Bac maths 2023 Nlle-Calédonie J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet de mathématiques du bac 2023 en Nouvelle-Calédonie, deuxième jour de l’épreuve de spécialité, passé le 29 août 2023. Il s’ouvre sur un cube d’arête 1 dans lequel on calcule le volume du tétraèdre FGCK, une équation du plan (CFK) et la distance de G à ce plan, pour en déduire l’aire d’un triangle. On étudie ensuite la fonction \(x \mapsto x\text{e}^{-x}\) : asymptote, variations, convexité et ordonnée à l’origine de ses tangentes. Le troisième exercice porte sur une suite homographique (script Python, récurrence, suite auxiliaire arithmétique) et le dernier est un QCM de probabilités (tableau croisé d’un club sportif, pannes de bus et de train, lancers de pièce). Chaque question est reprise dans le corrigé détaillé placé sous l’énoncé.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2023
Nouvelle-Calédonie — 29 août 2023 — Jour 2
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.

Exercice 1 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous.

On note K le milieu du segment [HG].

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A} ; \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AE}})\).

1. Justifier que les points C, F et K définissent un plan.

2. a. Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.

b. Calculer l’aire du triangle FGC.

c. Calculer le volume du tétraèdre FGCK.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par :

\[V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h,\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

3. a. On note \(\vec{n}\) le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\).

Démontrer que \(\vec{n}\) est normal au plan (CFK).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (CFK) est :

\[x + 2y + z – 3 = 0.\]

4. On note \(\Delta\) la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK).

Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R}))\]

5. Soit L le point d’intersection entre la droite \(\Delta\) et le plan (CFK).

a. Déterminer les coordonnées du point L.

b. En déduire que \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\).

6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle CFK.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \([0 ; +\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

1. En remarquant que pour tout \(x\) dans \([0 ; +\infty[\), on a

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x},\]

démontrer que la courbe \(\mathcal{C}_f\) possède une asymptote en \(+\infty\) dont on donnera une équation.

2. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \([0 ; +\infty[\) :

\[f^{\prime}(x) = (1 – x)\text{e}^{-x}.\]

3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\), sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.

4. Déterminer, sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\), le nombre de solutions de l’équation

\[f(x) = \dfrac{367}{1000}.\]

5. On admet que pour tout \(x\) appartenant à \([0 ; +\infty[\) :

\[f^{\prime\prime}(x) = \text{e}^{-x}(x – 2).\]

Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\).

6. Soit \(a\) un réel appartenant à \([0 ; +\infty[\) et A le point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\).

On note \(T_a\) la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en A.

On note \(\text{H}_a\) le point d’intersection de la droite \(T_a\) et de l’axe des ordonnées.

On note \(g(a)\) l’ordonnée de \(\text{H}_a\).

La situation est représentée sur la figure ci-dessous.

a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente \(T_a\) est :

\[y = [(1 – a)\text{e}^{-a}]x + a^2\text{e}^{-a}.\]

b. En déduire l’expression de \(g(a)\).

c. Démontrer que \(g(a)\) est maximum lorsque A est un point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) telle que \(u_0 = 0\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = \dfrac{-u_n – 4}{u_n + 3}.\]

On admet que \(u_n\) est défini pour tout entier naturel \(n\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_1\) et \(u_2\).

2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :

def terme (n) :
    u = ...
    for i in range(n):
        u = ...
    return(u)

On rappelle qu’en langage Python, « i in range (n) » signifie que \(i\) varie de 0 à \(n – 1\).

Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel \(n\), l’instruction terme (n) renvoie la valeur de \(u_n\).

3. Soit la fonction \(f\) définie sur \(]-3 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{-x – 4}{x + 3}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-3 ; +\infty[\).

4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n.\]

5. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

6. Soit la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}.\]

a. Donner \(v_0\).

b. Démontrer que la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 1.

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\) :

\[u_n = \dfrac{1}{n + 0{,}5} – 2.\]

d. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les 200 adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.

	Aviron	Basket	Total
Filles	25	80	105
Garçons	50	45	95
Total	75	125	200

On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :

\(F\) : l’adhérent est une fille ;
\(A\) : l’adhérent pratique l’aviron.

1. La probabilité de \(F\) sachant \(A\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{25}{100}\)	\(\dfrac{25}{75}\)	\(\dfrac{25}{105}\)	\(\dfrac{75}{105}\)

2. La probabilité de l’évènement \(A \cup F\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{9}{10}\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{31}{40}\)	\(\dfrac{5}{36}\)

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à \(b\).

La probabilité que le train soit en panne est égale à \(t\).

Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

3. La probabilité \(p_1\) que le bus ou le train soient en panne est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(p_1 = bt\)	\(p_1 = 1 – bt\)	\(p_1 = b + t\)	\(p_1 = b + t – bt\)

4. La probabilité \(p_2\) que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(p_2 = bt\)	\(p_2 = 1 – bt\)	\(p_2 = b + t\)	\(p_2 = b + t – bt\)

5. On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à \(x\).

On lance la pièce \(n\) fois. Les lancers sont indépendants.

La probabilité \(p\) d’obtenir au moins une fois FACE sur les \(n\) lancers est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(p = x^n\)	\(p = (1 – x)^n\)	\(p = 1 – x^n\)	\(p = 1 – (1 – x)^n\)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Commençons par lire les coordonnées utiles dans le repère \((\text{A} ; \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AE}})\) : le premier axe suit [AD], le deuxième [AB], le troisième [AE]. On obtient \(\text{C}(1 ; 1 ; 0)\) car \(\vec{\text{AC}} = \vec{\text{AD}} + \vec{\text{AB}}\), \(\text{F}(0 ; 1 ; 1)\) car \(\vec{\text{AF}} = \vec{\text{AB}} + \vec{\text{AE}}\), \(\text{H}(1 ; 0 ; 1)\) et \(\text{G}(1 ; 1 ; 1)\). K étant le milieu de [HG], ses coordonnées sont les moyennes de celles de H et G : \(\text{K}(1 ; \dfrac{1}{2} ; 1)\).

1. Trois points définissent un plan dès qu’ils ne sont pas alignés. Calculons \(\vec{\text{CF}}\begin{pmatrix}0-1\\1-1\\1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{CK}}\begin{pmatrix}1-1\\\frac{1}{2}-1\\1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}\).

La première coordonnée de \(\vec{\text{CK}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{CF}}\) vaut \(-1\) : si l’on avait \(\vec{\text{CK}} = k\,\vec{\text{CF}}\), on aurait \(k = 0\), donc \(\vec{\text{CK}} = \vec{0}\), ce qui est faux. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc C, F et K ne sont pas alignés et définissent un plan.

2. a. K est le milieu d’une arête de longueur 1 et [GF], [GC] sont des arêtes du cube : \(\text{KG} = \dfrac{1}{2}\), \(\text{GF} = 1\) et \(\text{GC} = 1\).

b. La face BCGF est un carré, donc l’angle \(\widehat{\text{FGC}}\) est droit : le triangle FGC est rectangle en G. Son aire vaut la moitié du produit des côtés de l’angle droit :

\[\mathcal{A}_{\text{FGC}} = \dfrac{\text{GF} \times \text{GC}}{2} = \dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2}.\]

L’aire du triangle FGC est \(\dfrac{1}{2}\) unité d’aire.

c. Prenons FGC comme base. La droite (KG) est portée par l’arête [HG], perpendiculaire à la face BCGF (elle est orthogonale à [GF] et à [GC], deux droites sécantes de cette face). Le segment [KG] est donc la hauteur issue de K, de longueur \(\dfrac{1}{2}\). D’où :

\[V_{\text{FGCK}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{FGC}} \times \text{KG} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}.\]

Le volume du tétraèdre FGCK est \(\dfrac{1}{12}\) unité de volume.

3. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On utilise \(\vec{\text{CF}}\) et \(\vec{\text{CK}}\), non colinéaires d’après la question 1 :

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{CF}} = 1 \times (-1) + 2 \times 0 + 1 \times 1 = 0\]

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{CK}} = 1 \times 0 + 2 \times (-\dfrac{1}{2}) + 1 \times 1 = 0\]

Les deux produits scalaires sont nuls, donc \(\vec{n}\) est normal au plan (CFK).

b. Puisque \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) est normal au plan, celui-ci admet une équation de la forme \(x + 2y + z + d = 0\). Le point C(1 ; 1 ; 0) appartient au plan, donc \(1 + 2 \times 1 + 0 + d = 0\), soit \(d = -3\). Une équation cartésienne de (CFK) est bien \(x + 2y + z – 3 = 0\). (On peut contrôler avec F : \(0 + 2 + 1 – 3 = 0\), et avec K : \(1 + 1 + 1 – 3 = 0\).)

4. Une droite orthogonale à un plan a pour vecteur directeur n’importe quel vecteur normal à ce plan : \(\Delta\) est dirigée par \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\). Elle passe par G(1 ; 1 ; 1). Un point M(\(x\) ; \(y\) ; \(z\)) appartient à \(\Delta\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{GM}} = t\,\vec{n}\), c’est-à-dire \(x – 1 = t\), \(y – 1 = 2t\) et \(z – 1 = t\). On obtient bien la représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R})\]

5. a. Le point L est sur \(\Delta\), donc ses coordonnées s’écrivent \((1 + t ; 1 + 2t ; 1 + t)\) pour un certain réel \(t\), et il est dans le plan (CFK), donc elles vérifient l’équation du plan :

\[(1 + t) + 2(1 + 2t) + (1 + t) – 3 = 0 \iff 6t + 1 = 0 \iff t = -\dfrac{1}{6}.\]

On remplace : \(x = 1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\), \(y = 1 – \dfrac{2}{6} = \dfrac{2}{3}\), \(z = \dfrac{5}{6}\). Donc \(\text{L}(\dfrac{5}{6} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{5}{6})\).

b. On calcule la distance entre G(1 ; 1 ; 1) et L :

\[\text{LG} = \sqrt{(1 – \dfrac{5}{6})^2 + (1 – \dfrac{2}{3})^2 + (1 – \dfrac{5}{6})^2} = \sqrt{\dfrac{1}{36} + \dfrac{4}{36} + \dfrac{1}{36}} = \sqrt{\dfrac{6}{36}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.\]

On retrouve bien \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\). Comme L est le projeté orthogonal de G sur le plan (CFK), c’est la distance du point G à ce plan.

6. On calcule le volume du même tétraèdre FGCK d’une autre façon, en prenant cette fois pour base le triangle CFK. La hauteur associée est la distance de G au plan (CFK), c’est-à-dire \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\). En notant \(\mathcal{B}\) l’aire de CFK et en utilisant le volume trouvé à la question 2 :

\[\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times \dfrac{\sqrt{6}}{6} = \dfrac{1}{12} \iff \mathcal{B} = \dfrac{3 \times 6}{12\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{12} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}.\]

L’aire du triangle CFK vaut \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) unité d’aire (environ 0,612).

Exercice 2 :

1. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\). En passant à l’inverse (quantité positive pour \(x \gt 0\)), on obtient \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\), c’est-à-dire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet donc en \(+\infty\) une asymptote horizontale d’équation \(y = 0\) : l’axe des abscisses.

2. \(f\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{-x}\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\). La formule \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) donne :

\[f^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{-x} + x \times (-\text{e}^{-x}) = (1 – x)\text{e}^{-x}.\]

3. Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\) pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – x\) : positif sur \([0 ; 1]\), nul en 1, négatif sur \([1 ; +\infty[\). On calcule \(f(0) = 0\), \(f(1) = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}\), et on a vu que \(f\) tend vers 0 en \(+\infty\).

\(x\)	\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
variations de \(f\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\text{e}^{-1}\)	\(\searrow\)	\(0\)

La fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\), strictement décroissante sur \([1 ; +\infty[\), et admet un maximum égal à \(\text{e}^{-1}\) atteint en \(x = 1\).

4. On a \(\text{e}^{-1} \approx 0{,}3679\), donc \(\dfrac{367}{1000} = 0{,}367\) est strictement compris entre 0 et le maximum \(\text{e}^{-1}\). On découpe l’intervalle en deux :

sur \([0 ; 1]\), \(f\) est continue et strictement croissante, de \(f(0) = 0\) à \(f(1) = \text{e}^{-1}\) ; comme \(0 \lt 0{,}367 \lt \text{e}^{-1}\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x) = 0{,}367\) a exactement une solution dans cet intervalle ;
sur \([1 ; +\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante, de \(\text{e}^{-1}\) vers la limite 0 ; comme \(0 \lt 0{,}367 \lt \text{e}^{-1}\), le même corollaire donne exactement une solution dans cet intervalle (et \(x = 1\) n’en est pas une puisque \(f(1) \neq 0{,}367\)).

L’équation \(f(x) = \dfrac{367}{1000}\) admet donc exactement deux solutions sur \([0 ; +\infty[\) (la calculatrice donne environ 0,93 et 1,07, de part et d’autre de 1).

5. La convexité se lit sur le signe de \(f^{\prime\prime}\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x – 2\) :

sur \([0 ; 2]\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f\) est concave sur \([0 ; 2]\) ;
sur \([2 ; +\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) : \(f\) est convexe sur \([2 ; +\infty[\).

La dérivée seconde s’annule en 2 en changeant de signe : le point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse 2, de coordonnées \((2 ; 2\text{e}^{-2})\), est l’unique point d’inflexion de la courbe.

6. a. La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\). Avec \(f^{\prime}(a) = (1 – a)\text{e}^{-a}\) et \(f(a) = a\text{e}^{-a}\) :

\[y = (1 – a)\text{e}^{-a}\,x – a(1 – a)\text{e}^{-a} + a\text{e}^{-a}\]

Le terme constant vaut \(-a\text{e}^{-a} + a^2\text{e}^{-a} + a\text{e}^{-a} = a^2\text{e}^{-a}\). L’équation réduite de \(T_a\) est donc bien :

\[y = [(1 – a)\text{e}^{-a}]x + a^2\text{e}^{-a}.\]

b. Le point \(\text{H}_a\) est sur l’axe des ordonnées, donc son abscisse est 0. Son ordonnée s’obtient en remplaçant \(x\) par 0 dans l’équation de \(T_a\) : c’est l’ordonnée à l’origine. Ainsi \(g(a) = a^2\text{e}^{-a}\).

c. On étudie la fonction \(g\) définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(g(a) = a^2\text{e}^{-a}\). Elle est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et :

\[g^{\prime}(a) = 2a\,\text{e}^{-a} + a^2 \times (-\text{e}^{-a}) = a(2 – a)\text{e}^{-a}.\]

Sur \([0 ; +\infty[\), \(a \geq\, 0\) et \(\text{e}^{-a} \gt 0\), donc \(g^{\prime}(a)\) a le signe de \(2 – a\) (avec \(g^{\prime}(0) = 0\)) : \(g^{\prime}(a) \geq\, 0\) sur \([0 ; 2]\) et \(g^{\prime}(a) \lt 0\) sur \(]2 ; +\infty[\). La fonction \(g\) croît sur \([0 ; 2]\) puis décroît sur \([2 ; +\infty[\) : elle atteint son maximum en \(a = 2\), qui vaut \(g(2) = 4\text{e}^{-2}\).

Or on a vu à la question 5 que le point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est précisément le point d’abscisse 2. Donc \(g(a)\) est maximale lorsque A est le point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).

Exercice 3 :

1. On applique la relation de récurrence avec \(u_0 = 0\) :

\[u_1 = \dfrac{-0 – 4}{0 + 3} = -\dfrac{4}{3}\]

\[u_2 = \dfrac{\dfrac{4}{3} – 4}{-\dfrac{4}{3} + 3} = \dfrac{-\dfrac{8}{3}}{\dfrac{5}{3}} = -\dfrac{8}{5}\]

Donc \(u_1 = -\dfrac{4}{3}\) et \(u_2 = -\dfrac{8}{5}\).

2. La variable u doit partir de \(u_0 = 0\), puis la boucle, exécutée \(n\) fois, remplace à chaque passage \(u_k\) par \(u_{k+1}\) ; après \(n\) passages, u contient \(u_n\). Le script complété est :

def terme (n) :
    u = 0
    for i in range(n):
        u = (-u - 4) / (u + 3)
    return(u)

3. \(f\) est un quotient de fonctions affines dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(]-3 ; +\infty[\) : elle y est dérivable. Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{(-1)(x + 3) – (-x – 4) \times 1}{(x + 3)^2} = \dfrac{-x – 3 + x + 4}{(x + 3)^2} = \dfrac{1}{(x + 3)^2}.\]

Un carré non nul est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]-3 ; +\infty[\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-3 ; +\infty[\).

4. Notons \(P(n)\) la propriété « \(-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\) ».

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_0 = 0\) et \(u_1 = -\dfrac{4}{3} \approx -1{,}33\). On a bien \(-2 \lt -\dfrac{4}{3} \leq\, 0\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) soit vraie : \(-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\). Les trois nombres \(-2\), \(u_{n+1}\) et \(u_n\) appartiennent à \(]-3 ; +\infty[\), intervalle sur lequel \(f\) est strictement croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l’ordre : \(f(-2) \lt f(u_{n+1}) \leq\, f(u_n)\). Or \(f(-2) = \dfrac{2 – 4}{-2 + 3} = -2\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(u_n) = u_{n+1}\). On obtient \(-2 \lt u_{n+2} \leq\, u_{n+1}\) : c’est \(P(n + 1)\).

Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence \(-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n\) pour tout entier naturel \(n\).

5. D’après la question 4, pour tout \(n\), \(u_{n+1} \leq\, u_n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante. De plus \(u_0 = 0 \gt -2\) et \(u_{n+1} \gt -2\) pour tout \(n\), donc tous les termes sont strictement supérieurs à \(-2\) : la suite est minorée par \(-2\). Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone) : la suite \((u_n)\) est convergente.

6. Remarque préalable : comme \(u_n \gt -2\), on a \(u_n + 2 \gt 0\), donc \(v_n\) est bien défini et strictement positif pour tout \(n\).

a. \(v_0 = \dfrac{1}{0 + 2}\), donc \(v_0 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).

b. Exprimons d’abord \(u_{n+1} + 2\) en réduisant au même dénominateur :

\[u_{n+1} + 2 = \dfrac{-u_n – 4 + 2(u_n + 3)}{u_n + 3} = \dfrac{u_n + 2}{u_n + 3}.\]

En prenant l’inverse, \(v_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{u_n + 2} = \dfrac{(u_n + 2) + 1}{u_n + 2} = 1 + \dfrac{1}{u_n + 2} = 1 + v_n\).

Pour tout \(n\), \(v_{n+1} – v_n = 1\) : la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 1, de premier terme \(v_0 = 0{,}5\).

c. Le terme général d’une suite arithmétique donne \(v_n = v_0 + n \times 1 = n + 0{,}5\). Par ailleurs, \(v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}\) équivaut à \(u_n + 2 = \dfrac{1}{v_n}\) (car \(v_n \neq 0\)), soit \(u_n = \dfrac{1}{v_n} – 2\). Ainsi :

\[u_n = \dfrac{1}{n + 0{,}5} – 2,\]

ce qui est la formule demandée, valable pour tout \(n \geq\, 1\) (et même pour \(n = 0\), puisque \(\dfrac{1}{0{,}5} – 2 = 0 = u_0\)).

d. Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(n + 0{,}5\) tend vers \(+\infty\), donc \(\dfrac{1}{n + 0{,}5}\) tend vers 0. Par somme, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -2\). C’est cohérent avec la question 5 : la suite décroît et se rapproche de son minorant \(-2\) sans jamais l’atteindre.

Exercice 4 :

1. Réponse b. Sachant \(A\), on se restreint aux 75 adhérents qui pratiquent l’aviron ; parmi eux, 25 sont des filles. Donc \(P_A(F) = \dfrac{25}{75}\) \((= \dfrac{1}{3})\).

2. Réponse c. Par la formule \(P(A \cup F) = P(A) + P(F) – P(A \cap F) = \dfrac{75}{200} + \dfrac{105}{200} – \dfrac{25}{200} = \dfrac{155}{200} = \dfrac{31}{40}\). On peut aussi compter directement : seuls les 45 garçons qui font du basket ne sont ni filles ni rameurs, et \(\dfrac{200 – 45}{200} = \dfrac{155}{200}\).

3. Réponse d. Notons \(B\) « le bus est en panne » et \(T\) « le train est en panne ». Par indépendance, \(P(B \cap T) = P(B) \times P(T) = bt\). Alors \(p_1 = P(B \cup T) = P(B) + P(T) – P(B \cap T) = b + t – bt\).

4. Réponse b. Albert ne peut pas aller travailler uniquement si les deux moyens de transport sont en panne en même temps, ce qui a pour probabilité \(bt\). L’évènement contraire a donc pour probabilité \(p_2 = 1 – bt\).

5. Réponse d. Le contraire de « au moins une fois FACE » est « aucun FACE », c’est-à-dire PILE à chacun des \(n\) lancers. Les lancers étant indépendants, cette probabilité vaut \((1 – x)^n\). Donc \(p = 1 – (1 – x)^n\).

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