Bac maths 2023 Polynésie J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie, posé le 14 mars 2023, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question plus bas sur la page. Le premier exercice suit un athlète qui s’entraîne à franchir une haie : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique et sa limite, puis loi binomiale sur un 400 mètres haies. Le deuxième se déroule dans l’espace avec deux plans sécants, leur droite d’intersection et la recherche du point de cette droite le plus proche d’un point A grâce à un trinôme. Le troisième demande de reconnaître les courbes de \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) puis d’étudier une fonction logistique et son point d’inflexion. Le dernier propose cinq affirmations vrai ou faux sur les suites bornées, la convexité d’un logarithme et une fonction Python.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Polynésie — 14 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Thème : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant ;
si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel \(n\) :

\(R_n\) l’évènement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la \(n\)-ième séance »,
\(p_n\) la probabilité de l’évènement \(R_n\). On considère que \(p_0=0{,}6\).

1. Soit \(n\) un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3.\]

3. On considère la suite \((u_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(u_n=p_n-0{,}75\).

a. Démontrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Démontrer que, pour tout entier \(n\) naturel \(n\) :

\[p_n=0{,}75-0{,}15\times 0{,}6^n.\]

c. En déduire que la suite \((p_n)\) est convergente et déterminer sa limite \(\ell\).

d. Interpréter la valeur de \(\ell\) dans le cadre de l’exercice.

Partie B

Après de nombreuses séances d’entraînement, l’entraîneur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de 0,75 et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

2. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies.

3. Calculer \(p(X\geq\, 9)\), à \(10^{-3}\) près.

Exercice 2 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère :

le point \(\text{A}(1\,;\,-1\,;\,-1)\) ;
le plan \(\mathcal{P}_1\), d’équation : \(5x+2y+4z=17\) ;
le plan \(\mathcal{P}_2\) d’équation : \(10x+14y+3z=19\) ;
la droite \(\mathcal{D}\) de représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t\end{cases}\) où \(t\) décrit \(\mathbb{R}\).

1. Justifier que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) ne sont pas parallèles.

2. Démontrer que \(\mathcal{D}\) est la droite d’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

3. a. Vérifier que A n’appartient pas à \(\mathcal{P}_1\).

b. Justifier que A n’appartient pas à \(\mathcal{D}\).

4. Pour tout réel \(t\), on note \(M\) le point de \(\mathcal{D}\) de coordonnées \((1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)\).

On considère alors la fonction \(f\) qui à tout réel \(t\) associe \(\text{A}M^2\), soit \(f(t)=\text{A}M^2\).

a. Démontrer que pour tout réel \(t\), on a : \(f(t)=9t^2-18t+17\).

b. Démontrer que la distance \(\text{A}M\) est minimale lorsque \(M\) a pour coordonnées \((3\,;\,-1\,;\,1)\).

5. On note H le point de coordonnées \((3\,;\,-1\,;\,1)\).

Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\).

Exercice 3 (5 points)

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), ainsi que celle de sa dérivée \(f^{\prime}\) et de sa dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.

2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_2\) au point d’abscisse 4.

3. Donner avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_1\).

Partie B

Soit un réel \(k\) strictement positif.

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x)=\dfrac{4}{1+\text{e}^{-kx}}.\]

1. Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. Prouver que \(g^{\prime}(0)=k\).

3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de \(g\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0.

▷ Calcul formel
1	`g(x) =4/(1 + e^(-kx))` \(\to g(x)=\dfrac{4}{\text{e}^{-kx}+1}\)
2	Simplifier\((g^{\prime\prime}(x))\) \(\to g^{\prime\prime}(x)=-4\text{e}^{kx}(\text{e}^{kx}-1)\dfrac{k^2}{(\text{e}^{kx}+1)^3}\)

Exercice 4 (5 points)

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :

1. Affirmation : La suite \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\) est bornée.

2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.

3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers \(+\infty\).

4. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\ln(x^2+2x+2)\).

Affirmation : La fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \([-3\,;\,1]\).

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

On rappelle que len(L) renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste L.

def mystere(L) :
    M = L[0]
    # On initialise M avec le premier élément de la liste L
    for i in range(len(L)) :
        if L[i] > M :
            M = L[i]
    return M

Affirmation : L’exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Les pointillés sont des probabilités conditionnelles qu’on lit directement dans les estimations de l’entraîneur. Si l’athlète a franchi la haie le jour \(n\), il la franchit le lendemain dans 90 % des cas : \(P_{R_n}(R_{n+1})=0{,}9\), et donc \(P_{R_n}(\overline{R_{n+1}})=1-0{,}9=0{,}1\). S’il a échoué le jour \(n\), il échoue encore dans 70 % des cas : \(P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})=0{,}7\), donc \(P_{\overline{R_n}}(R_{n+1})=0{,}3\).

Branche	\(R_n\to R_{n+1}\)	\(R_n\to\overline{R_{n+1}}\)	\(\overline{R_n}\to R_{n+1}\)	\(\overline{R_n}\to\overline{R_{n+1}}\)
Probabilité	0,9	0,1	0,3	0,7

2. Deux chemins de l’arbre mènent à \(R_{n+1}\) : celui qui passe par \(R_n\) et celui qui passe par \(\overline{R_n}\). Comme \(R_n\) et \(\overline{R_n}\) forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne :

\[p_{n+1}=P(R_n\cap R_{n+1})+P(\overline{R_n}\cap R_{n+1})=p_n\times 0{,}9+(1-p_n)\times 0{,}3.\]

En développant : \(p_{n+1}=0{,}9p_n+0{,}3-0{,}3p_n\), c’est-à-dire \(p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3\) pour tout entier naturel \(n\).

3. a. Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(u_{n+1}\) à l’aide de \(u_n\) en utilisant \(p_n=u_n+0{,}75\) :

\[u_{n+1}=p_{n+1}-0{,}75=0{,}6p_n+0{,}3-0{,}75=0{,}6p_n-0{,}45=0{,}6(u_n+0{,}75)-0{,}45=0{,}6u_n.\]

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par 0,6 : \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}6\), de premier terme \(u_0=p_0-0{,}75=0{,}6-0{,}75=-0{,}15\).

b. Le terme général d’une suite géométrique est \(u_n=u_0\times q^n\), donc \(u_n=-0{,}15\times 0{,}6^n\). Comme \(p_n=u_n+0{,}75\), on obtient pour tout entier naturel \(n\) : \(p_n=0{,}75-0{,}15\times 0{,}6^n\).

c. Puisque \(-1\lt 0{,}6\lt 1\), on sait que \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}6^n=0\). Par produit, \(0{,}15\times 0{,}6^n\) tend vers 0, puis par somme \(p_n\) tend vers 0,75. La suite \((p_n)\) est donc convergente, de limite \(\ell=0{,}75\).

d. À long terme, la probabilité que l’athlète franchisse la haie lors d’une séance se stabilise autour de 0,75 : après un grand nombre de séances, il réussit son saut environ trois fois sur quatre.

Partie B

1. Le passage de chaque haie est une épreuve de Bernoulli dont le succès, « l’athlète franchit la haie », a la probabilité 0,75. La course comporte 10 haies et les sauts sont indépendants : on répète 10 fois, de façon identique et indépendante, cette épreuve. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}75\).

2. Franchir les 10 haies correspond à \(X=10\) :

\[P(X=10)=\binom\,{10}{10}\times 0{,}75^{10}\times 0{,}25^{0}=0{,}75^{10}\approx0{,}0563.\]

La probabilité que l’athlète franchisse toutes les haies est environ 0,056.

3. \(P(X\geq\,9)=P(X=9)+P(X=10)\). On calcule \(P(X=9)=\binom\,{10}{9}\times 0{,}75^{9}\times 0{,}25=10\times 0{,}75^9\times 0{,}25\approx0{,}1877\). Donc \(P(X\geq\,9)\approx0{,}1877+0{,}0563\), soit \(P(X\geq\,9)\approx0{,}244\).

Exercice 2 :

1. On lit un vecteur normal dans les coefficients de chaque équation : \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}_1\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}_2\). S’ils étaient colinéaires, on aurait \(\vec{n_2}=\lambda\vec{n_1}\) ; la première coordonnée impose \(\lambda=2\), mais alors la deuxième donnerait \(14=2\times 2=4\), ce qui est faux. Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, donc les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) ne sont pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.

2. Il suffit de montrer que tout point de \(\mathcal{D}\) appartient aux deux plans : \(\mathcal{D}\) sera alors contenue dans leur intersection, qui est une droite, donc égale à elle. Prenons le point de paramètre \(t\), de coordonnées \((1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)\).

Dans l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \(5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t)=5+10t-2t+12-8t=17\). L’égalité est vraie pour tout \(t\).

Dans l’équation de \(\mathcal{P}_2\) : \(10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t)=10+20t-14t+9-6t=19\). L’égalité est vraie pour tout \(t\).

La droite \(\mathcal{D}\) est donc incluse dans \(\mathcal{P}_1\) et dans \(\mathcal{P}_2\) ; comme ces plans sont sécants, \(\mathcal{D}\) est leur droite d’intersection.

3. a. On remplace les coordonnées de A dans l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \(5\times 1+2\times (-1)+4\times (-1)=5-2-4=-1\). Or \(-1\neq17\), donc A n’appartient pas à \(\mathcal{P}_1\).

b. La droite \(\mathcal{D}\) est contenue dans \(\mathcal{P}_1\) (question 2). Si A était sur \(\mathcal{D}\), il serait donc dans \(\mathcal{P}_1\), ce qui contredit la question a. Donc A n’appartient pas à \(\mathcal{D}\). (On peut aussi le voir directement : \(1+2t=1\) impose \(t=0\), mais alors \(y=0\neq-1\).)

4. a. Le repère est orthonormé, donc \(\text{A}M^2=(x_M-x_\text{A})^2+(y_M-y_\text{A})^2+(z_M-z_\text{A})^2\). Avec \(M(1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)\) et \(\text{A}(1\,;\,-1\,;\,-1)\) :

\[f(t)=(2t)^2+(1-t)^2+(4-2t)^2=4t^2+(1-2t+t^2)+(16-16t+4t^2)=9t^2-18t+17.\]

On a bien \(f(t)=9t^2-18t+17\) pour tout réel \(t\).

b. Une distance étant positive, \(\text{A}M\) est minimale exactement quand \(\text{A}M^2=f(t)\) l’est. La fonction \(f\) est un trinôme du second degré de coefficient dominant \(9\gt0\) : elle admet un minimum atteint en \(t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{18}{18}=1\). On peut aussi écrire \(f(t)=9(t-1)^2+8\), qui est minimal pour \(t=1\), avec \(f(1)=8\).

Pour \(t=1\), le point \(M\) a pour coordonnées \((1+2\,;\,-1\,;\,3-2)\) : la distance \(\text{A}M\) est minimale pour \(M(3\,;\,-1\,;\,1)\), et elle vaut alors \(\sqrt8=2\sqrt2\).

5. On a \(\vec{\text{AH}}\begin{pmatrix}3-1\\-1+1\\1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}\), et la représentation paramétrique fournit un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) : \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\). Dans le repère orthonormé :

\[\vec{\text{AH}}\cdot\vec{u}=2\times 2+0\times (-1)+2\times (-2)=4+0-4=0.\]

Les droites (AH) et \(\mathcal{D}\) sont donc orthogonales. De plus, H est le point de \(\mathcal{D}\) de paramètre \(t=1\) : il appartient aux deux droites, qui sont donc sécantes en H. Deux droites orthogonales et sécantes sont perpendiculaires : (AH) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\) en H. H est ainsi le projeté orthogonal de A sur \(\mathcal{D}\).

Exercice 3 :

Partie A

1. On utilise le lien entre le signe d’une dérivée et les variations de la fonction.

La courbe \(\mathcal{C}_2\) est strictement positive. Si elle représentait la dérivée d’une des deux autres fonctions, cette fonction serait strictement croissante ; or ni \(\mathcal{C}_1\) ni \(\mathcal{C}_3\) ne sont croissantes sur tout l’intervalle (elles montent puis redescendent). \(\mathcal{C}_2\) n’est donc la dérivée de personne : c’est la courbe de \(f\).

La fonction \(f\) est strictement croissante, donc sa dérivée \(f^{\prime}\) est positive : parmi les deux courbes restantes, seule \(\mathcal{C}_3\) est positive partout (\(\mathcal{C}_1\) devient négative après 4). Donc \(\mathcal{C}_3\) représente \(f^{\prime}\), et il reste \(\mathcal{C}_1\) pour \(f^{\prime\prime}\).

Vérification : \(\mathcal{C}_3\) est croissante sur \([0\,;\,4]\) puis décroissante sur \([4\,;\,8]\), ce qui correspond bien à \(\mathcal{C}_1\) positive avant 4 et négative après 4.

On a donc la chaîne « \(\mathcal{C}_2\) se dérive en \(\mathcal{C}_3\), qui se dérive en \(\mathcal{C}_1\) », d’où : \(\mathcal{C}_2\) représente \(f\), \(\mathcal{C}_3\) représente \(f^{\prime}\) et \(\mathcal{C}_1\) représente \(f^{\prime\prime}\).

2. Le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_2\) (courbe de \(f\)) au point d’abscisse 4 est le nombre dérivé \(f^{\prime}(4)\). On le lit sur \(\mathcal{C}_3\), courbe de \(f^{\prime}\) : son sommet a pour ordonnée 3 en \(x=4\). Le coefficient directeur cherché vaut donc environ 3.

3. Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c’est-à-dire où elle passe de convexe à concave ou inversement. En observant \(\mathcal{C}_1\) :

entre 2 et 3 environ, la courbe monte de plus en plus vite (convexe), puis elle s’infléchit avant son sommet : un premier changement de courbure a lieu vers \(x\approx3{,}2\) ;
elle est ensuite concave autour de son maximum, puis convexe autour de son minimum : le changement se produit là où elle coupe l’axe des abscisses, en \(x=4\) ;
après son minimum, elle remonte vers 0 en passant de convexe à concave vers \(x\approx4{,}8\).

Les points d’inflexion de \(\mathcal{C}_1\) ont pour abscisses environ 3,2 ; 4 et 4,8 (le graphique permet d’annoncer « environ 3, 4 et 5 »).

Partie B

1. Limite en \(+\infty\). Comme \(k\gt0\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-kx)=-\infty\), et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\) ; par composition, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-kx}=0\). Le dénominateur tend vers 1, donc par quotient \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=4\).

Limite en \(-\infty\). Comme \(k\gt0\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}(-kx)=+\infty\), et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\) ; par composition, \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-kx}=+\infty\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\) et le numérateur vaut 4, donc \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0\).

La courbe de \(g\) admet ainsi deux asymptotes horizontales, d’équations \(y=0\) et \(y=4\).

2. On écrit \(g=\dfrac{4}{v}\) avec \(v(x)=1+\text{e}^{-kx}\), qui est dérivable et strictement positive sur \(\mathbb{R}\), et \(v^{\prime}(x)=-k\text{e}^{-kx}\) (dérivée de \(\text{e}^{ax}\) : \(a\text{e}^{ax}\)). Avec \((\dfrac1v)^{\prime}=-\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\) :

\[g^{\prime}(x)=4\times \dfrac{k\text{e}^{-kx}}{(1+\text{e}^{-kx})^2}.\]

En \(x=0\) : \(\text{e}^0=1\), donc \(g^{\prime}(0)=\dfrac{4k}{(1+1)^2}=\dfrac{4k}{4}\), et ainsi \(g^{\prime}(0)=k\).

3. La courbe de \(g\) admet un point d’inflexion d’abscisse 0 si \(g^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe en 0. D’après le logiciel :

\[g^{\prime\prime}(x)=-4\text{e}^{kx}(\text{e}^{kx}-1)\dfrac{k^2}{(\text{e}^{kx}+1)^3}.\]

Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{kx}\gt0\), \(k^2\gt0\) et \((\text{e}^{kx}+1)^3\gt0\). Le signe de \(g^{\prime\prime}(x)\) est donc celui de \(-(\text{e}^{kx}-1)=1-\text{e}^{kx}\).

Or, la fonction exponentielle étant strictement croissante et \(k\gt0\) : \(1-\text{e}^{kx}\gt0\iff\text{e}^{kx}\lt\text{e}^0\iff kx\lt0\iff x\lt0\). Ainsi \(g^{\prime\prime}(x)\gt0\) sur \(]-\infty\,;\,0[\), \(g^{\prime\prime}(0)=0\) et \(g^{\prime\prime}(x)\lt0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

La fonction \(g\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,0]\) puis concave sur \([0\,;\,+\infty[\) : la courbe de \(g\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0, le point \((0\,;\,2)\) puisque \(g(0)=\dfrac42=2\).

Exercice 4 :

1. Vrai. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(|(-1)^n|=1\) et \(n+1\geq\,1\), donc \(|u_n|=\dfrac{1}{n+1}\leq\,1\). Autrement dit \(-1\leq\, u_n\leq\,1\) pour tout \(n\) : la suite est minorée par \(-1\) et majorée par 1, elle est bornée.

2. Faux. Un contre-exemple suffit : la suite définie par \(v_n=(-1)^n\) est bornée, puisque \(-1\leq\, v_n\leq\,1\), mais elle prend alternativement les valeurs 1 et \(-1\) et ne se rapproche d’aucun nombre : elle est bornée sans être convergente.

3. Faux. Contre-exemple : la suite définie par \(w_n=-\dfrac{1}{n+1}\). Comme \(n+1\) augmente, \(\dfrac{1}{n+1}\) diminue, donc \(w_n\) augmente : la suite est croissante. Pourtant elle est majorée par 0 et converge vers 0 ; elle ne tend pas vers \(+\infty\).

4. Faux. Le trinôme \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\) est strictement positif, donc \(f\) est bien définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Avec \(f=\ln(w)\) et \(w(x)=x^2+2x+2\), on a \(f^{\prime}(x)=\dfrac{w^{\prime}(x)}{w(x)}=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}\). En dérivant ce quotient :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2+2x+2)-(2x+2)^2}{(x^2+2x+2)^2}=\dfrac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{(x^2+2x+2)^2}=\dfrac{-2x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}.\]

Le dénominateur est strictement positif, donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-2x(x+2)\), trinôme de coefficient dominant négatif et de racines \(-2\) et 0 : il est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		0		\(+\infty\)
\(f^{\prime\prime}(x)\)		\(-\)	0	\(+\)	0	\(-\)

La fonction \(f\) n’est convexe que sur \([-2\,;\,0]\). Par exemple \(f^{\prime\prime}(-3)=\dfrac{-6}{25}\lt0\) : \(f\) est concave sur \([-3\,;\,-2]\). \(f\) n’est donc pas convexe sur \([-3\,;\,1]\).

5. Vrai. La fonction garde dans M la plus grande valeur rencontrée : M part de L[0], puis la boucle parcourt tous les éléments et remplace M dès qu’elle en trouve un strictement plus grand. Elle renvoie donc le maximum de la liste. Avec la liste proposée, M vaut 2, puis 3 (car \(3\gt2\)), puis 7 (car \(7\gt3\)) ; aucun des éléments suivants (0, 6, 3, 2, 0, 5) ne dépasse 7. L’appel renvoie bien 7.

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