Bac maths 2025 Polynésie sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de maths 2025 en Polynésie, session de septembre, posé le 2 septembre 2025 en épreuve de spécialité. Le premier exercice compare la conduite accompagnée et la formation classique au permis de conduire : arbre, formule de Bayes, loi binomiale puis somme de deux variables aléatoires et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième modélise la population d’une espèce animale dans une réserve, d’abord par une équation différentielle linéaire, puis par un modèle logistique étudié avec un logiciel de calcul formel (limite, convexité, point d’inflexion). Le troisième étudie une suite définie avec un logarithme, à l’aide de scripts Python et d’une récurrence. Le dernier est un vrai ou faux (intégration par parties, coefficients binomiaux, droites et plan médiateur dans l’espace). Le corrigé détaillé de chaque question suit l’énoncé.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2025
Polynésie — 2 septembre 2025 — Sujet 1
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (5 points)

En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire :

Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans ;
Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans.

En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de conduire, 16 % choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7 % réussissent l’examen de conduite dès leur première tentative.

En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8 %.

On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l’examen de conduite et on considère les évènements \(A\) et \(R\) suivants :

\(A\) : « le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée » ;
\(R\) : « le jeune a eu le permis dès sa première tentative ».

On arrondira les résultats à \(\mathbf{10^{-3}}\) près, si nécessaire.

Partie A

1. Dresser un arbre de probabilités modélisant cette situation.

2. a. Démontrer que \(P(R) = 0{,}596\,64\).

Dans la suite, on gardera la valeur 0,597 arrondie à \(10^{-3}\) près.

b. Donner ce résultat en pourcentage et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

3. On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu’il ait suivi la formation de conduite accompagnée ?

4. Quelle devrait être la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée si on voulait que le taux de réussite global (quelle que soit la formation choisie) dès la première tentative à l’examen de conduite dépasse \(70\ \%\) ?

Partie B

Une auto-école présente pour la première fois à l’examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0{,}747\).

2. Calculer \(P(X \geq\, 6)\). Interpréter ce résultat.

3. Déterminer \(E(X)\) et \(V(X)\).

4. Il y a aussi 40 candidats qui n’ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l’examen de conduite. De la même manière, on note \(Y\) la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que \(Y\) est indépendante de la variable \(X\) et qu’en fait \(E(Y) = 22{,}53\) et \(V(Y) = 9{,}81\).

On note alors \(Z\) la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

a. Exprimer \(Z\) en fonction de \(X\) et \(Y\). En déduire \(E(Z)\) et \(V(Z)\).

b. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu’il y ait au plus 20 ou au moins 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.

Exercice 2 (5 points)

On étudie l’évolution de la population d’une espèce animale au sein d’une réserve naturelle.

Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

Année	2000	2005	2010	2015
Nombre d’individus	50	64	80	100

Pour anticiper l’évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d’individus en fonction du temps.

Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\), dont la variable \(x\) représente le temps écoulé, en année, à partir de l’année 2000.

Dans son modèle, l’image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d’individus en l’an 2000.

Partie A. Modèle 1

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l’hypothèse que la fonction cherchée satisfait l’équation différentielle suivante :

\[y^{\prime} = 0{,}05y – 0{,}5 \qquad (E_1)\]

1. Résoudre l’équation différentielle \((E_1)\) avec la condition initiale \(y(0) = 50\).

2. Comparer les résultats du tableau avec ceux que l’on obtiendrait avec ce modèle.

Partie B. Modèle 2

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l’hypothèse que la fonction cherchée satisfait l’équation différentielle suivante :

\[y^{\prime} = 0{,}05y(1 – 0{,}00125y)\]

On note \(f\) la fonction définie sur \([0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{800}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}\]

et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

Pour toute la suite de l’exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.

	Instruction	Résultat
1	\(f(x) := \dfrac{800}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}\)	\(f(x) = \dfrac{800}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}\)
2	\(f^{\prime}(x) :=\) Dérivée \((f(x))\)	\(f^{\prime}(x) = \dfrac{600\,\text{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x})^2}\)
3	\(f^{\prime\prime}(x) :=\) Dérivée \((f^{\prime}(x))\)	\(f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{30\,\text{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x})^3}(15\,\text{e}^{-0{,}05x} – 1)\)
4	Résoudre \((15\,\text{e}^{-0{,}05x} – 1 \geq\, 0)\)	\(x \leq\, 20\ln(15)\)

1. Démontrer que la fonction \(f\) vérifie \(f(0) = 50\) et que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

\[f^{\prime}(x) = 0{,}05f(x)(1 – 0{,}00125f(x))\]

On admet que cette fonction \(f\) est l’unique solution de \((E_2)\) prenant la valeur initiale de 50 en 0.

2. Avec ce nouveau modèle \(f\), estimer l’effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l’unité.

3. Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\). Que peut-on en déduire quant à la courbe \(C\) ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.

4. Justifier que la fonction \(f\) est croissante sur \([0\ ;\ +\infty[\).

5. Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.

6. On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d’individus par an, est modélisée par la fonction \(f^{\prime}\).

a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) et déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe \(C\).

b. La direction de la réserve affirme :

« Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer ». La direction a-t-elle raison ? Justifier.

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = 2 + \ln(u_n^2 – 3).\]

On admet que cette suite est bien définie.

Partie A : Exploitation de programmes Python

1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que suite(k) qui prend en paramètre un entier naturel k, renvoie la liste des \(k\) premières valeurs de la suite \((u_n)\).

Remarque : On précise que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(......):
        L.append(u)
        u = ............
    return(......)

2. On a exécuté suite(9) ci-dessous. Émettre deux conjectures : l’une sur le sens de variation de la suite \((u_n)\) et l’autre sur son éventuelle convergence.

>>> suite(9)
[5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642]

3. On a ensuite créé la fonction mystere(n) donnée ci-dessous et exécuté mystere(10000), ce qui a renvoyé 1.

Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite \((u_n)\) ? Justifier.

def mystere(n):
    L = suite(n)
    c = 1
    for i in range(n - 1):
        if L[i] > L[i + 1]:
            c = 0
    return c

>>> mystere(10000)
1

Partie B : Étude de la convergence de la suite \((u_n)\)

On considère la fonction \(g\) définie sur \([2\ ;\ +\infty[\) par :

\[g(x) = 2 + \ln(x^2 – 3)\]

On admet que \(g\) est dérivable sur \([2\ ;\ +\infty[\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction \(g\) est croissante sur \([2\ ;\ +\infty[\).

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) :

\[4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 6.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

On considère la fonction \(f\) définie sur \([2\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x) = 2 + \ln(x^2 – 3) – x.\]

On admet que \(f\) est dérivable sur \([2\ ;\ +\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On donne le tableau de variations de \(f\) suivant. On ne demande aucune justification.

\(x\)	\(2\)		\(3\)		\(+\infty\)
variations de \(f(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\ln(6) – 1\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

1. a. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement deux solutions sur \([2\ ;\ +\infty[\) que l’on notera \(\alpha\) et \(\beta\) avec \(\alpha \lt \beta\).

b. Donner la valeur exacte de \(\alpha\) et une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de \(\beta\).

2. On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\).

Justifier que \(f(\ell) = 0\) et déterminer \(\ell\).

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\ ;\ +\infty[\) par : \(f(x) = x\ln(x)\).

Affirmation 1 :

\[\int_1^{\text{e}} f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{\text{e}^2 + 1}{4}\]

2. Soient \(n\) et \(k\) deux entiers naturels non nuls tels que \(k \leq\, n\).

Affirmation 2 :

\[n \times \binom\,{n-1}{k-1} = k \times \binom\,{n}{k}\]

3. Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\).

Soit \(d\) la droite de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l} x = t + 1 \\ y = 2t + 1 \\ z = -t \end{array}.\), \(t \in \mathbb{R}\).

Soit \(d^{\prime}\) la droite de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l} x = 2t^{\prime} – 1 \\ y = -t^{\prime} + 2 \\ z = t^{\prime} + 1 \end{array}.\), \(t^{\prime} \in \mathbb{R}\).

Soit \(P\) le plan d’équation cartésienne : \(2x + y – 2z + 18 = 0\).

Soit A le point de coordonnées \((-1\ ;\ -3\ ;\ 2)\) et B le point de coordonnées \((-5\ ;\ -5\ ;\ 6)\).

On appelle plan médiateur du segment [AB] le plan passant par le milieu du segment [AB] et orthogonal à la droite (AB).

Affirmation 3 : Le point A appartient à la droite \(d\).

Affirmation 4 : Les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sont sécantes.

Affirmation 5 : Le plan \(P\) est le plan médiateur du segment [AB].

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Le jeune étant choisi au hasard, les pourcentages se lisent comme des probabilités. Le premier niveau de l’arbre porte sur la formation suivie : \(P(A) = 0{,}16\) et \(P(\overline{A}) = 1 – 0{,}16 = 0{,}84\). Le second niveau porte sur la réussite dès la première tentative, sachant la formation : \(P_A(R) = 0{,}747\), donc \(P_A(\overline{R}) = 0{,}253\) ; \(P_{\overline{A}}(R) = 0{,}568\), donc \(P_{\overline{A}}(\overline{R}) = 0{,}432\). Voici les branches de l’arbre :

Premier niveau	Branche vers \(R\)	Branche vers \(\overline{R}\)
\(A\) : \(0{,}16\)	\(0{,}747\)	\(0{,}253\)
\(\overline{A}\) : \(0{,}84\)	\(0{,}568\)	\(0{,}432\)

2. a. Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(R) = P(A \cap R) + P(\overline{A} \cap R) = 0{,}16 \times 0{,}747 + 0{,}84 \times 0{,}568 = 0{,}119\,52 + 0{,}477\,12\]

d’où \(P(R) = 0{,}596\,64\).

b. En pourcentage, \(P(R) \approx 0{,}597\) correspond à 59,7 % : parmi les jeunes qui ont passé l’examen de conduite en France, environ 59,7 % l’ont réussi dès leur première tentative, toutes formations confondues.

3. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_R(A)\). Par définition :

\[P_R(A) = \dfrac{P(A \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}119\,52}{0{,}597} \approx 0{,}200\]

Un jeune qui a eu son permis du premier coup a donc suivi la conduite accompagnée avec une probabilité d’environ 0,200 (soit une chance sur cinq).

4. Notons \(p\) la proportion de jeunes qui choisissent la conduite accompagnée, les taux de réussite de chaque formation restant les mêmes. La formule des probabilités totales donne alors \(P(R) = 0{,}747p + 0{,}568(1 – p) = 0{,}568 + 0{,}179p\). On veut \(P(R) \gt 0{,}7\) :

\[0{,}568 + 0{,}179p \gt 0{,}7 \iff 0{,}179p \gt 0{,}132 \iff p \gt \dfrac{0{,}132}{0{,}179} \approx 0{,}737\,4\]

Il faudrait donc que plus de 73,7 % des jeunes (en pratique au moins 73,8 %) choisissent la conduite accompagnée pour que le taux global de réussite dès la première tentative dépasse 70 %, contre 16 % aujourd’hui.

Partie B

1. Pour chacun des 10 candidats, on observe une épreuve à deux issues : le succès « il a le permis dès la première tentative », de probabilité \(P_A(R) = 0{,}747\) puisque ces candidats ont tous suivi la conduite accompagnée, et l’échec. Ces 10 épreuves de Bernoulli identiques sont indépendantes d’après l’énoncé. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(10\ ;\ 0{,}747)\).

2. On passe par l’évènement contraire : \(P(X \geq\, 6) = 1 – P(X \leq\, 5)\). La calculatrice donne \(P(X \leq\, 5) \approx 0{,}082\), donc \(P(X \geq\, 6) \approx 0{,}918\). Interprétation : il y a environ 91,8 % de chances qu’au moins 6 des 10 candidats de l’auto-école obtiennent leur permis dès la première tentative.

3. Pour une loi binomiale, \(E(X) = np\) et \(V(X) = np(1 – p)\). Ici \(E(X) = 10 \times 0{,}747 = 7{,}47\) et \(V(X) = 10 \times 0{,}747 \times 0{,}253 = 1{,}889\,91 \approx 1{,}890\). En moyenne, sur de nombreuses sessions de 10 candidats, environ 7,47 réussiraient du premier coup.

4. a. Les 50 candidats se répartissent entre les 10 de la conduite accompagnée et les 40 autres, donc \(Z = X + Y\).

Par linéarité de l’espérance : \(E(Z) = E(X) + E(Y) = 7{,}47 + 22{,}53 = 30\).

Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, les variances s’additionnent : \(V(Z) = V(X) + V(Y) = 1{,}889\,91 + 9{,}81 = 11{,}699\,91 \approx 11{,}7\).

b. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour tout réel \(\delta \gt 0\), \(P(|Z – E(Z)| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V(Z)}{\delta^2}\).

« Au plus 20 ou au moins 40 candidats reçus » s’écrit \(Z \leq\, 20\) ou \(Z \geq\, 40\), c’est-à-dire \(Z – 30 \leq\, -10\) ou \(Z – 30 \geq\, 10\), ce qui équivaut à \(|Z – 30| \geq\, 10\). Avec \(\delta = 10\) :

\[P(|Z – 30| \geq\, 10) \leq\, \dfrac{11{,}699\,91}{10^2} \approx 0{,}117\]

Comme \(0{,}117 \lt 0{,}12\), la probabilité d’avoir au plus 20 ou au moins 40 candidats reçus du premier coup est inférieure à 0,12.

Exercice 2 :

Partie A. Modèle 1

1. L’équation \(y^{\prime} = 0{,}05y – 0{,}5\) est de la forme \(y^{\prime} = ay + b\) avec \(a = 0{,}05\) et \(b = -0{,}5\). Ses solutions sont les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^{ax} – \dfrac{b}{a}\), où \(C\) est une constante réelle. Ici \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{0{,}5}{0{,}05} = 10\), donc les solutions sont \(y(x) = C\,\text{e}^{0{,}05x} + 10\).

La condition initiale donne \(y(0) = C + 10 = 50\), soit \(C = 40\). La solution cherchée est \(y(x) = 40\,\text{e}^{0{,}05x} + 10\) sur \([0\ ;\ +\infty[\).

2. Les années 2005, 2010 et 2015 correspondent à \(x = 5\), \(x = 10\) et \(x = 15\). On calcule les valeurs du modèle :

Année	2000	2005	2010	2015
Effectif observé	50	64	80	100
Modèle 1 \(y(x)\)	50	\(\approx 61{,}36\)	\(\approx 75{,}95\)	\(\approx 94{,}68\)

Le modèle 1 sous-estime systématiquement les effectifs observés, et l’écart grandit avec le temps : environ 3 individus en 2005, 4 en 2010, plus de 5 en 2015. Le modèle donne l’allure générale de la croissance mais n’est pas très précis.

Partie B. Modèle 2

1. Comme \(\text{e}^0 = 1\), \(f(0) = \dfrac{800}{1 + 15} = \dfrac{800}{16}\), donc \(f(0) = 50\).

Pour l’égalité, on part du membre de droite. D’abord \(0{,}00125 \times 800 = 1\), donc \(0{,}00125f(x) = \dfrac{1}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}\) et

\[1 – 0{,}00125f(x) = \dfrac{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x} – 1}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}} = \dfrac{15\,\text{e}^{-0{,}05x}}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}.\]

Ensuite \(0{,}05f(x) = \dfrac{40}{1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}\). En multipliant :

\[0{,}05f(x)(1 – 0{,}00125f(x)) = \dfrac{40 \times 15\,\text{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x})^2} = \dfrac{600\,\text{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x})^2}\]

On reconnaît l’expression de \(f^{\prime}(x)\) donnée par le logiciel (ligne 2). Ainsi \(f^{\prime}(x) = 0{,}05f(x)(1 – 0{,}00125f(x))\) pour tout \(x\) de l’intervalle d’étude.

2. L’année 2050 correspond à \(x = 50\) :

\[f(50) = \dfrac{800}{1 + 15\,\text{e}^{-2{,}5}} \approx 358{,}5\]

Selon le modèle 2, la population compterait environ 359 individus en 2050 (358,54 arrondi à l’unité).

3. On a \(\lim\limits_{x \to +\infty} (-0{,}05x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X = 0\), donc par composition \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-0{,}05x} = 0\). Le dénominateur tend vers 1 et, par quotient, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 800\).

La courbe \(C\) admet donc la droite d’équation \(y = 800\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\). Concrètement, selon ce modèle, la population se stabilisera à long terme autour de 800 individus : c’est la capacité d’accueil de la réserve.

4. D’après la ligne 2 du logiciel, \(f^{\prime}(x) = \dfrac{600\,\text{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x})^2}\). Une exponentielle est toujours strictement positive, donc le numérateur est strictement positif, et le dénominateur est un carré non nul. Ainsi \(f^{\prime}(x) \gt 0\) pour tout \(x \geq\, 0\) : \(f\) est (strictement) croissante sur \([0\ ;\ +\infty[\).

5. On résout l’inéquation pas à pas, en utilisant que la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\) :

\[15\,\text{e}^{-0{,}05x} – 1 \geq\, 0 \iff \text{e}^{-0{,}05x} \geq\, \dfrac{1}{15} \iff -0{,}05x \geq\, \ln(\dfrac{1}{15}) = -\ln(15)\]

En divisant par \(-0{,}05\), nombre négatif, le sens de l’inégalité change : \(x \leq\, \dfrac{\ln(15)}{0{,}05}\), c’est-à-dire \(x \leq\, 20\ln(15)\), ce qui est bien le résultat de la ligne 4.

6. a. La convexité se lit sur le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) (ligne 3). Le facteur \(\dfrac{30\,\text{e}^{-0{,}05x}}{(1 + 15\,\text{e}^{-0{,}05x})^3}\) est strictement positif, donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(15\,\text{e}^{-0{,}05x} – 1\). D’après la question 5, ce facteur est positif pour \(x \leq\, 20\ln(15)\) et strictement négatif pour \(x \gt 20\ln(15)\). Par conséquent :

\(f\) est convexe sur \([0\ ;\ 20\ln(15)]\) ;
\(f\) est concave sur \([20\ln(15)\ ;\ +\infty[\).

La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en \(x = 20\ln(15)\), donc \(C\) admet un unique point d’inflexion d’abscisse \(20\ln(15) \approx 54{,}16\). Son ordonnée : \(\text{e}^{-0{,}05 \times 20\ln(15)} = \text{e}^{-\ln(15)} = \dfrac{1}{15}\), donc \(f(20\ln(15)) = \dfrac{800}{1 + 15 \times \frac{1}{15}} = 400\). Le point d’inflexion a pour coordonnées \((20\ln(15)\ ;\ 400)\), soit environ \((54{,}16\ ;\ 400)\).

b. La vitesse de croissance est \(f^{\prime}\), et les variations de \(f^{\prime}\) sont données par le signe de sa dérivée \(f^{\prime\prime}\). D’après la question précédente, \(f^{\prime\prime}\) est positive sur \([0\ ;\ 20\ln(15)]\) puis négative : \(f^{\prime}\) est croissante jusqu’à \(x = 20\ln(15) \approx 54{,}2\), puis décroissante. La vitesse de croissance augmente donc pendant environ 54 ans (jusqu’en 2054), puis diminue. La direction a raison : 54 ans, c’est bien « un peu plus de cinquante ans ».

Exercice 3 :

Partie A : Exploitation de programmes Python

1. La boucle doit tourner \(k\) fois pour ranger \(k\) termes dans la liste ; à chaque tour on ajoute le terme courant, puis on calcule le suivant avec la relation de récurrence. On renvoie enfin la liste. Script complété :

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(k):
        L.append(u)
        u = 2 + log(u**2 - 3)
    return(L)

2. Les neuf valeurs affichées augmentent à chaque rang, et de moins en moins : les écarts successifs passent d’environ 0,09 à environ 0,000 3. On peut conjecturer que la suite \((u_n)\) est croissante et qu’elle converge vers un réel proche de 5,164.

3. La fonction mystere(n) met c à 1, puis compare chaque terme L[i] au suivant L[i + 1] pour \(i\) allant de 0 à \(n – 2\) : dès qu’un terme est strictement supérieur au suivant, c passe à 0 et n’en change plus. Elle renvoie donc 1 si et seulement si les \(n\) premiers termes vérifient \(u_0 \leq\, u_1 \leq\, \dots \leq\, u_{n-1}\). Le résultat 1 pour mystere(10000) signifie qu’aucune décroissance n’apparaît parmi les 10 000 premiers termes : l’affichage ne contredit pas la conjecture, il la conforte (sans la démontrer, puisqu’il ne concerne qu’un nombre fini de termes).

Partie B : Étude de la convergence de la suite \((u_n)\)

1. Sur \([2\ ;\ +\infty[\), \(x^2 – 3 \geq\, 1 \gt 0\). La dérivée de \(\ln(v)\) étant \(\dfrac{v^{\prime}}{v}\), avec \(v(x) = x^2 – 3\) on obtient \(g^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{x^2 – 3}\). Pour \(x \geq\, 2\), le numérateur \(2x\) et le dénominateur sont strictement positifs, donc \(g^{\prime}(x) \gt 0\) : \(g\) est croissante sur \([2\ ;\ +\infty[\).

2. a. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 6\) ». Remarquons que \(u_{n+1} = g(u_n)\).

Initialisation. \(u_0 = 5\) et \(u_1 = 2 + \ln(25 – 3) = 2 + \ln(22) \approx 5{,}09\). On a bien \(4 \leq\, 5 \leq\, 5{,}09 \leq\, 6\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 6\). Tous ces nombres sont dans \([2\ ;\ +\infty[\) où \(g\) est croissante, donc l’ordre est conservé en leur appliquant \(g\) :

\[g(4) \leq\, g(u_n) \leq\, g(u_{n+1}) \leq\, g(6), \quad \text{soit} \quad 2 + \ln(13) \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 2 + \ln(33).\]

Or \(2 + \ln(13) \approx 4{,}56 \geq\, 4\) et \(2 + \ln(33) \approx 5{,}50 \leq\, 6\). Donc \(4 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 6\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 6\).

b. D’après a, pour tout \(n\), \(u_n \leq\, u_{n+1}\) : la suite est croissante ; et \(u_n \leq\, 6\) : elle est majorée par 6. Par le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : la suite \((u_n)\) converge, vers une limite \(\ell\) comprise entre 4 et 6.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

1. a. On découpe l’intervalle en deux.

Sur \([2\ ;\ 3]\) : \(f(2) = 2 + \ln(1) – 2 = 0\), donc 2 est solution. D’après le tableau, \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle, donc pour \(2 \lt x \leq\, 3\), \(f(x) \gt f(2) = 0\) : 2 est la seule solution sur \([2\ ;\ 3]\).

Sur \([3\ ;\ +\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de \(f(3) = \ln(6) – 1 \approx 0{,}79 \gt 0\) jusqu’à une limite égale à \(-\infty\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x) = 0\) a une unique solution sur cet intervalle, et elle est différente de 3 puisque \(f(3) \neq 0\).

Au total, l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\) sur \([2\ ;\ +\infty[\), avec \(\alpha \in [2\ ;\ 3]\) et \(\beta \in\ ]3\ ;\ +\infty[\).

b. D’après ce qui précède, \(\alpha = 2\). Pour \(\beta\), on procède par balayage à la calculatrice : \(f(5{,}164) \approx 0{,}000\,1 \gt 0\) et \(f(5{,}165) \approx -0{,}000\,5 \lt 0\). Comme \(f\) est décroissante sur \([3\ ;\ +\infty[\), \(5{,}164 \lt \beta \lt 5{,}165\), d’où \(\beta \approx 5{,}164\) à \(10^{-3}\) près.

2. On a \(u_{n+1} = g(u_n)\) et la suite converge vers \(\ell\). La fonction \(g\) est continue sur \([2\ ;\ +\infty[\) (car dérivable) et \(\ell \in [4\ ;\ 6]\) appartient à cet intervalle. En passant à la limite dans l’égalité \(u_{n+1} = g(u_n)\), on obtient \(\ell = g(\ell)\), soit \(2 + \ln(\ell^2 – 3) – \ell = 0\), c’est-à-dire \(f(\ell) = 0\).

Donc \(\ell\) vaut \(\alpha\) ou \(\beta\). Mais \(4 \leq\, u_n\) pour tout \(n\), donc \(\ell \geq\, 4\), ce qui exclut \(\alpha = 2\). Ainsi \(\ell = \beta \approx 5{,}164\), ce qui confirme la conjecture de la partie A.

Exercice 4 :

Affirmation 1 : vraie. On intègre par parties en posant \(u(x) = \ln(x)\), \(v^{\prime}(x) = x\), d’où \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(v(x) = \dfrac{x^2}{2}\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([1\ ;\ \text{e}]\), donc :

\[\int_1^{\text{e}} x\ln(x)\,\mathrm{d}x = [\dfrac{x^2}{2}\ln(x)]_1^{\text{e}} – \int_1^{\text{e}} \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\text{e}^2}{2} – 0 – \int_1^{\text{e}} \dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x\]

\[\int_1^{\text{e}} \dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x = [\dfrac{x^2}{4}]_1^{\text{e}} = \dfrac{\text{e}^2}{4} – \dfrac{1}{4}\]

Finalement l’intégrale vaut \(\dfrac{\text{e}^2}{2} – \dfrac{\text{e}^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{\text{e}^2 + 1}{4}\). L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : vraie. On utilise \(\binom\,{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Comme \((n-1) – (k-1) = n – k\) :

\[n \times \binom\,{n-1}{k-1} = n \times \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} = \dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\]

De l’autre côté, puisque \(k! = k \times (k-1)!\) :

\[k \times \binom\,{n}{k} = \dfrac{k \times n!}{k \times (k-1)!\,(n-k)!} = \dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\]

Les deux membres sont égaux : l’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : vraie. On cherche \(t\) tel que \(t + 1 = -1\), \(2t + 1 = -3\) et \(-t = 2\). La première équation donne \(t = -2\) ; alors \(2 \times (-2) + 1 = -3\) et \(-(-2) = 2\) : les trois coordonnées concordent. Le point A est le point de \(d\) de paramètre \(t = -2\), l’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : fausse. Les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sont sécantes si et seulement s’il existe un couple \((t\ ;\ t^{\prime})\) vérifiant le système :

\[\{\begin{array}{l} t + 1 = 2t^{\prime} – 1 \\ 2t + 1 = -t^{\prime} + 2 \\ -t = t^{\prime} + 1 \end{array}.\]

La troisième équation donne \(t = -t^{\prime} – 1\). En remplaçant dans la première : \(-t^{\prime} – 1 + 1 = 2t^{\prime} – 1\), soit \(-3t^{\prime} = -1\), donc \(t^{\prime} = \dfrac{1}{3}\) et \(t = -\dfrac{4}{3}\). On vérifie la deuxième équation : à gauche \(2 \times (-\dfrac{4}{3}) + 1 = -\dfrac{5}{3}\), à droite \(-\dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{5}{3}\). Les deux valeurs diffèrent : le système n’a pas de solution, les droites n’ont aucun point commun. L’affirmation 4 est fausse. (Leurs vecteurs directeurs \((1\ ;\ 2\ ;\ -1)\) et \((2\ ;\ -1\ ;\ 1)\) n’étant pas colinéaires, elles ne sont pas non plus parallèles : \(d\) et \(d^{\prime}\) sont non coplanaires.)

Affirmation 5 : vraie. Il faut vérifier deux conditions.

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées \((\dfrac{-1 – 5}{2}\ ;\ \dfrac{-3 – 5}{2}\ ;\ \dfrac{2 + 6}{2}) = (-3\ ;\ -4\ ;\ 4)\). Et \(2 \times (-3) + (-4) – 2 \times 4 + 18 = -6 – 4 – 8 + 18 = 0\) : I appartient à \(P\).

Un vecteur normal à \(P\) est \(\vec{n}(2\ ;\ 1\ ;\ -2)\), et \(\vec{AB}(-4\ ;\ -2\ ;\ 4)\). On constate que \(\vec{AB} = -2\,\vec{n}\) : ces vecteurs sont colinéaires, donc la droite (AB) est orthogonale au plan \(P\).

Le plan \(P\) passe par le milieu de [AB] et il est orthogonal à (AB) : \(P\) est le plan médiateur de [AB], l’affirmation 5 est vraie.

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