Sujet étrangers 2022 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2022 des centres étrangers, posé le 12 mai 2022 (Arabie saoudite, Grèce, Israël, Turquie…), avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Ensuite, le premier exercice est un QCM de six questions sur l’exponentielle : dérivée, primitives, limite et lecture de la courbe d’une dérivée seconde. Le deuxième étudie \(x\ln(x)+1\), sa tangente en 1 et sa convexité, puis une suite récurrente croissante et majorée. Par ailleurs, le troisième travaille dans l’espace sur un tétraèdre ABCD : non-coplanarité, projeté orthogonal, volume et aire d’une face. Le dernier cherche le nombre de jetons noirs qui rend un jeu de tirages avec remise favorable, puis maximise le gain moyen.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 2).

En outre, vous préparez le bac de maths 2027 ? Ensuite, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Sujet étrangers 2022 : présentation de l’épreuve

Tout d’abord, ce sujet étrangers 2022 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 aux centres étrangers (jour 2), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la dérivation, les limites, la fonction logarithme népérien et la convexité. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 2 (jour 2)
Centres étrangers (Arabie saoudite, Bahreïn, Chypre, Éthiopie, Grèce, Israël, Jordanie, Koweït, Qatar, Roumanie et Turquie) — 12 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x}\]

On suppose que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}\)	\(f^{\prime}(x)=x\text{e}^{-x}\)	\(f^{\prime}(x)=(1-x)\text{e}^{-x}\)	\(f^{\prime}(x)=(1+x)\text{e}^{-x}\)

2. Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle \([-3\,;\,1]\). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

On peut alors affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
La fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\)	La fonction \(f\) est concave sur l’intervalle \([-2\,;\,0]\)	La fonction \(f^{\prime}\) est décroissante sur l’intervalle \([-2\,;\,0]\)	La fonction \(f^{\prime}\) admet un maximum en \(x=-1\)

Exercice 1 du sujet étrangers 2022 : questions 3 à 6

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=x^3\text{e}^{-x^2}\]

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\),

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x)=-\dfrac{1}{6}(x^3+1)\text{e}^{-x^2}\)	\(F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4\text{e}^{-x^2}\)	\(F(x)=-\dfrac{1}{2}(x^2+1)\text{e}^{-x^2}\)	\(F(x)=x^2(3-2x^2)\text{e}^{-x^2}\)

4. Que vaut :

\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}\]

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(-1\)	\(1\)	\(+\infty\)	n’existe pas

5. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\text{e}^{2x+1}\).

La seule primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) telle que \(F(0)=1\) est la fonction :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(x\longmapsto 2\text{e}^{2x+1}-2\text{e}+1\)	\(x\longmapsto 2\text{e}^{2x+1}-\text{e}\)	\(x\longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\text{e}+1\)	\(x\longmapsto \text{e}^{x^2+x}\)

6. Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \([-2\,;\,4]\).

Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction \(f^{\prime\prime}\), dérivée seconde de \(f\) ?

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : Fonction logarithme et suite

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=x\ln(x)+1\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(0\) ainsi que sa limite en \(+\infty\).

2. a. On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on notera \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[f^{\prime}(x)=1+\ln(x).\]

b. En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et les limites.

c. Justifier que pour tout \(x\in\,]0\,;\,1[\), \(f(x)\in\,]0\,;\,1[\).

3. a. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1.

b. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

c. En déduire que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[f(x)\geq\, x\]

4. On définit la suite \((u_n)\) par son premier terme \(u_0\) élément de l’intervalle \(]0\,;\,1[\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=f(u_n)\]

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0\lt u_n\lt 1\).

b. Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite \((u_n)\).

c. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Exercice 3 (7 points)

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points

\[\text{A}(3\,;\,-2\,;\,2),\quad \text{B}(6\,;\,1\,;\,5),\quad \text{C}(6\,;\,-2\,;\,-1)\quad\text{et}\quad \text{D}(0\,;\,4\,;\,-1).\]

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}\times h\]

où \(\mathcal{A}\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur correspondante.

1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

c. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

3. On considère le point H\((5\,;\,0\,;\,1)\).

a. Montrer qu’il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vec{\text{BH}}=\alpha\vec{\text{BC}}+\beta\vec{\text{BD}}\).

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

c. En déduire la distance du point A au plan (BCD).

4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle BCD.

Exercice 4 (7 points)

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;
un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;
un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

1. On considère que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.

a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.

2. On considère maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera \(N\) le nombre de jetons noirs.

a. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.

Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

b. Résoudre l’inéquation pour \(x\) réel :

\[-x^2+30x-81\gt 0\]

c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.

d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ?

3. On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec 3 jetons blancs).

Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?

Sujet étrangers 2022 : méthode pour bien s’entraîner

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la dérivation et les limites. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article dérivation de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Sujet étrangers 2022 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la dérivation, les limites et la fonction logarithme népérien, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 2)

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