Ensuite, Voici le corrigé du bac S de mathématiques 2008 en France métropolitaine (session de juin 2008), entièrement rédigé question par question. L’exercice 1 calcule l’aire comprise entre les courbes de \(\ln x\) et de \((\ln x)^2\) grâce à une primitive du logarithme et à une intégration par parties, puis cherche l’écart vertical maximal entre les deux courbes par une étude de fonction. Puis, l’exercice 2 relève de la géométrie dans l’espace : équation cartésienne d’un plan, intersection de deux plans sous forme de représentation paramétrique, point commun à trois plans et distance d’un point à une droite. L’exercice 3 commence par une restitution organisée de connaissances sur la loi exponentielle (durée de vie sans vieillissement) et l’applique à la panne d’un agenda électronique. Ensuite, l’exercice 4 étudie la transformation complexe \(z \mapsto z^2-4z\) : images de points, équation du second degré, modules, arguments et construction géométrique d’un point image.
Corrigé bac 2008 : organisation du corrigé
Avant tout, ce corrigé bac 2008 reprend le bac S de mathématiques 2008 en France et détaille la démarche attendue à chaque question. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction logarithme népérien, l’intégration par parties, la géométrie dans l’espace et la loi exponentielle. Ensuite, pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, la correction sert autant à contrôler un résultat qu’à apprendre la rédaction attendue le jour de l’examen.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Intégrales, logarithme népérien et étude de fonction – 5 points
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\ln x\) et \(g(x)=(\ln x)^2\), de courbes respectives \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma\). Ensuite, on cherche l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine compris entre ces deux courbes et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=\mathrm{e}\), puis l’écart maximal entre les deux courbes sur \([1\,;\mathrm{e}]\). Puis on pose \(I=\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x\) et \(J=\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}(\ln x)^2\,\mathrm{d}x\).
1. a. On vérifie que \(F(x)=x\ln x-x\) est une primitive de \(\ln\) sur \(]0\,;+\infty[\), puis on calcule \(I\).
\(F\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) comme somme et produit de fonctions dérivables. De plus, en dérivant le produit \(x\ln x\) :
\[F^{\prime}(x)=1\times \ln x+x\times \frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x.\]
Donc \(F\) est une primitive de la fonction logarithme népérien sur \(]0\,;+\infty[\). Ensuite, on en déduit :
\[I=F(\mathrm{e})-F(1)=(\mathrm{e}\ln\mathrm{e}-\mathrm{e})-(1\times \ln 1-1)=(\mathrm{e}-\mathrm{e})-(0-1)=1.\]
Ainsi \(I=1\).
1. b. On montre, par une intégration par parties, que \(J=\mathrm{e}-2I\).
On pose \(u(x)=(\ln x)^2\) et \(v^{\prime}(x)=1\), d’où \(u^{\prime}(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\) et \(v(x)=x\). Par ailleurs, les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([1\,;\mathrm{e}]\), de dérivées continues. Puis la formule d’intégration par parties donne :
\[J=\Big[x(\ln x)^2\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}}\frac{2\ln x}{x}\times x\,\mathrm{d}x=\big(\mathrm{e}\times 1^2-1\times 0^2\big)-2\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x.\]
Donc \(J=\mathrm{e}-2I\).
Exercice 1 du corrigé bac 2008 : questions 1 à 2
1. c. Comme \(I=1\), on obtient \(J=\mathrm{e}-2\).
1. d. On calcule l’aire \(\mathcal{A}\), en unités d’aire.
Pour \(x\in[1\,;\mathrm{e}]\), on a \(0\leq\,\ln x\leq\, 1\), donc \((\ln x)^2\leq\,\ln x\) : la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de \(\Gamma\) sur cet intervalle. Par conséquent :
\[\mathcal{A}=\int_1^{\mathrm{e}}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x=I-J=1-(\mathrm{e}-2)=3-\mathrm{e}.\]
L’aire vaut \(\mathcal{A}=3-\mathrm{e}\approx 0{,}28\) unité d’aire.
2. Pour \(x\in[1\,;\mathrm{e}]\), on note M et N les points d’abscisse \(x\) de \(\mathcal{C}\) et de \(\Gamma\). Ensuite, on cherche la valeur de \(x\) pour laquelle la distance MN est maximale, et ce maximum.
M et N ont la même abscisse, donc \(\mathrm{MN}=|f(x)-g(x)|=|\ln x-(\ln x)^2|\). D’après la question précédente, \(\ln x-(\ln x)^2\geq\, 0\) sur \([1\,;\mathrm{e}]\), donc \(\mathrm{MN}=h(x)\) avec \(h(x)=\ln x-(\ln x)^2\).
\(h\) est dérivable sur \([1\,;\mathrm{e}]\) et :
\[h^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2\ln x\times \frac{1}{x}=\frac{1-2\ln x}{x}.\]
Comme \(x\gt 0\), \(h^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-2\ln x\). Or \(1-2\ln x\geq\, 0\iff\ln x\leq\,\dfrac{1}{2}\iff x\leq\,\sqrt{\mathrm{e}}\).
| \(x\) | \(1\) | \(\sqrt{\mathrm{e}}\) | \(\mathrm{e}\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(h^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(h\) | \(0\) | croissante ↗ | \(\dfrac{1}{4}\) | décroissante ↘ | \(0\) |
La fonction \(h\) admet donc son maximum en \(x=\sqrt{\mathrm{e}}\), et comme \(\ln\sqrt{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{2}\) :
\[h\big(\sqrt{\mathrm{e}}\big)=\frac{1}{2}-\Big(\frac{1}{2}\Big)^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.\]
La distance MN est maximale pour \(x=\sqrt{\mathrm{e}}\approx 1{,}65\) et ce maximum vaut \(\dfrac{1}{4}\).
Exercice 2 :
Géométrie dans l’espace – 5 points
Dans un repère orthonormal de l’espace, on considère les points \(\mathrm{A}(1\,;1\,;0)\), \(\mathrm{B}(1\,;2\,;1)\), \(\mathrm{C}(3\,;-1\,;2)\) et les plans \((P)\) : \(x+2y-z-4=0\) et \((Q)\) : \(2x+3y-2z-5=0\).
1. a. On montre que A, B et C ne sont pas alignés.
On a \(\vec{\mathrm{AB}}(0\,;1\,;1)\) et \(\vec{\mathrm{BC}}(2\,;-3\,;1)\). Puis la première coordonnée de \(\vec{\mathrm{AB}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\mathrm{BC}}\) ne l’est pas, tandis que leurs deuxièmes coordonnées sont non nulles : les coordonnées ne sont pas proportionnelles. De plus, les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.
1. b. On démontre que le plan (ABC) a pour équation \(2x+y-z-3=0\).
On vérifie que les coordonnées des trois points satisfont cette équation :
- A : \(2\times 1+1-0-3=0\) ;
- B : \(2\times 1+2-1-3=0\) ;
- C : \(2\times 3+(-1)-2-3=0\).
Les trois points appartiennent au plan d’équation \(2x+y-z-3=0\). Comme ils ne sont pas alignés, ils déterminent un unique plan, donc (ABC) : \(2x+y-z-3=0\).
2. On montre que \((P)\) et \((Q)\) se coupent selon une droite \((D)\) dont on donne une représentation paramétrique.
Les vecteurs normaux \(\vec{n}_P(1\,;2\,;-1)\) et \(\vec{n}_Q(2\,;3\,;-2)\) ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants selon une droite. Ensuite, un point \(\mathrm{M}(x\,;y\,;z)\) appartient aux deux plans si et seulement si :
\[\begin{cases}x+2y-z-4=0\\ 2x+3y-2z-5=0\end{cases}\]
Exercice 2 : questions 3 à 4
On prend \(z=t\) comme paramètre (\(t\in\mathbb{R}\)). Par ailleurs, la première équation donne \(x=-2y+t+4\). Puis en reportant dans la seconde : \(2(-2y+t+4)+3y-2t-5=0\), soit \(-y+3=0\), donc \(y=3\), puis \(x=-6+t+4=t-2\). Ainsi l’intersection des deux plans est la droite \((D)\) de représentation paramétrique :
\[(D)\ :\ \begin{cases}x=-2+t\\ y=3\\ z=t\end{cases}\qquad(t\in\mathbb{R}).\]
Elle passe par le point \((-2\,;3\,;0)\) et est dirigée par \(\vec{u}(1\,;0\,;1)\).
3. On détermine l’intersection des trois plans (ABC), \((P)\) et \((Q)\).
Cela revient à chercher l’intersection de (ABC) avec la droite \((D)\). Ensuite, le point de paramètre \(t\) de \((D)\) appartient à (ABC) si et seulement si :
\[2(t-2)+3-t-3=0\iff t-4=0\iff t=4.\]
On obtient \(x=2\), \(y=3\), \(z=4\). Les trois plans ont donc pour unique point commun \(\mathrm{E}(2\,;3\,;4)\).
4. On calcule la distance du point A à la droite \((D)\).
Soit H le projeté orthogonal de A sur \((D)\) : la distance cherchée est AH. Le point H a pour coordonnées \((t-2\,;3\,;t)\) pour un certain réel \(t\), et \(\vec{\mathrm{AH}}(t-3\,;2\,;t)\) doit être orthogonal à \(\vec{u}(1\,;0\,;1)\) :
\[\vec{\mathrm{AH}}\cdot\vec{u}=(t-3)+0+t=2t-3=0\iff t=\frac{3}{2}.\]
Donc \(\mathrm{H}\Big(-\dfrac{1}{2}\,;3\,;\dfrac{3}{2}\Big)\) et \(\vec{\mathrm{AH}}\Big(-\dfrac{3}{2}\,;2\,;\dfrac{3}{2}\Big)\), d’où :
\[\mathrm{AH}^2=\frac{9}{4}+4+\frac{9}{4}=\frac{17}{2}\qquad\text{et}\qquad\mathrm{AH}=\sqrt{\frac{17}{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}.\]
La distance du point A à la droite \((D)\) vaut \(\sqrt{\dfrac{17}{2}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\approx 2{,}92\).
Vérification par une autre méthode : avec E sur \((D)\), \(\vec{\mathrm{AE}}(1\,;2\,;4)\), \(\mathrm{AE}=\sqrt{21}\), \(\|\vec{u}\|=\sqrt{2}\) et \(\vec{\mathrm{AE}}\cdot\vec{u}=5\). La longueur EH vaut \(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\), donc \(\mathrm{AH}^2=\mathrm{AE}^2-\mathrm{EH}^2=21-\dfrac{25}{2}=\dfrac{17}{2}\) : on retrouve le même résultat.
Exercice 3 :
Loi exponentielle, restitution organisée de connaissances – 5 points (commun à tous les candidats)
La durée de vie, en heures, d’un agenda électronique est modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\gt 0\) : pour tout \(t\geq\, 0\), \(P(X\leq\, t)=\displaystyle\int_0^t\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x\).
1. Restitution organisée de connaissances
1. a. On montre que, pour tout \(t\geq\, 0\), \(P(X\gt t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\).
Une primitive de \(x\mapsto \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\) est \(x\mapsto -\mathrm{e}^{-\lambda x}\). Donc, pour tout \(t\geq\, 0\) :
\[P(X\gt t)=1-P(X\leq\, t)=1-\Big[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\Big]_0^t=1-\big(-\mathrm{e}^{-\lambda t}+1\big)=\mathrm{e}^{-\lambda t}.\]
On a bien \(P(X\gt t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\), et donc \(P(X\leq\, t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\).
1. b. On montre que \(X\) suit une loi de durée de vie sans vieillissement : pour tous réels \(t\geq\, 0\) et \(s\geq\, 0\), \(P_{(X\gt t)}(X\gt t+s)=P(X\gt s)\).
Comme \(s\geq\, 0\), l’événement \((X\gt t+s)\) est inclus dans \((X\gt t)\), donc \((X\gt t)\cap(X\gt t+s)=(X\gt t+s)\). D’où :
\[P_{(X\gt t)}(X\gt t+s)=\frac{P(X\gt t+s)}{P(X\gt t)}=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda(t+s)}}{\mathrm{e}^{-\lambda t}}=\mathrm{e}^{-\lambda s}=P(X\gt s).\]
Cette probabilité conditionnelle ne dépend pas de \(t\) : la probabilité que l’appareil fonctionne encore \(s\) heures de plus ne dépend pas de la durée pendant laquelle il a déjà fonctionné. La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
Exercice 3 du corrigé bac 2008 : question 2
2. Dans cette question, \(\lambda=0{,}000\,26\).
2. a. On calcule \(P(X\leq\, 1000)\) et \(P(X\gt 1000)\).
\[P(X\gt 1000)=\mathrm{e}^{-0{,}000\,26\times 1000}=\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}771\qquad\text{et}\qquad P(X\leq\, 1000)=1-\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}229.\]
Arrondies au centième : \(P(X\leq\, 1000)\approx 0{,}23\) et \(P(X\gt 1000)\approx 0{,}77\).
2. b. Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 1000 heures, on cherche la probabilité qu’il fonctionne plus de 2000 heures.
D’après la question 1. b. avec \(t=1000\) et \(s=1000\) :
\[P_{(X\gt 1000)}(X\gt 2000)=P(X\gt 1000)=\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}77.\]
La probabilité cherchée est \(\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}77\).
2. c. Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, on cherche la probabilité qu’il tombe en panne avant 3000 heures, c’est-à-dire \(P_{(X\gt 2000)}(X\leq\, 3000)\).
L’événement contraire de \((X\leq\, 3000)\) est \((X\gt 3000)\), donc :
\[P_{(X\gt 2000)}(X\leq\, 3000)=1-P_{(X\gt 2000)}(X\gt 3000).\]
D’après la question 1. b. avec \(t=2000\) et \(s=1000\) : \(P_{(X\gt 2000)}(X\gt 3000)=P(X\gt 1000)=\mathrm{e}^{-0{,}26}\). Par conséquent :
\[P_{(X\gt 2000)}(X\leq\, 3000)=1-\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}23.\]
La probabilité cherchée est \(1-\mathrm{e}^{-0{,}26}\approx 0{,}23\) : c’est exactement la probabilité qu’un agenda neuf tombe en panne avant 1000 heures, ce qui était prévisible puisque la loi de \(X\) est sans vieillissement.
Exercice 4 :
Nombres complexes et transformation du plan – 5 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct \((\mathrm{O}\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points A, B et I d’affixes \(z_{\mathrm{A}}=1+\mathrm{i}\), \(z_{\mathrm{B}}=3-\mathrm{i}\) et \(z_{\mathrm{I}}=2\). À tout point M d’affixe \(z\), on associe le point M′ d’affixe \(z^{\prime}=z^2-4z\).
1. La figure, complétée au fil de l’exercice, est donnée à la fin (question 5. c.).
2. On calcule les affixes des images A′ et B′ de A et B.
\[z_{\mathrm{A}^{\prime}}=(1+\mathrm{i})^2-4(1+\mathrm{i})=2\mathrm{i}-4-4\mathrm{i}=-4-2\mathrm{i},\]
\[z_{\mathrm{B}^{\prime}}=(3-\mathrm{i})^2-4(3-\mathrm{i})=(8-6\mathrm{i})-12+4\mathrm{i}=-4-2\mathrm{i}.\]
Les points A′ et B′ sont confondus, d’affixe \(-4-2\mathrm{i}\) : deux points distincts peuvent avoir la même image.
3. On cherche les points M dont l’image a pour affixe \(-5\).
\(z^{\prime}=-5\iff z^2-4z+5=0\). Le discriminant vaut \(\Delta=16-20=-4=(2\mathrm{i})^2\), strictement négatif, donc l’équation a deux solutions complexes conjuguées :
\[z_1=\frac{4-2\mathrm{i}}{2}=2-\mathrm{i}\qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{4+2\mathrm{i}}{2}=2+\mathrm{i}.\]
Les points cherchés ont pour affixes \(2-\mathrm{i}\) et \(2+\mathrm{i}\).
4. a. On vérifie que \(z^{\prime}+4=(z-2)^2\).
\(z^{\prime}+4=z^2-4z+4=(z-2)^2\), d’après l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
4. b. On en déduit une relation entre les modules, puis entre les arguments.
Le module d’un carré est le carré du module, donc \(|z^{\prime}+4|=|z-2|^2\). Lorsque \(z\neq 2\), on a \(z-2\neq 0\) et \(z^{\prime}+4\neq 0\), et l’argument d’un carré est le double de l’argument, donc :
\[\arg(z^{\prime}+4)=2\arg(z-2)\quad(\text{modulo }2\pi).\]
Exercice 4 : questions 4 à 5
4. c. On décrit l’ensemble des points M′ lorsque M parcourt le cercle \(\mathcal{C}\) de centre I et de rayon 2.
Notons J le point d’affixe \(-4\). Alors \(|z^{\prime}+4|=\mathrm{JM}^{\prime}\) et \(|z-2|=\mathrm{IM}\). Si M est sur \(\mathcal{C}\), \(\mathrm{IM}=2\), donc \(\mathrm{JM}^{\prime}=2^2=4\) : M′ appartient au cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\) de centre J et de rayon 4.
De plus, quand M décrit tout le cercle \(\mathcal{C}\), l’argument de \(z-2\) prend toutes les valeurs de \([0\,;2\pi[\), donc celui de \(z^{\prime}+4\), qui est son double, aussi : M′ décrit tout le cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\).
5. Soit E le point d’affixe \(z_{\mathrm{E}}=2+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\) et E′ son image.
5. a. On calcule IE et une mesure de l’angle \(\big(\vec{u},\vec{\mathrm{IE}}\big)\).
L’affixe de \(\vec{\mathrm{IE}}\) est \(z_{\mathrm{E}}-2=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\), nombre de module 2 et d’argument \(\dfrac{\pi}{3}\). Donc :
\[\mathrm{IE}=\big|2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\big|=2\qquad\text{et}\qquad\big(\vec{u},\vec{\mathrm{IE}}\big)=\frac{\pi}{3}\ (2\pi).\]
En particulier, E appartient au cercle \(\mathcal{C}\). Sous forme algébrique, \(z_{\mathrm{E}}=2+2\Big(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=3+\mathrm{i}\sqrt{3}\).
5. b. On en déduit JE′ et une mesure de l’angle \(\big(\vec{u},\vec{\mathrm{JE}^{\prime}}\big)\).
D’après la question 4. b. :
\[\mathrm{JE}^{\prime}=|z_{\mathrm{E}^{\prime}}+4|=|z_{\mathrm{E}}-2|^2=2^2=4\qquad\text{et}\qquad\big(\vec{u},\vec{\mathrm{JE}^{\prime}}\big)=2\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\ (2\pi).\]
Donc \(\mathrm{JE}^{\prime}=4\) et \(\big(\vec{u},\vec{\mathrm{JE}^{\prime}}\big)=\dfrac{2\pi}{3}\). On en déduit \(z_{\mathrm{E}^{\prime}}+4=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=-2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\), soit \(z_{\mathrm{E}^{\prime}}=-6+2\mathrm{i}\sqrt{3}\) (ce que confirme le calcul direct \((3+\mathrm{i}\sqrt{3})^2-4(3+\mathrm{i}\sqrt{3})=-6+2\mathrm{i}\sqrt{3}\)).
5. c. Construction des points E et E′.
- Point E : le triangle formé par I, E et le point K d’affixe 4 est équilatéral (IE = IK = 2 et l’angle en I mesure \(\dfrac{\pi}{3}\)). E est donc le point d’intersection, d’ordonnée positive, du cercle \(\mathcal{C}\) et du cercle de centre K et de rayon 2 (en pointillés sur la figure).
- Point E′ : il est sur le cercle \(\mathcal{C}^{\prime}\) de centre J et de rayon 4, et l’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) donne une abscisse \(-4+4\cos\dfrac{2\pi}{3}=-6\). E′ est donc le point d’intersection de \(\mathcal{C}^{\prime}\) avec la droite d’équation \(x=-6\) situé au-dessus de l’axe des abscisses (l’autre point d’intersection, noté F, correspond à l’angle \(-\dfrac{2\pi}{3}\)).
Exercice 4 : questions 4 à 5 (suite)
Comment réviser avec ce corrigé bac 2008
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou l’intégration par parties, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction logarithme.
Les pièges classiques
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Pour une intégration par parties, choisissez comme fonction à dériver celle qui se simplifie, et écrivez les quatre fonctions avant de calculer.
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Corrigé bac 2008 : questions fréquentes
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction logarithme népérien, l’intégration par parties et la géométrie dans l’espace, mais aussi la loi exponentielle.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
