Corrigé du bac S de maths 2008 en France

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Intégrales, logarithme népérien et étude de fonction – 5 points

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\ln x\) et \(g(x)=(\ln x)^2\), de courbes respectives \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma\). On cherche l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine compris entre ces deux courbes et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=\mathrm{e}\), puis l’écart maximal entre les deux courbes sur \([1\,;\mathrm{e}]\). On pose \(I=\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x\) et \(J=\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}(\ln x)^2\,\mathrm{d}x\).

1. a. On vérifie que \(F(x)=x\ln x-x\) est une primitive de \(\ln\) sur \(]0\,;+\infty[\), puis on calcule \(I\).

\(F\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) comme somme et produit de fonctions dérivables. En dérivant le produit \(x\ln x\) :

\[F^{\prime}(x)=1\times \ln x+x\times \frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x.\]

Donc \(F\) est une primitive de la fonction logarithme népérien sur \(]0\,;+\infty[\). On en déduit :

\[I=F(\mathrm{e})-F(1)=(\mathrm{e}\ln\mathrm{e}-\mathrm{e})-(1\times \ln 1-1)=(\mathrm{e}-\mathrm{e})-(0-1)=1.\]

Ainsi \(I=1\).

1. b. On montre, par une intégration par parties, que \(J=\mathrm{e}-2I\).

On pose \(u(x)=(\ln x)^2\) et \(v^{\prime}(x)=1\), d’où \(u^{\prime}(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\) et \(v(x)=x\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([1\,;\mathrm{e}]\), de dérivées continues. La formule d’intégration par parties donne :

\[J=\Big[x(\ln x)^2\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}}\frac{2\ln x}{x}\times x\,\mathrm{d}x=\big(\mathrm{e}\times 1^2-1\times 0^2\big)-2\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x.\]

Donc \(J=\mathrm{e}-2I\).

1. c. Comme \(I=1\), on obtient \(J=\mathrm{e}-2\).

1. d. On calcule l’aire \(\mathcal{A}\), en unités d’aire.

Pour \(x\in[1\,;\mathrm{e}]\), on a \(0\leq\,\ln x\leq\, 1\), donc \((\ln x)^2\leq\,\ln x\) : la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de \(\Gamma\) sur cet intervalle. Par conséquent :

\[\mathcal{A}=\int_1^{\mathrm{e}}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x=I-J=1-(\mathrm{e}-2)=3-\mathrm{e}.\]

L’aire vaut \(\mathcal{A}=3-\mathrm{e}\approx 0{,}28\) unité d’aire.

2. Pour \(x\in[1\,;\mathrm{e}]\), on note M et N les points d’abscisse \(x\) de \(\mathcal{C}\) et de \(\Gamma\). On cherche la valeur de \(x\) pour laquelle la distance MN est maximale, et ce maximum.

M et N ont la même abscisse, donc \(\mathrm{MN}=|f(x)-g(x)|=|\ln x-(\ln x)^2|\). D’après la question précédente, \(\ln x-(\ln x)^2\geq\, 0\) sur \([1\,;\mathrm{e}]\), donc \(\mathrm{MN}=h(x)\) avec \(h(x)=\ln x-(\ln x)^2\).

\(h\) est dérivable sur \([1\,;\mathrm{e}]\) et :

\[h^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2\ln x\times \frac{1}{x}=\frac{1-2\ln x}{x}.\]

Comme \(x\gt 0\), \(h^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-2\ln x\). Or \(1-2\ln x\geq\, 0\iff\ln x\leq\,\dfrac{1}{2}\iff x\leq\,\sqrt{\mathrm{e}}\).

\(x\)	\(1\)		\(\sqrt{\mathrm{e}}\)		\(\mathrm{e}\)
signe de \(h^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
variations de \(h\)	\(0\)	croissante ↗	\(\dfrac{1}{4}\)	décroissante ↘	\(0\)

La fonction \(h\) admet donc son maximum en \(x=\sqrt{\mathrm{e}}\), et comme \(\ln\sqrt{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{2}\) :

\[h\big(\sqrt{\mathrm{e}}\big)=\frac{1}{2}-\Big(\frac{1}{2}\Big)^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.\]

La distance MN est maximale pour \(x=\sqrt{\mathrm{e}}\approx 1{,}65\) et ce maximum vaut \(\dfrac{1}{4}\).

Exercice 2 :

Géométrie dans l’espace – 5 points

Dans un repère orthonormal de l’espace, on considère les points \(\mathrm{A}(1\,;1\,;0)\), \(\mathrm{B}(1\,;2\,;1)\), \(\mathrm{C}(3\,;-1\,;2)\) et les plans \((P)\) : \(x+2y-z-4=0\) et \((Q)\) : \(2x+3y-2z-5=0\).

1. a. On montre que A, B et C ne sont pas alignés.

On a \(\vec{\mathrm{AB}}(0\,;1\,;1)\) et \(\vec{\mathrm{BC}}(2\,;-3\,;1)\). La première coordonnée de \(\vec{\mathrm{AB}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\mathrm{BC}}\) ne l’est pas, tandis que leurs deuxièmes coordonnées sont non nulles : les coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

1. b. On démontre que le plan (ABC) a pour équation \(2x+y-z-3=0\).

On vérifie que les coordonnées des trois points satisfont cette équation :

• A : \(2\times 1+1-0-3=0\) ;
• B : \(2\times 1+2-1-3=0\) ;
• C : \(2\times 3+(-1)-2-3=0\).

Les trois points appartiennent au plan d’équation \(2x+y-z-3=0\). Comme ils ne sont pas alignés, ils déterminent un unique plan, donc (ABC) : \(2x+y-z-3=0\).

2. On montre que \((P)\) et \((Q)\) se coupent selon une droite \((D)\) dont on donne une représentation paramétrique.

Les vecteurs normaux \(\vec{n}_P(1\,;2\,;-1)\) et \(\vec{n}_Q(2\,;3\,;-2)\) ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants selon une droite. Un point \(\mathrm{M}(x\,;y\,;z)\) appartient aux deux plans si et seulement si :

\[\begin{cases}x+2y-z-4=0\\ 2x+3y-2z-5=0\end{cases}\]

On prend \(z=t\) comme paramètre (\(t\in\mathbb{R}\)). La première équation donne \(x=-2y+t+4\). En reportant dans la seconde : \(2(-2y+t+4)+3y-2t-5=0\), soit \(-y+3=0\), donc \(y=3\), puis \(x=-6+t+4=t-2\). Ainsi l’intersection des deux plans est la droite \((D)\) de représentation paramétrique :

\[(D)\ :\ \begin{cases}x=-2+t\\ y=3\\ z=t\end{cases}\qquad(t\in\mathbb{R}).\]

Elle passe par le point \((-2\,;3\,;0)\) et est dirigée par \(\vec{u}(1\,;0\,;1)\).

3. On détermine l’intersection des trois plans (ABC), \((P)\) et \((Q)\).

Cela revient à chercher l’intersection de (ABC) avec la droite \((D)\). Le point de paramètre \(t\) de \((D)\) appartient à (ABC) si et seulement si :

\[2(t-2)+3-t-3=0\iff t-4=0\iff t=4.\]

On obtient \(x=2\), \(y=3\), \(z=4\). Les trois plans ont donc pour unique point commun \(\mathrm{E}(2\,;3\,;4)\).

4. On calcule la distance du point A à la droite \((D)\).

Soit H le projeté orthogonal de A sur \((D)\) : la distance cherchée est AH. Le point H a pour coordonnées \((t-2\,;3\,;t)\) pour un certain réel \(t\), et \(\vec{\mathrm{AH}}(t-3\,;2\,;t)\) doit être orthogonal à \(\vec{u}(1\,;0\,;1)\) :

\[\vec{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}=(t-3)+0+t=2t-3=0\iff t=\frac{3}{2}.\]

Donc \(\mathrm{H}\Big(-\dfrac{1}{2}\,;3\,;\dfrac{3}{2}\Big)\) et \(\vec{\mathrm{AH}}\Big(-\dfrac{3}{2}\,;2\,;\dfrac{3}{2}\Big)\), d’où :

\[\mathrm{AH}^2=\frac{9}{4}+4+\frac{9}{4}=\frac{17}{2}\qquad\text{et}\qquad\mathrm{AH}=\sqrt{\frac{17}{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}.\]

La distance du point A à la droite \((D)\) vaut \(\sqrt{\dfrac{17}{2}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\approx 2{,}92\).

Vérification par une autre méthode : avec E sur \((D)\), \(\vec{\mathrm{AE}}(1\,;2\,;4)\), \(\mathrm{AE}=\sqrt{21}\), \(\|\vec{u}\|=\sqrt{2}\) et \(\vec{\mathrm{AE}}\cdot\vec{u}=5\). La longueur EH vaut \(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\), donc \(\mathrm{AH}^2=\mathrm{AE}^2-\mathrm{EH}^2=21-\dfrac{25}{2}=\dfrac{17}{2}\) : on retrouve le même résultat.

Exercice 3 :

Loi exponentielle, restitution organisée de connaissances – 5 points (commun à tous les candidats)

La durée de vie, en heures, d’un agenda électronique est modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\gt 0\) : pour tout \(t\geq\, 0\), \(P(X\leq\, t)=\displaystyle\int_0^t\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x\).

1. Restitution organisée de connaissances

1. a. On montre que, pour tout \(t\geq\, 0\), \(P(X\gt t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\).

Une primitive de \(x\mapsto \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\) est \(x\mapsto -\mathrm{e}^{-\lambda x}\). Donc, pour tout \(t\geq\, 0\) :

\[P(X\gt t)=1-P(X\leq\, t)=1-\Big[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\Big]_0^t=1-\big(-\mathrm{e}^{-\lambda t}+1\big)=\mathrm{e}^{-\lambda t}.\]

On a bien \(P(X\gt t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\), et donc \(P(X\leq\, t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\).

1. b. On montre que \(X\) suit une loi de durée de vie sans vieillissement : pour tous réels \(t\geq\, 0\) et \(s\geq\, 0\), \(P_{(X\gt t)}(X\gt t+s)=P(X\gt s)\).

Comme \(s\geq\, 0\), l’événement \((X\gt t+s)\) est inclus dans \((X\gt t)\), donc \((X\gt t)\cap(X\gt t+s)=(X\gt t+s)\). D’où :

\[P_{(X\gt t)}(X\gt t+s)=\frac{P(X\gt t+s)}{P(X\gt t)}=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda(t+s)}}{\mathrm{e}^{-\lambda t}}=\mathrm{e}^{-\lambda s}=P(X\gt s).\]

Cette probabilité conditionnelle ne dépend pas de \(t\) : la probabilité que l’appareil fonctionne encore \(s\) heures de plus ne dépend pas de la durée pendant laquelle il a déjà fonctionné. La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.

2. Dans cette question, \(\lambda=0{,}000\,26\).

2. a. On calcule \(P(X\leq\, 1000)\) et \(P(X\gt 1000)\).

\[P(X\gt 1000)=\mathrm{e}^{-0{,}000\,26\times 1000}=\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}771\qquad\text{et}\qquad P(X\leq\, 1000)=1-\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}229.\]

Arrondies au centième : \(P(X\leq\, 1000)\approx 0{,}23\) et \(P(X\gt 1000)\approx 0{,}77\).

2. b. Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 1000 heures, on cherche la probabilité qu’il fonctionne plus de 2000 heures.

D’après la question 1. b. avec \(t=1000\) et \(s=1000\) :

\[P_{(X\gt 1000)}(X\gt 2000)=P(X\gt 1000)=\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}77.\]

La probabilité cherchée est \(\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}77\).

2. c. Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, on cherche la probabilité qu’il tombe en panne avant 3000 heures, c’est-à-dire \(P_{(X\gt 2000)}(X\leq\, 3000)\).

L’événement contraire de \((X\leq\, 3000)\) est \((X\gt 3000)\), donc :

\[P_{(X\gt 2000)}(X\leq\, 3000)=1-P_{(X\gt 2000)}(X\gt 3000).\]

D’après la question 1. b. avec \(t=2000\) et \(s=1000\) : \(P_{(X\gt 2000)}(X\gt 3000)=P(X\gt 1000)=\mathrm{e}^{-0{,}26}\). Par conséquent :

\[P_{(X\gt 2000)}(X\leq\, 3000)=1-\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}23.\]

La probabilité cherchée est \(1-\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}23\) : c’est exactement la probabilité qu’un agenda neuf tombe en panne avant 1000 heures, ce qui était prévisible puisque la loi de \(X\) est sans vieillissement.

Exercice 4 :

Nombres complexes et transformation du plan – 5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct \((\mathrm{O}\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points A, B et I d’affixes \(z_{\mathrm{A}}=1+\mathrm{i}\), \(z_{\mathrm{B}}=3-\mathrm{i}\) et \(z_{\mathrm{I}}=2\). À tout point M d’affixe \(z\), on associe le point M′ d’affixe \(z^{\prime}=z^2-4z\).

1. La figure, complétée au fil de l’exercice, est donnée à la fin (question 5. c.).

2. On calcule les affixes des images A′ et B′ de A et B.

\[z_{\mathrm{A}^{\prime}}=(1+\mathrm{i})^2-4(1+\mathrm{i})=2\mathrm{i}-4-4\mathrm{i}=-4-2\mathrm{i},\]
\[z_{\mathrm{B}^{\prime}}=(3-\mathrm{i})^2-4(3-\mathrm{i})=(8-6\mathrm{i})-12+4\mathrm{i}=-4-2\mathrm{i}.\]

Les points A′ et B′ sont confondus, d’affixe \(-4-2\mathrm{i}\) : deux points distincts peuvent avoir la même image.

3. On cherche les points M dont l’image a pour affixe \(-5\).

\(z^{\prime}=-5\iff z^2-4z+5=0\). Le discriminant vaut \(\Delta=16-20=-4=(2\mathrm{i})^2\), strictement négatif, donc l’équation a deux solutions complexes conjuguées :

\[z_1=\frac{4-2\mathrm{i}}{2}=2-\mathrm{i}\qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{4+2\mathrm{i}}{2}=2+\mathrm{i}.\]

Les points cherchés ont pour affixes \(2-\mathrm{i}\) et \(2+\mathrm{i}\).

4. a. On vérifie que \(z^{\prime}+4=(z-2)^2\).

\(z^{\prime}+4=z^2-4z+4=(z-2)^2\), d’après l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

4. b. On en déduit une relation entre les modules, puis entre les arguments.

Le module d’un carré est le carré du module, donc \(|z^{\prime}+4|=|z-2|^2\). Lorsque \(z\neq 2\), on a \(z-2\neq 0\) et \(z^{\prime}+4\neq 0\), et l’argument d’un carré est le double de l’argument, donc :

\[\arg(z^{\prime}+4)=2\arg(z-2)\quad(\text{modulo }2\pi).\]

4. c. On décrit l’ensemble des points M′ lorsque M parcourt le cercle \(\mathcal{C}\) de centre I et de rayon 2.

Notons J le point d’affixe \(-4\). Alors \(|z^{\prime}+4|=\mathrm{JM}^{\prime}\) et \(|z-2|=\mathrm{IM}\). Si M est sur \(\mathcal{C}\), \(\mathrm{IM}=2\), donc \(\mathrm{JM}^{\prime}=2^2=4\) : M′ appartient au cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\) de centre J et de rayon 4.

De plus, quand M décrit tout le cercle \(\mathcal{C}\), l’argument de \(z-2\) prend toutes les valeurs de \([0\,;2\pi[\), donc celui de \(z^{\prime}+4\), qui est son double, aussi : M′ décrit tout le cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\).

5. Soit E le point d’affixe \(z_{\mathrm{E}}=2+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\) et E′ son image.

5. a. On calcule IE et une mesure de l’angle \(\big(\vec{u},\vec{\mathrm{IE}}\big)\).

L’affixe de \(\vec{\mathrm{IE}}\) est \(z_{\mathrm{E}}-2=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\), nombre de module 2 et d’argument \(\dfrac{\pi}{3}\). Donc :

\[\mathrm{IE}=\big|2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\big|=2\qquad\text{et}\qquad\big(\vec{u},\vec{\mathrm{IE}}\big)=\frac{\pi}{3}\ (2\pi).\]

En particulier, E appartient au cercle \(\mathcal{C}\). Sous forme algébrique, \(z_{\mathrm{E}}=2+2\Big(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=3+\mathrm{i}\sqrt{3}\).

5. b. On en déduit JE′ et une mesure de l’angle \(\big(\vec{u},\vec{\mathrm{JE}^{\prime}}\big)\).

D’après la question 4. b. :

\[\mathrm{JE}^{\prime}=|z_{\mathrm{E}^{\prime}}+4|=|z_{\mathrm{E}}-2|^2=2^2=4\qquad\text{et}\qquad\big(\vec{u},\vec{\mathrm{JE}^{\prime}}\big)=2\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\ (2\pi).\]

Donc \(\mathrm{JE}^{\prime}=4\) et \(\big(\vec{u},\vec{\mathrm{JE}^{\prime}}\big)=\dfrac{2\pi}{3}\). On en déduit \(z_{\mathrm{E}^{\prime}}+4=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=-2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\), soit \(z_{\mathrm{E}^{\prime}}=-6+2\mathrm{i}\sqrt{3}\) (ce que confirme le calcul direct \((3+\mathrm{i}\sqrt{3})^2-4(3+\mathrm{i}\sqrt{3})=-6+2\mathrm{i}\sqrt{3}\)).

5. c. Construction des points E et E′.

• Point E : le triangle formé par I, E et le point K d’affixe 4 est équilatéral (IE = IK = 2 et l’angle en I mesure \(\dfrac{\pi}{3}\)). E est donc le point d’intersection, d’ordonnée positive, du cercle \(\mathcal{C}\) et du cercle de centre K et de rayon 2 (en pointillés sur la figure).
• Point E′ : il est sur le cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\) de centre J et de rayon 4, et l’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) donne une abscisse \(-4+4\cos\dfrac{2\pi}{3}=-6\). E′ est donc le point d’intersection de \(\mathcal{C}^{\prime}\) avec la droite d’équation \(x=-6\) situé au-dessus de l’axe des abscisses (l’autre point d’intersection, noté F, correspond à l’angle \(-\dfrac{2\pi}{3}\)).