Bac 2022 Sud : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 1)

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet du jour 1 de l’épreuve de spécialité mathématiques du bac 2022 en Amérique du Sud, posé le 26 septembre 2022, où le candidat traitait trois exercices sur quatre. Le premier s’intéresse au système d’alarme d’une entreprise : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale sur un lot de cinq alarmes, puis taille minimale d’un échantillon. Par ailleurs, le deuxième étudie la suite définie par \(u_{n+1} = \dfrac15 u_n^2\), avec une fonction Python à compléter, une récurrence et un passage au logarithme. De plus, le troisième porte sur la fonction \(1 + x^2(1 – 2\ln x)\), sa solution \(\alpha\) et sa concavité. En outre, le dernier place un triangle rectangle et un tétraèdre dans un pavé droit. Ensuite, le corrigé détaillé de chaque question suit l’énoncé.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Amérique du Sud (jour 1).

De plus, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2022 Sud : organisation de l’épreuve

Tout d’abord, ce bac 2022 Sud correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Amérique du Sud (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’algorithmique en Python et le raisonnement par récurrence. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
Amérique du Sud — 26 septembre 2022 — Jour 1
Épreuve d’enseignement de spécialité Mathématiques — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Thème : probabilités

Partie A

Le système d’alarme d’une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l’alarme s’active avec une probabilité de \(0{,}97\).

La probabilité qu’un danger se présente est de \(0{,}01\) et la probabilité que l’alarme s’active est de \(0{,}01465\).

On note \(A\) l’évènement « l’alarme s’active » et \(D\) l’événement « un danger se présente ».

On note \(\overline{M}\) l’évènement contraire d’un évènement \(M\) et \(P(M)\) la probabilité de l’évènement \(M\).

1. Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. a. Calculer la probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active.

b. En déduire la probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme s’active. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

3. Montrer que la probabilité que l’alarme s’active sachant qu’aucun danger ne s’est présenté est \(0{,}005\).

4. On considère qu’une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu’un danger se présente et qu’elle ne s’active pas ou bien lorsqu’aucun danger ne se présente et qu’elle s’active.

Montrer que la probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à \(0{,}01\).

Partie B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d’alarme. On prélève successivement et au hasard 5 systèmes d’alarme dans la production de l’usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.

On note \(S\) l’évènement « l’alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que \(P(S) = 0{,}00525\).

On considère \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 systèmes d’alarme prélevés.

Les résultats seront arrondis à \(10^{-4}\).

1. Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) et préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement.

3. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement.

Partie C

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard \(n\) systèmes d’alarme. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.

Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que la probabilité d’avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à \(0{,}07\).

Exercice 2 (7 points)

Thème : suites

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 4\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac15 u_n^2\).

1. a. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel \(p\).

Elle renvoie la valeur du terme de rang \(p\) de la suite \((u_n)\).

def suite_u(p) :
    u = ...
    for i in range(1, ...) :
        u = ...
    return u

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 \lt u_n \leq\, 4\).

b. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

c. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

3. a. Justifier que la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\) vérifie l’égalité \(\ell = \dfrac15 \ell^2\).

b. En déduire la valeur de \(\ell\).

4. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n = \ln(u_n)\) et \(w_n = v_n – \ln(5)\).

a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = 2v_n – \ln(5)\).

b. Montrer que la suite \((w_n)\) est géométrique de raison 2.

c. Pour tout entier naturel \(n\), donner l’expression de \(w_n\) en fonction de \(n\) et montrer que \(v_n = \ln(\dfrac45) \times 2^n + \ln(5)\).

5. Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n\) et retrouver \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).

Exercice 3 (7 points)

Thème : fonctions, fonction logarithme

Soit \(g\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\) par

\[g(x) = 1 + x^2[1 – 2\ln(x)].\]

La fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On appelle \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthonormé du plan.

Partie A

1. Justifier que \(g(\text{e})\) est strictement négatif.

2. Justifier que \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\).

3. a. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\), \(g^{\prime}(x) = -4x\ln(x)\).

b. Étudier le sens de variation de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\).

c. Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution, notée \(\alpha\), sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\).

d. Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).

4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\).

Partie B

1. On admet que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([1\ ;\ \alpha]\), \(g^{\prime\prime}(x) = -4[\ln(x) + 1]\).

Justifier que la fonction \(g\) est concave sur l’intervalle \([1\ ;\ \alpha]\).

2. Sur la figure ci-dessous, A et B sont les points de la courbe \(\mathcal{C}\) d’abscisses respectives 1 et \(\alpha\).

a. Déterminer l’équation réduite de la droite (AB).

b. En déduire que pour tout réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([1\ ;\ \alpha]\), \(g(x) \geq\, \dfrac{-2}{\alpha – 1}x + \dfrac{2\alpha}{\alpha – 1}\).

Exercice 4 (7 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 5, AD = 3 et AE = 2.

L’espace est muni d’un repère orthonormé d’origine A dans lequel les points B, D et E ont respectivement pour coordonnées (5 ; 0 ; 0), (0 ; 3 ; 0) et (0 ; 0 ; 2).

1. a. Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points H et G.

b. Donner une représentation paramétrique de la droite (GH).

2. Soit M un point du segment [GH] tel que \(\vec{\text{HM}} = k\,\vec{\text{HG}}\) avec \(k\) un nombre réel de l’intervalle \([0\ ;\ 1]\).

a. Justifier que les coordonnées de M sont \((5k\ ;\ 3\ ;\ 2)\).

b. En déduire que \(\vec{\text{AM}} \cdot \vec{\text{CM}} = 25k^2 – 25k + 4\).

c. Déterminer les valeurs de \(k\) pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M.

Dans toute la suite de l’exercice, on considère que le point M a pour coordonnées (1 ; 3 ; 2).

On admet que le triangle AMC est rectangle en M.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule \(\dfrac13 \times \text{Aire de la base} \times h\) où \(h\) est la hauteur relative à la base.

Exercice 4 du bac 2022 Sud : questions 3 à 4

3. On considère le point K de coordonnées (1 ; 3 ; 0).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (ACD).

b. Justifier que le point K est le projeté orthogonal du point M sur le plan (ACD).

c. En déduire le volume du tétraèdre MACD.

4. On note P le projeté orthogonal du point D sur le plan (AMC).

Calculer la distance DP ; en donner une valeur arrondie à \(10^{-1}\).

Comment réviser avec ce bac 2022 Sud

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Bac 2022 Sud : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’algorithmique en Python, mais aussi le raisonnement par récurrence.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Amérique du Sud (jour 1)

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