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Bac S Nouvelle Calédonie

Mars 2019

MATHÉMATIQUES
Série S
Enseignement Obligatoire – Coefficient 7
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 :  5 points
Commun à tous les candidats
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A
Une société de location de voitures s’intéresse à l’état mécanique de son parc automobile afin d’anticiper
les frais d’entretien.
On dispose des données suivantes :
• 20% des voitures sont sous garantie;
• pour 1% des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire;
• pour 10% de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les événements suivants :
• G : « la voiture est sous garantie » ;
• R : « une réparation est nécessaire ».

1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
c. Justifier que P(R) = 0,082.
d. Il s’avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie? On arrondira le résultat à mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

2. La société de location fait appel à un garage pour l’entretien de son parc automobile.
L’entretien consiste en une révision à laquelle s’ajoutent d’éventuelles réparations.

Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
• si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit ;
• si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est facturé de la manière suivante : la révision
coûte 100 € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 €.
Sachant que son parc automobile compte 2 500 voitures, est-il raisonnable pour la société de
location de prévoir un budget annuel de 250 000 euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures
?
On pourra introduire la variable aléatoire X qui représente le coût d’entretien d’une voiture.

Partie B
La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée
(inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours).
La directrice de cette société affirme que 80% des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les 600 derniers contrats signés l’année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée.

1. En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des contrats de courte durée.
2. Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice?

Partie C
On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine
par une variable aléatoire Y suivant la loi normale d’espérance mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé et d’écart-type mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500 km et
600 km? On arrondira le résultat à mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15% de ses clients parcourant
le moins de kilomètres en une semaine.
En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné
par cette offre?

Exercice 2 : 6 points
Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé par :
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

1. Déterminer la limite de g en mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
2. Démontrer que la limite de g en mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé vaut −2.
3. On admet que la fonction g est dérivable sur R et on note mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé sa dérivée.
Calculer mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé pour tout réel x puis dresser le tableau de variations de g .
4. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
5. En déduire le signe de la fonction g sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé  de mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Partie B : Étude de la fonction f
Soit f la fonction définie sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé par
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
1. Résoudre l’équation f (x) = 0 sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé et on note mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé sa fonction dérivée.
On admet par ailleurs que, pour tout réel x, mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé où la fonction g est celle définie à
la partie A.
Étudier les variations de la fonction f sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
3. Démontrer que le maximum de la fonction mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé est égal à  mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Partie C : Aire d’un domaine
Dans un repère orthonormé mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé, on note mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé le domaine compris entre la courbe représentative
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé de la fonction f , la parabole mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé d’équation mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé  et les droites d’équations x = 0 et x = 4.
1. Déterminer la position relative des courbes mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé  et mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé .
2. On admet qu’une primitive de la fonction f sur mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé est définie par :
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
Calculer l’aire du domaine mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé en unité d’aire. On donnera la valeur exacte.

Exercice 3 : 4 points
Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte
aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
1. Soit (E) l’équation d’inconnue le nombre complexe z.
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé

Affirmation 1 :

Les points dont les affixes sont les solutions de l’équation (E) sont les sommets d’un triangle d’aire égale à 16 unités d’aire.
2. Soit mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé l’ensemble des points dont les affixes z vérifient :
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Affirmation 2 :

L’ensemble mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé est le cercle de centre O et de rayon 3.

3. On considère la suite de nombres complexes mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé définie pour tout entier naturel n par :
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé
Pour tout entier naturel n, on note mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé le point d’affixe mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Affirmation 3 :

Pour tout entier naturel n, les points mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé , O et Mn+3 sont alignés.

4. On considère l’équation d’inconnue le nombre réel x.
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Affirmation 4 :

Cette équation admet exactement quatre solutions sur l’intervalle mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé qui
sont :

mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé et  mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Exercice 4 : 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé à valeurs réelles définie par mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé et, pour tout entier naturel mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé,
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé
.
Partie A : Conjectures
Les premières valeurs de la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture
d’écran :
bac-S-nouvelle-caledonie-2019-1 Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs
des premiers termes de la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé ?
2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé ?
3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé ?
4. Écrire un algorithme calculant mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.

Partie B : Étude générale
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
2. Étudier les variations de la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
3. La suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé  est-elle convergente? Justifier.

Partie C : Recherche d’une expression du terme général
On définit la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé en posant, pour tout entier naturel n,

mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
1. Démontrer que la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le
premier terme.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n,
mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
3. Déterminer la limite de la suite mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé tel que, pour tout entier naturel
n supérieur ou égal à mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé, mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé.
Justifier l’existence d’un tel entier mimetex Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé et déterminer sa valeur.

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