Sujet Polynésie 2023 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

De plus, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie, posé le 14 mars 2023, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Le premier exercice suit un athlète qui s’entraîne à franchir une haie : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique et sa limite, puis loi binomiale sur un 400 mètres haies. Le deuxième se déroule dans l’espace avec deux plans sécants, leur droite d’intersection et la recherche du point de cette droite le plus proche d’un point A grâce à un trinôme. Le troisième demande de reconnaître les courbes de \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) puis d’étudier une fonction logistique et son point d’inflexion. En outre, le dernier propose cinq affirmations vrai ou faux sur les suites bornées, la convexité d’un logarithme et une fonction Python.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Polynésie (jour 2).

Par ailleurs, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Sujet Polynésie 2023 : le sujet en un coup d’œil

D’abord, ce sujet Polynésie 2023 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie (jour 2), avec toutes ses questions. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques, les limites et la loi binomiale. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Polynésie — 14 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Thème : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant ;
si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel \(n\) :

\(R_n\) l’évènement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la \(n\)-ième séance »,
\(p_n\) la probabilité de l’évènement \(R_n\). On considère que \(p_0=0{,}6\).

1. Soit \(n\) un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3.\]

3. On considère la suite \((u_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(u_n=p_n-0{,}75\).

a. Démontrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Démontrer que, pour tout entier \(n\) naturel \(n\) :

\[p_n=0{,}75-0{,}15\times 0{,}6^n.\]

c. En déduire que la suite \((p_n)\) est convergente et déterminer sa limite \(\ell\).

d. Interpréter la valeur de \(\ell\) dans le cadre de l’exercice.

Partie B

Après de nombreuses séances d’entraînement, l’entraîneur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de 0,75 et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

2. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies.

3. Calculer \(p(X\geq\, 9)\), à \(10^{-3}\) près.

Exercice 2 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère :

le point \(\text{A}(1\,;\,-1\,;\,-1)\) ;
le plan \(\mathcal{P}_1\), d’équation : \(5x+2y+4z=17\) ;
le plan \(\mathcal{P}_2\) d’équation : \(10x+14y+3z=19\) ;
la droite \(\mathcal{D}\) de représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t\end{cases}\) où \(t\) décrit \(\mathbb{R}\).

1. Justifier que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) ne sont pas parallèles.

2. Démontrer que \(\mathcal{D}\) est la droite d’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

3. a. Vérifier que A n’appartient pas à \(\mathcal{P}_1\).

b. Justifier que A n’appartient pas à \(\mathcal{D}\).

4. Pour tout réel \(t\), on note \(M\) le point de \(\mathcal{D}\) de coordonnées \((1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)\).

On considère alors la fonction \(f\) qui à tout réel \(t\) associe \(\text{A}M^2\), soit \(f(t)=\text{A}M^2\).

a. Démontrer que pour tout réel \(t\), on a : \(f(t)=9t^2-18t+17\).

b. Démontrer que la distance \(\text{A}M\) est minimale lorsque \(M\) a pour coordonnées \((3\,;\,-1\,;\,1)\).

5. On note H le point de coordonnées \((3\,;\,-1\,;\,1)\).

Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à \(\mathcal{D}\).

Exercice 3 (5 points)

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), ainsi que celle de sa dérivée \(f^{\prime}\) et de sa dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.

2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_2\) au point d’abscisse 4.

3. Donner avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_1\).

Partie B

Soit un réel \(k\) strictement positif.

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x)=\dfrac{4}{1+\text{e}^{-kx}}.\]

1. Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. Prouver que \(g^{\prime}(0)=k\).

3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de \(g\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0.

▷ Calcul formel
1	`g(x) =4/(1 + e^(-kx))` \(\to g(x)=\dfrac{4}{\text{e}^{-kx}+1}\)
2	Simplifier\((g^{\prime\prime}(x))\) \(\to g^{\prime\prime}(x)=-4\text{e}^{kx}(\text{e}^{kx}-1)\dfrac{k^2}{(\text{e}^{kx}+1)^3}\)

Exercice 4 (5 points)

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :

1. Affirmation : La suite \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\) est bornée.

2. Affirmation : Toute suite bornée est convergente.

3. Affirmation : Toute suite croissante tend vers \(+\infty\).

4. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\ln(x^2+2x+2)\).

Affirmation : La fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \([-3\,;\,1]\).

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

On rappelle que len(L) renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste L.

def mystere(L) :
    M = L[0]
    # On initialise M avec le premier élément de la liste L
    for i in range(len(L)) :
        if L[i] > M :
            M = L[i]
    return M

Affirmation : L’exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

Sujet Polynésie 2023 : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou les suites arithmético-géométriques, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Sujet Polynésie 2023 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques et les limites, mais aussi la loi binomiale.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Polynésie (jour 2)

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