Bac s : sujet de bac S de maths 2019 en Nouvelle-Calédonie

Sommaire

Bac S Nouvelle Calédonie

Mars 2019

Ensuite, MATHÉMATIQUES
Série S
Enseignement Obligatoire – Coefficient 7
Durée de l’épreuve : 4 heures

Bac s : présentation de l’épreuve

D’abord, ce bac s vous permet de retrouver le bac S de mathématiques 2019 en Nouvelle-Calédonie, avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 6, 4 et 5 points. De plus, on y mobilise surtout les nombres complexes, les limites, la dérivation et les probabilités conditionnelles. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

Exercice 1 : 5 points

Commun à tous les candidats
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Une société de location de voitures s’intéresse à l’état mécanique de son parc automobile afin d’anticiper
les frais d’entretien.
On dispose des données suivantes :
• 20% des voitures sont sous garantie;
• pour 1% des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire;
• pour 10% de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les événements suivants :
• G : « la voiture est sous garantie » ;
• R : « une réparation est nécessaire ».

1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
c. Justifier que P(R) = 0,082.
d. Il s’avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .

2. La société de location fait appel à un garage pour l’entretien de son parc automobile.
L’entretien consiste en une révision à laquelle s’ajoutent d’éventuelles réparations.

Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
• si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit ;
• si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est facturé de la manière suivante : la révision
coûte 100 € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 €.
Sachant que son parc automobile compte 2 500 voitures, est-il raisonnable pour la société de
location de prévoir un budget annuel de 250 000 euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures
?
On pourra introduire la variable aléatoire X qui représente le coût d’entretien d’une voiture.

Partie B

La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée
(inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours).
La directrice de cette société affirme que 80% des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les 600 derniers contrats signés l’année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée.

1. En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des contrats de courte durée.
2. Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice?

Partie C

On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine
par une variable aléatoire Y suivant la loi normale d’espérance $\mu =450$ et d’écart-type $\sigma =100$ .

1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre 500 km et
600 km? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .
2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15% de ses clients parcourant
le moins de kilomètres en une semaine.
En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné
par cette offre?

Exercice 2 : 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$ .

1. Déterminer la limite de g en $+\infty$ .
2. Démontrer que la limite de g en $-\infty$ vaut −2.
3. On admet que la fonction g est dérivable sur R et on note sa dérivée.
Calculer pour tout réel x puis dresser le tableau de variations de g .
4. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ .
5. En déduire le signe de la fonction g sur $\mathbb{R}$ .
6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$ .

Partie B : Étude de la fonction f

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=x^2-x^2e^{x-4}$ .
1. Résoudre l’équation f (x) = 0 sur $\mathbb{R}$ .
2. On admet que la fonction f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note sa fonction dérivée.
On admet par ailleurs que, pour tout réel x, où la fonction g est celle définie à
la partie A.
Étudier les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .
3. Démontrer que le maximum de la fonction sur $[0;+\infty[$ est égal à $\frac{\alpha ^3}{\alpha+2}$ .

Partie C : Aire d’un domaine

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , on note le domaine compris entre la courbe représentative
de la fonction f , la parabole d’équation et les droites d’équations x = 0 et x = 4.
1. Déterminer la position relative des courbes et .
2. On admet qu’une primitive de la fonction f sur $\mathbb{R}$ est définie par :
$F(x)=\frac{x^3}{3}-(x^2-2x+2)e^{x-4}$ .
Calculer l’aire du domaine en unité d’aire. On donnera la valeur exacte.

Exercice 3 : 4 points

Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte
aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ .
1. Soit (E) l’équation d’inconnue le nombre complexe z.

Affirmation 1 :

Les points dont les affixes sont les solutions de l’équation (E) sont les sommets d’un triangle d’aire égale à 16 unités d’aire.
2. Soit $\xi$ l’ensemble des points dont les affixes z vérifient :
.

Affirmation 2 :

L’ensemble $\xi$ est le cercle de centre O et de rayon 3.

3. On considère la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :
$z_n=(1-i\sqrt{3})^n$
Pour tout entier naturel n, on note le point d’affixe .

Affirmation 3 :

Pour tout entier naturel n, les points , O et Mn+3 sont alignés.

4. On considère l’équation d’inconnue le nombre réel x.
.

Affirmation 4 :

Cette équation admet exactement quatre solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$ qui
sont :

$-\frac{\pi}{4};0;\frac{\pi}{4}$ et $\pi$ .

Exercice 4 : 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite à valeurs réelles définie par et, pour tout entier naturel ,
$u_{n+1}=\frac{u_n}{u_{n+8}}$
.

Partie A : Conjectures

Les premières valeurs de la suite ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture
d’écran :

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs
des premiers termes de la suite ?
2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite ?
3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite ?
4. Écrire un algorithme calculant $u_{30}$ .

Partie B : Étude générale

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .
2. Étudier les variations de la suite .
3. La suite est-elle convergente? Justifier.

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

On définit la suite en posant, pour tout entier naturel n,

$v_n=1+\frac{7}{u_n}$ .
1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le
premier terme.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n,
$u_n=\frac{7}{8^{n+1}-1}$ .
3. Déterminer la limite de la suite .
4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel tel que, pour tout entier naturel
n supérieur ou égal à , $u_n<10^{-18}$ .
Justifier l’existence d’un tel entier et déterminer sa valeur.

Bac s : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les nombres complexes ou les limites. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à nombres complexes propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

Avec les nombres complexes, ne confondez pas module et argument, et donnez l’argument dans l’intervalle demandé.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.

Bac s : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les nombres complexes, les limites et la dérivation, mais aussi les probabilités conditionnelles.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac S de maths 2019 en Nouvelle-Calédonie

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