Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en France (septembre, jour 2).
Par ailleurs, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.
Corrigé septembre 2025 : le sujet en un coup d’œil
D’abord, ce corrigé septembre 2025 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en France (septembre, jour 2), avec toutes ses questions. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 6, 5, 4 et 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la loi binomiale, les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence et le dénombrement. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine — 10 septembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures
Exercice 1 (6 points)
El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l’ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l’apparition de ce phénomène.
Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes
Partie A – Premier modèle
À partir d’un échantillon de données, on considère une première modélisation :
- chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à 0,4 ;
- la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d’une année sur l’autre.
On note \(X\) la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d’années où El Niño est dominant.
1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. a. Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
b. Calculer \(P(X \leq\, 2)\). Que signifie ce résultat dans le contexte de l’exercice ?
3. Calculer \(E(X)\). Interpréter ce résultat.
Partie B – Second modèle
Après une étude d’un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :
- si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu’il le soit encore l’année suivante est 0,5
- par contre, si le phénomène El Niño n’est pas dominant une année, alors la probabilité qu’il soit dominant l’année suivante est 0,3.
On considère que l’année de référence est 2023.
On note pour tout entier naturel \(n\) :
- \(E_n\) l’évènement « le phénomène El Niño est dominant l’année \(2023 + n\) » ;
- \(p_n\) la probabilité de l’évènement \(E_n\).
En 2023, El Niño n’était pas dominant. On a ainsi \(p_0 = 0\).
1. Soit \(n\) un entier naturel. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
2. Justifier que \(p_1 = 0{,}3\).
3. En vous aidant de l’arbre, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}3\]
On cherche à prévoir l’évolution de l’apparition du phénomène El Niño.
4. a. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite \((p_n)\).
b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(p_n \leq\, \dfrac{3}{8}\).
c. Déterminer le sens de variation de la suite \((p_n)\).
d. En déduire la convergence de la suite \((p_n)\).
On cherche à déterminer la limite de la suite \((p_n)\).
Exercice 1 du corrigé septembre 2025, partie B : question 5
5. Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = p_n – \dfrac{3}{8}\) pour tout entier naturel \(n\).
a. Montrer que la suite \((u_n)\) est géométrique de raison 0,2 et préciser son premier terme.
b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[p_n = \dfrac{3}{8}(1 – 0{,}2^n).\]
c. Calculer la limite de la suite \((p_n)\).
d. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Exercice 2 (5 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.
Affirmation 1 :
Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\sin(2x + \pi)\) et \(C\) sa courbe représentative dans un repère donné.
Affirmation 2 :
Une équation de la tangente à \(C\) au point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) est \(y = 6x – 3\pi\).
3. On considère la fonction \(F\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(F(x) = (2x + 1)\ln(x)\).
Affirmation 3 :
La fonction \(F\) est une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{2}{x}\).
4. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t) = 45\,\text{e}^{0{,}06t} + 20\).
Affirmation 4 :
La fonction \(g\) est l’unique solution de l’équation différentielle
\((E_1) : y^{\prime} + 0{,}06y = 1{,}2\) vérifiant \(g(0) = 65\).
5. On considère l’équation différentielle :
\[(E_2) : \quad y^{\prime} – y = 3\,\text{e}^{0{,}4x}\]
où \(y\) est une fonction positive de la variable réelle \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(y^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(y\).
Affirmation 5 :
Les solutions de l’équation \((E_2)\) sont des fonctions convexes sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 (4 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,8]\) par
\[f(x) = \dfrac{10\ln(-x^2 + 7x + 9)}{x}\]
Soit \(C_f\) la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).
Partie A
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(-x^2 + 7x + 8 \geq\, 0\).
2. En déduire que pour tout \(x \in\ ]0\,;\,8]\), on a \(f(x) \geq\, 0\).
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
Partie B
La courbe \(C_f\) est représentée ci-dessous.
Soit \(M\) le point de \(C_f\) d’abscisse \(x\) avec \(x \in\ ]0\,;\,8]\).
On appelle \(N\) et \(P\) les projetés orthogonaux du point \(M\) respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.
Dans cette partie, on s’intéresse à l’aire \(\mathcal{A}(x)\) du rectangle \(\text{O}NMP\).
1. Donner les coordonnées des points \(N\) et \(P\) en fonction de \(x\).
2. Montrer que pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]0\,;\,8]\),
\[\mathcal{A}(x) = 10\ln(-x^2 + 7x + 9)\]
3. Existe-t-il une position du point \(M\) pour laquelle l’aire du rectangle \(\text{O}NMP\) est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.
Partie C
On considère un réel strictement positif \(k\).
On souhaite déterminer la plus petite valeur de \(x\), approchée au dixième, appartenant à \([3{,}5\,;\,8]\) pour laquelle l’aire \(\mathcal{A}(x)\) devient inférieure ou égale à \(k\).
Pour ce faire, on considère l’algorithme ci-dessous.
Pour rappel, en langage Python, \(\ln(x)\) s’écrit log(\(x\)).
1 from math import * 2 3 def A(x) : 4 return 10*log (- 1* x**2 + 7*x + 9) 5 6 def pluspetitevaleur(k) : 7 x = 3.5 8 while A(x).......... : 9 x = x + 0.1 10 return ...........
1. Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l’algorithme.
2. Quel nombre renvoie alors l’instruction pluspetitevaleur(30) ?
3. Que se passe-t-il lorsque \(k = 35\) ? Justifier.
Exercice 4 (5 points)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).
On considère les points
A\((4\,;\,-1\,;\,3)\), B\((-1\,;\,1\,;\,-2)\), C\((0\,;\,4\,;\,5)\) et D\((-3\,;\,-4\,;\,6)\).
1. a. Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.
On admet qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(29x + 30y – 17z = 35\).
b. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Justifier.
On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.
L’objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points A, B, C, D.
On définit le plan médiateur d’un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C’est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
2. Soit \(P_1\) le plan médiateur du segment [AB].
a. Déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB].
b. En déduire qu’une équation cartésienne de \(P_1\) est : \(5x – 2y + 5z = 10\).
3. On note \(P_2\) le plan médiateur du segment [CD].
a. Soit M un point du plan \(P_2\) de coordonnées \((x\,;\,y\,;\,z)\).
Exprimer \(\text{MC}^2\) et \(\text{MD}^2\) en fonction des coordonnées de M.
En déduire qu’une équation cartésienne du plan \(P\) est : \(-3x – 8y + z = 10\).
b. Justifier que les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.
Exercice 4 du corrigé septembre 2025 : questions 4 à 6
4. Soit \(\Delta\) la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\{\begin{array}{l} x = -2 – 1{,}9t \\ y = t \\ z = 4 + 2{,}3t \end{array}. \quad \text{où } t \in \mathbb{R}\]
Démontrer que \(\Delta\) est la droite d’intersection de \(P_1\) et \(P_2\).
On note \(P_3\) le plan médiateur du segment [AC].
On admet qu’une équation cartésienne du plan \(P_3\) est : \(8x – 10y – 4z = -15\).
5. Démontrer que la droite \(\Delta\) et le plan \(P_3\) sont sécants.
6. Justifier que le point d’intersection entre \(\Delta\) et \(P_3\) est le point H.
Corrigé septembre 2025 : conseils de révision
D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la loi binomiale ou les suites arithmético-géométriques, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article loi binomiale de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Points de vigilance
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
- Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
- Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Corrigé septembre 2025 : questions fréquentes
Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la loi binomiale, les suites arithmético-géométriques et le raisonnement par récurrence, mais aussi le dénombrement.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en France (septembre, jour 2)
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