le plan (IJK), ou fonction logarithme et tangentes perpendiculaires.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
France métropolitaine — 13 septembre 2021 — Jour 1 (candidats libres)
Mathématiques — Durée : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique \(\mathcal{C}_f\) dans un repère orthogonal d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On notera \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\).

On donne les points A de coordonnées \((0\,;\,5)\) et B de coordonnées \((1\,;\,20)\). Le point C est le point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) ayant pour abscisse \(-2{,}5\). La droite (AB) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A.

Les questions 1 à 3 se rapportent à cette même fonction \(f\).

1. On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(f^{\prime}(-0{,}5) = 0\)	si \(x \in ]-\infty\,;\,-0{,}5[\), alors \(f^{\prime}(x) \lt 0\)	\(f^{\prime}(0) = 15\)	la fonction dérivée \(f^{\prime}\) ne change pas de signe sur \(\mathbb{R}\).

2. On admet que la fonction \(f\) représentée ci-dessus est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (ax + b)\text{e}^x\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l’axe des abscisses en son point de coordonnées \((-0{,}5\,;\,0)\).

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(a = 10\) et \(b = 5\)	\(a = 2{,}5\) et \(b = -0{,}5\)	\(a = -1{,}5\) et \(b = 5\)	\(a = 0\) et \(b = 5\)

3. On admet que la dérivée seconde de la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f^{\prime\prime}(x) = (10x + 25)\text{e}^x.\]

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\)	La fonction \(f\) est concave sur \(\mathbb{R}\)	Le point C est l’unique point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\)	\(\mathcal{C}_f\) n’admet pas de point d’inflexion

4. On considère deux suites \((U_n)\) et \((V_n)\) définies sur \(\mathbb{N}\) telles que :

pour tout entier naturel \(n\), \(U_n \leq\, V_n\) ;
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} V_n = 2\).

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
la suite \((U_n)\) converge	pour tout entier naturel \(n\), \(V_n \leq\, 2\)	la suite \((U_n)\) diverge	la suite \((U_n)\) est majorée

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{4x}{1 + 3x}\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Calculer \(u_1\).

2. On admet que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \(]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty[\).

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(\dfrac{1}{2} \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 2\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. On appelle \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\). Déterminer la valeur de \(\ell\).

3. a. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif \(E\), détermine la plus petite valeur \(P\) tel que : \(1 – u_P \lt E\).

def seuil(E):
    u = 0,5
    n = 0
    while ......................
        u = ......................
        n = n + 1
    return n

b. Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où \(E = 10^{-4}\).

4. On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par :

\[v_n = \dfrac{u_n}{1 – u_n}\]

a. Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison 4.

En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

b. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}\).

c. Montrer alors que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_n = \dfrac{1}{1 + 0{,}25^n}.\]

Retrouver par le calcul la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d’une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le « crapaud accoucheur ».

Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.

Partie I : Effet de l’introduction d’une nouvelle espèce.

Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l’homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l’impact de cette introduction sur la population de crapauds accoucheurs d’un lac.

Ses études précédentes l’amènent à modéliser l’évolution de cette population en fonction du temps par la fonction \(f\) suivante :

\[f(t) = (0{,}04t^2 – 8t + 400)\text{e}^{\frac{t}{50}} + 40 \quad \text{pour } t \in [0\,;\,120]\]

La variable \(t\) représente le temps écoulé, en jour, à partir de l’introduction à l’instant \(t = 0\) des truites dans le lac, et \(f(t)\) modélise le nombre de crapauds à l’instant \(t\).

1. Déterminer le nombre de crapauds présents dans le lac lors de l’introduction des truites.

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,120]\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Montrer, en faisant apparaitre les étapes du calcul, que pour tout nombre réel \(t\) appartenant à l’intervalle \([0\,;\,120]\) on a :

\[f^{\prime}(t) = t(t – 100)\text{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}.\]

3. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,120]\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur cet intervalle (on donnera des valeurs approchées au centième).

4. Selon cette modélisation :

a. Déterminer le nombre de jours \(J\) nécessaires afin que le nombre de crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?

b. Justifier que, après avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds dépassera un jour 140 individus.

c. À l’aide de la calculatrice, déterminer la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera 140 individus.

Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards

Une des principales causes du déclin de cette espèce de crapaud en haute montagne est une maladie, la « Chytridiomycose », provoquée par un champignon.

Le chercheur considère que :

Les trois quarts des lacs de montagne des Pyrénées ne sont pas infectés par le champignon, c’est-à-dire qu’ils ne contiennent aucun têtard (larve du crapaud) contaminé.
Dans les lacs restants, la probabilité qu’un têtard soit contaminé est de \(0{,}74\).

Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyrénées, et y procède à des prélèvements.

Pour la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième lorsque cela est nécessaire.

Le chercheur prélève au hasard un têtard du lac choisi afin d’effectuer un test avant de le relâcher.

On notera \(T\) l’évènement « Le têtard est contaminé par la maladie » et \(L\) l’évènement « Le lac est infecté par le champignon ».

On notera \(\overline{L}\) l’évènement contraire de \(L\) et \(\overline{T}\) l’évènement contraire de \(T\).

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’énoncé :

2. Montrer que la probabilité \(P(T)\) que le têtard prélevé soit contaminé est de \(0{,}185\).

3. Le têtard n’est pas contaminé. Quelle est la probabilité que le lac soit infecté ?

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés :
Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé.

On considère le cube ABCDEFGH donné en annexe.

On donne trois points I, J et K vérifiant :

\[\vec{\text{EI}} = \dfrac{1}{4}\vec{\text{EH}}, \qquad \vec{\text{EJ}} = \dfrac{1}{4}\vec{\text{EF}}, \qquad \vec{\text{BK}} = \dfrac{1}{4}\vec{\text{BF}}\]

Les points I, J et K sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie.

(annexe à compléter et à rendre avec la copie, seulement par les élèves ayant choisi de traiter l’exercice A)

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

1. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

2. Démontrer que le vecteur \(\vec{\text{AG}}\) est normal au plan (IJK).

3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est \(4x + 4y + 4z – 5 = 0\).

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BC).

5. En déduire les coordonnées du point L, point d’intersection de la droite (BC) avec le plan (IJK).

6. Sur la figure en annexe, placer le point L et construire l’intersection du plan (IJK) avec la face (BCGF).

7. Soit M\((\dfrac{1}{4}\,;\,1\,;\,0)\). Montrer que les points I, J, L et M sont coplanaires.

Exercice B

Principaux domaines abordés :
Fonction logarithme.

Partie I

On considère la fonction \(h\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[h(x) = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x}.\]

1. Déterminer la limite de la fonction \(h\) en \(0\).

2. Déterminer la limite de la fonction \(h\) en \(+\infty\).

3. On note \(h^{\prime}\) la fonction dérivée de \(h\). Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

\[h^{\prime}(x) = \dfrac{1 – \ln(x)}{x^2}.\]

4. Dresser le tableau de variations de la fonction \(h\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

5. Démontrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,+\infty[\).

Justifier que l’on a : \(0{,}5 \lt \alpha \lt 0{,}6\).

Partie II

Dans cette partie, on considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = x\ln(x) – x \ ; \qquad g(x) = \ln(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) les courbes représentant respectivement les fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

Pout tout nombre réel \(a\) strictement positif, on appelle :

\(T_a\) la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en son point d’abscisse \(a\) ;
\(D_a\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) en son point d’abscisse \(a\).

Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) ainsi que deux tangentes \(T_a\) et \(D_a\) sont représentées ci-dessous.

On recherche d’éventuelles valeurs de \(a\) pour lesquelles les droites \(T_a\) et \(D_a\) sont perpendiculaires.

Soit \(a\) un nombre réel appartenant à l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Justifier que la droite \(D_a\) a pour coefficient directeur \(\dfrac{1}{a}\).

2. Justifier que la droite \(T_a\) a pour coefficient directeur \(\ln(a)\).

On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs \(m\) et \(m^{\prime}\) sont perpendiculaires si et seulement si \(mm^{\prime} = -1\).

3. Démontrer qu’il existe une unique valeur de \(a\), que l’on identifiera, pour laquelle les droites \(T_a\) et \(D_a\) sont perpendiculaires.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Le nombre dérivé \(f^{\prime}(0)\) est le coefficient directeur de la tangente en A, c’est-à-dire de la droite (AB) : \(f^{\prime}(0) = \dfrac{y_{\text{B}} – y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} – x_{\text{A}}} = \dfrac{20 – 5}{1 – 0} = 15\). Réponse c. Les autres propositions sont fausses : en \(-0{,}5\) la courbe monte, donc \(f^{\prime}(-0{,}5) \gt 0\) ; \(f\) est croissante entre environ \(-1{,}5\) et \(-0{,}5\), donc \(f^{\prime}\) n’est pas négative sur tout \(]-\infty\,;\,-0{,}5[\) ; enfin \(f\) décroît puis croît, donc \(f^{\prime}\) change de signe.

2. Le point A\((0\,;\,5)\) est sur la courbe : \(f(0) = (a \times 0 + b)\text{e}^0 = b\), donc \(b = 5\). La courbe passe par \((-0{,}5\,;\,0)\) : \(f(-0{,}5) = (-0{,}5a + 5)\text{e}^{-0{,}5} = 0\), et comme \(\text{e}^{-0{,}5} \neq 0\), \(-0{,}5a + 5 = 0\), d’où \(a = 10\). Réponse a. (Contrôle : \(f^{\prime}(x) = (ax + a + b)\text{e}^x\) donne \(f^{\prime}(0) = a + b = 15\), cohérent avec la question 1.)

3. Comme \(\text{e}^x \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(10x + 25\), qui s’annule en \(x = -2{,}5\) en changeant de signe : négatif avant, positif après. Donc \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;\,-2{,}5]\) et convexe sur \([-2{,}5\,;\,+\infty[\) : la courbe admet un unique point d’inflexion, celui d’abscisse \(-2{,}5\), qui est C. Réponse c.

4. La suite \((V_n)\) converge, donc elle est bornée : il existe un réel \(M\) tel que \(V_n \leq\, M\) pour tout \(n\). Alors \(U_n \leq\, V_n \leq\, M\) : la suite \((U_n)\) est majorée, réponse d. Les autres propositions ne sont pas toujours vraies : avec \(U_n = -n\) et \(V_n = 2 + \dfrac{1}{n+1}\), \((U_n)\) diverge (donc a est fausse) et \(V_n \gt 2\) (donc b est fausse) ; avec \(U_n = 0\) et \(V_n = 2\), \((U_n)\) converge (donc c est fausse).

Exercice 2 :

1. \(u_1 = f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{4 \times \frac{1}{2}}{1 + 3 \times \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{\frac{5}{2}} = \dfrac{4}{5}\), soit \(u_1 = 0{,}8\).

2. a. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(\dfrac{1}{2} \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 2\) ».

Initialisation. \(u_0 = 0{,}5\) et \(u_1 = 0{,}8\), donc \(\dfrac{1}{2} \leq\, u_0 \leq\, u_1 \leq\, 2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(\dfrac{1}{2} \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 2\). Tous ces nombres sont dans \(]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l’ordre :

\[f(\dfrac{1}{2}) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(2), \quad \text{soit} \quad 0{,}8 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, \dfrac{8}{7}.\]

Comme \(\dfrac{1}{2} \leq\, 0{,}8\) et \(\dfrac{8}{7} \leq\, 2\), on obtient \(\dfrac{1}{2} \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 2\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{1}{2} \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 2\).

b. D’après a, \(u_n \leq\, u_{n+1}\) pour tout \(n\) : la suite est croissante ; et \(u_n \leq\, 2\) : elle est majorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge, vers une limite \(\ell\) qui vérifie \(\dfrac{1}{2} \leq\, \ell \leq\, 2\).

c. La fonction \(f\) est continue sur \(]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty[\) (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’y annule pas) et \(\ell\) appartient à cet intervalle. En passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), on obtient \(\ell = f(\ell)\) :

\[\dfrac{4\ell}{1 + 3\ell} = \ell \iff 4\ell = \ell + 3\ell^2 \iff 3\ell^2 – 3\ell = 0 \iff 3\ell(\ell – 1) = 0 \iff \ell = 0 \ \text{ou} \ \ell = 1.\]

Comme \(\ell \geq\, \dfrac{1}{2}\), la valeur 0 est exclue : \(\ell = 1\).

3. a. La boucle doit continuer tant que la condition d’arrêt \(1 – u \lt E\) n’est pas remplie, c’est-à-dire tant que \(1 – u \geq\, E\) ; à chaque tour, on calcule le terme suivant \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{1 + 3u_n}\). On note au passage qu’en Python la valeur initiale s’écrit 0.5 avec un point (l’énoncé écrit « 0,5 »).

def seuil(E):
    u = 0.5
    n = 0
    while 1 - u >= E:
        u = 4*u/(1 + 3*u)
        n = n + 1
    return n

b. D’après la question 4.c (ou en calculant les termes), \(1 – u_n = \dfrac{0{,}25^n}{1 + 0{,}25^n}\). On trouve \(1 – u_6 \approx 2{,}44 \times 10^{-4}\), qui est encore supérieur ou égal à \(10^{-4}\), et \(1 – u_7 \approx 6{,}10 \times 10^{-5} \lt 10^{-4}\) (\(u_7 \approx 0{,}999939\)). Le programme renvoie 7.

4. a. Pour tout entier naturel \(n\), on calcule d’abord \(1 – u_{n+1} = 1 – \dfrac{4u_n}{1 + 3u_n} = \dfrac{1 + 3u_n – 4u_n}{1 + 3u_n} = \dfrac{1 – u_n}{1 + 3u_n}\). Comme \(1 + 3u_n \gt 0\) et \(1 – u_0 = 0{,}5 \gt 0\), cette relation montre de proche en proche que \(1 – u_n \gt 0\) pour tout \(n\) : \(v_n\) est donc bien défini. Alors :

\[v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{1 – u_{n+1}} = \dfrac{4u_n}{1 + 3u_n} \times \dfrac{1 + 3u_n}{1 – u_n} = \dfrac{4u_n}{1 – u_n} = 4v_n.\]

La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 4, de premier terme \(v_0 = \dfrac{0{,}5}{1 – 0{,}5} = 1\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = 4^n\).

b. Partons de \(v_n = \dfrac{u_n}{1 – u_n}\) : \(v_n(1 – u_n) = u_n\), donc \(v_n = u_n + u_nv_n = u_n(1 + v_n)\). Comme \(v_n = 4^n \gt 0\), \(1 + v_n \neq 0\) et on peut diviser : \(u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}\).

c. En remplaçant \(v_n\) par \(4^n\) puis en divisant numérateur et dénominateur par \(4^n\) :

\[u_n = \dfrac{4^n}{4^n + 1} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{4^n}} = \dfrac{1}{1 + 0{,}25^n}.\]

Comme \(0 \lt 0{,}25 \lt 1\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}25^n = 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{1 + 0} = 1\). On retrouve \(\ell = 1\).

Exercice 3 :

Partie I

1. À l’introduction des truites, \(t = 0\) : \(f(0) = 400 \times \text{e}^0 + 40 = 440\). Il y avait 440 crapauds dans le lac.

2. On dérive le produit \(uv\) avec \(u(t) = 0{,}04t^2 – 8t + 400\), \(u^{\prime}(t) = 0{,}08t – 8\), \(v(t) = \text{e}^{\frac{t}{50}}\), \(v^{\prime}(t) = \dfrac{1}{50}\text{e}^{\frac{t}{50}} = 0{,}02\,\text{e}^{\frac{t}{50}}\) ; la constante 40 a une dérivée nulle :

\[f^{\prime}(t) = (0{,}08t – 8)\text{e}^{\frac{t}{50}} + 0{,}02(0{,}04t^2 – 8t + 400)\text{e}^{\frac{t}{50}} = \text{e}^{\frac{t}{50}}(0{,}08t – 8 + 0{,}0008t^2 – 0{,}16t + 8)\]

\[f^{\prime}(t) = \text{e}^{\frac{t}{50}}(0{,}0008t^2 – 0{,}08t) = 0{,}0008\,t(t – 100)\,\text{e}^{\frac{t}{50}} = t(t – 100)\text{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}.\]

3. Sur \([0\,;\,120]\), \(\text{e}^{\frac{t}{50}} \gt 0\) et \(8 \times 10^{-4} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(t)\) a le signe de \(t(t – 100)\). Pour \(t\) dans \(]0\,;\,100[\), \(t \gt 0\) et \(t – 100 \lt 0\), donc \(f^{\prime}(t) \lt 0\) ; pour \(t\) dans \(]100\,;\,120]\), les deux facteurs sont positifs, donc \(f^{\prime}(t) \gt 0\). Valeurs utiles : \(f(0) = 440\) ; \(f(100) = (400 – 800 + 400)\text{e}^2 + 40 = 40\) ; \(f(120) = (576 – 960 + 400)\text{e}^{2{,}4} + 40 = 16\text{e}^{2{,}4} + 40 \approx 216{,}37\).

\(t\)	\(0\)		\(100\)		\(120\)
\(f^{\prime}(t)\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f\)	\(440\)	décroissante ↘	\(40\)	croissante ↗	\(\approx 216{,}37\)

\(f\) est strictement décroissante sur \([0\,;\,100]\) et strictement croissante sur \([100\,;\,120]\).

4. a. D’après le tableau, le minimum de \(f\) est atteint pour \(t = 100\) : \(J = 100\) jours, et le nombre minimum de crapauds est 40.

b. Sur \([100\,;\,120]\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(f(100) = 40 \lt 140\) et \(f(120) \approx 216{,}37 \gt 140\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(t) = 140\) a une unique solution \(t_0\) dans \([100\,;\,120]\), et pour \(t \gt t_0\) on a \(f(t) \gt 140\) : le nombre de crapauds dépassera 140 individus avant la fin de la période étudiée.

c. À la calculatrice : \(f(115) \approx 129{,}77 \lt 140\) et \(f(116) \approx 144{,}20 \gt 140\) (la solution est \(t_0 \approx 115{,}7\)). Le nombre de crapauds dépasse 140 individus à partir du 116e jour.

Partie II

1. Trois quarts des lacs ne sont pas infectés : \(P(\overline{L}) = 0{,}75\) et \(P(L) = 0{,}25\). Dans un lac infecté, \(P_L(T) = 0{,}74\), donc \(P_L(\overline{T}) = 0{,}26\). Dans un lac non infecté, aucun têtard n’est contaminé : \(P_{\overline{L}}(T) = 0\) et \(P_{\overline{L}}(\overline{T}) = 1\).

Premier niveau	Probabilité	Second niveau	Probabilité conditionnelle
\(L\)	\(0{,}25\)	\(T\)	\(0{,}74\)
\(L\)	\(0{,}25\)	\(\overline{T}\)	\(0{,}26\)
\(\overline{L}\)	\(0{,}75\)	\(T\)	\(0\)
\(\overline{L}\)	\(0{,}75\)	\(\overline{T}\)	\(1\)

2. Les évènements \(L\) et \(\overline{L}\) forment une partition de l’univers. Par la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(L) \times P_L(T) + P(\overline{L}) \times P_{\overline{L}}(T) = 0{,}25 \times 0{,}74 + 0{,}75 \times 0 = 0{,}185.\]

3. On cherche \(P_{\overline{T}}(L)\). On a \(P(\overline{T}) = 1 – 0{,}185 = 0{,}815\) et \(P(L \cap \overline{T}) = 0{,}25 \times 0{,}26 = 0{,}065\). Donc :

\[P_{\overline{T}}(L) = \dfrac{P(L \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}065}{0{,}815} \approx 0{,}0798.\]

Sachant que le têtard n’est pas contaminé, la probabilité que le lac soit infecté est environ 0,080.

Exercice A :

Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), les sommets du cube ont pour coordonnées A\((0\,;\,0\,;\,0)\), B\((1\,;\,0\,;\,0)\), C\((1\,;\,1\,;\,0)\), D\((0\,;\,1\,;\,0)\), E\((0\,;\,0\,;\,1)\), F\((1\,;\,0\,;\,1)\), G\((1\,;\,1\,;\,1)\), H\((0\,;\,1\,;\,1)\).

1. Comme \(\vec{\text{EH}} = \vec{\text{AD}}\), \(\vec{\text{EF}} = \vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{BF}} = \vec{\text{AE}}\), on obtient I\((0\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,1)\), J\((\dfrac{1}{4}\,;\,0\,;\,1)\) et K\((1\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{4})\).

2. On a \(\vec{\text{AG}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{IJ}}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{IK}}\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}\end{pmatrix}\). Ces deux derniers vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\vec{\text{IJ}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{IK}}\)), ils dirigent donc le plan (IJK). Or :

\[\vec{\text{AG}} \cdot \vec{\text{IJ}} = \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{4} + 0 = 0 \quad \text{et} \quad \vec{\text{AG}} \cdot \vec{\text{IK}} = 1 – \dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{4} = 0.\]

Orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, \(\vec{\text{AG}}\) est normal au plan (IJK).

3. Le plan (IJK) admet donc une équation de la forme \(x + y + z + d = 0\). Il contient I : \(0 + \dfrac{1}{4} + 1 + d = 0\), d’où \(d = -\dfrac{5}{4}\). L’équation \(x + y + z – \dfrac{5}{4} = 0\) équivaut, en multipliant par 4, à \(4x + 4y + 4z – 5 = 0\). (Contrôle avec J : \(1 + 0 + 4 – 5 = 0\) ; avec K : \(4 + 0 + 1 – 5 = 0\).)

4. La droite (BC) passe par B\((1\,;\,0\,;\,0)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). Une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = t\\ z = 0\end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

5. Un point de (BC) de paramètre \(t\) est dans (IJK) si et seulement si \(4 \times 1 + 4t + 4 \times 0 – 5 = 0\), soit \(4t = 1\), \(t = \dfrac{1}{4}\). Donc L\((1\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,0)\). Comme \(t = \dfrac{1}{4}\) est entre 0 et 1, L est sur le segment [BC], avec \(\vec{\text{BL}} = \dfrac{1}{4}\vec{\text{BC}}\).

6. On place L sur l’arête [BC], au quart de celle-ci en partant de B. Les points K et L appartiennent tous deux au plan (IJK) et à la face (BCGF) (leur abscisse vaut 1, qui est l’équation du plan de cette face). L’intersection du plan (IJK) avec la face est donc le segment [KL], qu’on trace sur la figure. Il est parallèle à la diagonale [FC] de la face, puisque \(\vec{\text{KL}}\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}\end{pmatrix} = \dfrac{1}{4}\vec{\text{FC}}\). Sur la figure complétée ci-dessous, on voit aussi, en tirets, la section complète du cube par le plan (IJK) : un hexagone passant par I, J, K, L, M (question 7) et le point \((0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{4})\) de l’arête [DH], situé au quart de celle-ci en partant de D (ce tracé complet n’est pas exigé).

7. Le point M\((\dfrac{1}{4}\,;\,1\,;\,0)\) vérifie l’équation du plan (IJK) : \(4 \times \dfrac{1}{4} + 4 \times 1 + 4 \times 0 – 5 = 1 + 4 – 5 = 0\). Donc M appartient au plan (IJK). Les points I et J sont dans ce plan par définition, et L aussi d’après la question 5. Les quatre points I, J, L et M appartiennent au même plan (IJK) : ils sont coplanaires.

Exercice B :

Partie I

1. Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives, \(\ln(x) \to -\infty\) et \(\dfrac{1}{x} \to +\infty\), donc par produit \(\dfrac{\ln(x)}{x} = \ln(x) \times \dfrac{1}{x} \to -\infty\). Ainsi \(\lim\limits_{x \to 0^+} h(x) = -\infty\).

2. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\), donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 1\). La droite d’équation \(y = 1\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\) en \(+\infty\).

3. La fonction \(x \mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}\) est un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \ln(x)\), \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\), \(v(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = 1\). Donc :

\[h^{\prime}(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x – \ln(x) \times 1}{x^2} = \dfrac{1 – \ln(x)}{x^2}.\]

4. Comme \(x^2 \gt 0\), \(h^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – \ln(x)\). Or \(1 – \ln(x) \gt 0 \iff \ln(x) \lt 1 \iff x \lt \text{e}\) (la fonction \(\ln\) est strictement croissante). Le maximum vaut \(h(\text{e}) = 1 + \dfrac{\ln(\text{e})}{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}\).

\(x\)	\(0\)		\(\text{e}\)		\(+\infty\)
\(h^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h\)	\|\| \(-\infty\)	croissante ↗	\(1 + \dfrac{1}{\text{e}}\)	décroissante ↘	\(1\)

5. Sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(h\) décroît de \(1 + \dfrac{1}{\text{e}}\) vers sa limite 1 sans l’atteindre, donc \(h(x) \gt 1 \gt 0\) : l’équation \(h(x) = 0\) n’a pas de solution sur cet intervalle.

Sur \(]0\,;\,\text{e}]\) : \(h\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, elle tend vers \(-\infty\) en 0 et vaut \(1 + \dfrac{1}{\text{e}} \gt 0\) en \(\text{e}\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(h(x) = 0\) a une unique solution sur cet intervalle.

Au total, l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,+\infty[\), et \(\alpha \lt \text{e}\).

Encadrement : \(h(0{,}5) = 1 + \dfrac{\ln(0{,}5)}{0{,}5} = 1 – 2\ln 2 \approx -0{,}386 \lt 0\) et \(h(0{,}6) = 1 + \dfrac{\ln(0{,}6)}{0{,}6} \approx 0{,}149 \gt 0\). Comme \(h\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\text{e}]\) et que \(h(0{,}5) \lt h(\alpha) = 0 \lt h(0{,}6)\), on en déduit \(0{,}5 \lt \alpha \lt 0{,}6\) (en fait \(\alpha \approx 0{,}567\)).

Partie II

1. La fonction \(g = \ln\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) avec \(g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\). Le coefficient directeur de la tangente \(D_a\) est le nombre dérivé \(g^{\prime}(a)\), soit \(\dfrac{1}{a}\).

2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\). En dérivant le produit \(x\ln(x)\) : \(f^{\prime}(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} – 1 = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\). Le coefficient directeur de \(T_a\) est donc \(f^{\prime}(a) =\) \(\ln(a)\).

3. Le repère est orthonormé, donc \(T_a\) et \(D_a\) sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut \(-1\) :

\[\ln(a) \times \dfrac{1}{a} = -1 \iff \dfrac{\ln(a)}{a} = -1 \iff 1 + \dfrac{\ln(a)}{a} = 0 \iff h(a) = 0.\]

D’après la partie I, cette équation a une unique solution sur \(]0\,;\,+\infty[\), le réel \(\alpha\). Il existe donc une seule valeur de \(a\) pour laquelle \(T_a\) et \(D_a\) sont perpendiculaires : \(a = \alpha\), avec \(0{,}5 \lt \alpha \lt 0{,}6\) (\(\alpha \approx 0{,}567\)).

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