Bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 2 (jour 2)
Centres étrangers (Arabie saoudite, Bahreïn, Chypre, Éthiopie, Grèce, Israël, Jordanie, Koweït, Qatar, Roumanie et Turquie) — 12 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x}\]

On suppose que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

2. Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle \([-3\,;\,1]\). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

On peut alors affirmer que :

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=x^3\text{e}^{-x^2}\]

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\),

4. Que vaut :

\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}\]

5. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\text{e}^{2x+1}\).

La seule primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) telle que \(F(0)=1\) est la fonction :

6. Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \([-2\,;\,4]\).

Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction \(f^{\prime\prime}\), dérivée seconde de \(f\) ?

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : Fonction logarithme et suite

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=x\ln(x)+1\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(0\) ainsi que sa limite en \(+\infty\).

2. a. On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on notera \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[f^{\prime}(x)=1+\ln(x).\]

b. En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et les limites.

c. Justifier que pour tout \(x\in\,]0\,;\,1[\), \(f(x)\in\,]0\,;\,1[\).

3. a. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1.

b. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

c. En déduire que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[f(x)\geq\, x\]

4. On définit la suite \((u_n)\) par son premier terme \(u_0\) élément de l’intervalle \(]0\,;\,1[\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=f(u_n)\]

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0\lt u_n\lt 1\).

b. Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite \((u_n)\).

c. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Exercice 3 (7 points)

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points

\[\text{A}(3\,;\,-2\,;\,2),\quad \text{B}(6\,;\,1\,;\,5),\quad \text{C}(6\,;\,-2\,;\,-1)\quad\text{et}\quad \text{D}(0\,;\,4\,;\,-1).\]

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}\times h\]

où \(\mathcal{A}\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur correspondante.

1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

c. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

3. On considère le point H\((5\,;\,0\,;\,1)\).

a. Montrer qu’il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vec{\text{BH}}=\alpha\vec{\text{BC}}+\beta\vec{\text{BD}}\).

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

c. En déduire la distance du point A au plan (BCD).

4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle BCD.

Exercice 4 (7 points)

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

• un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;
• un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;
• un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

1. On considère que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.

a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.

2. On considère maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera \(N\) le nombre de jetons noirs.

a. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.

Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

b. Résoudre l’inéquation pour \(x\) réel :

\[-x^2+30x-81\gt 0\]

c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.

d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ?

3. On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec 3 jetons blancs).

Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. On écrit \(f(x)=x\,\text{e}^{-x}\) : c’est un produit \(uv\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\).

\[f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^{-x}+x\times (-\text{e}^{-x})=(1-x)\,\text{e}^{-x}.\]

Réponse c.

2. On lit le signe de \(f^{\prime\prime}\) sur le graphique : \(f^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) sur \([-3\,;\,-1]\) et \(f^{\prime\prime}(x)\leq\, 0\) sur \([-1\,;\,1]\), avec \(f^{\prime\prime}(-1)=0\). Or \(f^{\prime\prime}\) est la dérivée de \(f^{\prime}\) : la fonction \(f^{\prime}\) est donc croissante sur \([-3\,;\,-1]\) puis décroissante sur \([-1\,;\,1]\). Elle atteint son maximum en \(x=-1\).

Les autres propositions sont fausses : sur \([-1\,;\,1]\), \(f^{\prime\prime}\leq\, 0\) donc \(f\) est concave et non convexe (a) ; sur \([-2\,;\,-1]\), \(f^{\prime\prime}\geq\, 0\) donc \(f\) n’est pas concave sur \([-2\,;\,0]\) (b) et \(f^{\prime}\) y croît (c).

Réponse d.

3. Il suffit de dériver la proposition c, qui est de la forme \(-\dfrac{1}{2}uv\) avec \(u(x)=x^2+1\) et \(v(x)=\text{e}^{-x^2}\), donc \(u^{\prime}(x)=2x\) et \(v^{\prime}(x)=-2x\,\text{e}^{-x^2}\) :

\[F^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2}[2x\,\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)(-2x)\text{e}^{-x^2}]=-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-x^2}(2x-2x^3-2x)=x^3\text{e}^{-x^2}=f(x).\]

Pour vérifier qu’aucune autre ne convient : la dérivée de b vaut \((-x^3+\dfrac{1}{2}x^5)\text{e}^{-x^2}\), celle de a vaut \(\dfrac{1}{6}(2x^4-3x^2+2x)\text{e}^{-x^2}\) et celle de d vaut \((4x^5-14x^3+6x)\text{e}^{-x^2}\) : aucune n’est égale à \(f(x)\).

Réponse c.

4. On a une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(\text{e}^x\) au numérateur et au dénominateur : pour \(x\gt 0\),

\[\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}=\dfrac{\text{e}^x(1+\text{e}^{-x})}{\text{e}^x(1-\text{e}^{-x})}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}.\]

Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\), le quotient tend vers \(\dfrac{1+0}{1-0}=1\). Réponse b.

5. La fonction \(f\) est de la forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=2x+1\) et \(u^{\prime}(x)=2\). Une primitive de \(u^{\prime}\text{e}^u\) est \(\text{e}^u\), donc une primitive de \(f=\dfrac{1}{2}u^{\prime}\text{e}^u\) est \(x\longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}+k\), \(k\in\mathbb{R}\).

La condition \(F(0)=1\) donne \(\dfrac{1}{2}\text{e}+k=1\), soit \(k=1-\dfrac{1}{2}\text{e}\). Ainsi \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\text{e}+1\). Réponse c.

6. Sur le graphique, la courbe de \(f\) « tourne vers le bas » (elle est sous ses tangentes) entre \(-2\) et 1, puis « tourne vers le haut » entre 1 et 4 : \(f\) est concave sur \([-2\,;\,1]\) et convexe sur \([1\,;\,4]\), avec un point d’inflexion d’abscisse 1. On cherche donc une fonction \(f^{\prime\prime}\) négative sur \([-2\,;\,1]\), positive sur \([1\,;\,4]\) et qui s’annule en 1.

La courbe b a le signe contraire ; les courbes c et d représentent des fonctions positives sur une grande partie de \([-2\,;\,1]\). Seule la droite a (négative avant 1, nulle en 1, positive après) convient. Réponse a.

Exercice 2 :

1. Limite en 0. D’après la croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0+1=\) 1.

Limite en \(+\infty\). On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\) \(+\infty\).

2. a. Le terme \(x\ln(x)\) est le produit de \(u(x)=x\) et \(v(x)=\ln(x)\), avec \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). La constante 1 a une dérivée nulle. Donc, pour tout \(x\gt 0\) :

\[f^{\prime}(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1.\]

b. On étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\) : comme la fonction exponentielle est strictement croissante,

\[1+\ln(x)\gt 0\iff\ln(x)\gt -1\iff x\gt\text{e}^{-1}.\]

Donc \(f^{\prime}\) est négative sur \(]0\,;\,\text{e}^{-1}]\) et positive sur \([\text{e}^{-1}\,;\,+\infty[\) : \(f\) est décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x=\text{e}^{-1}\). Sa valeur est

\[f(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})+1=-\text{e}^{-1}+1=1-\dfrac{1}{\text{e}}\approx 0{,}632.\]

c. Soit \(x\in\,]0\,;\,1[\). D’une part, \(\ln(x)\lt 0\) et \(x\gt 0\), donc \(x\ln(x)\lt 0\) et \(f(x)\lt 1\). D’autre part, le minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(1-\text{e}^{-1}\), qui est strictement positif car \(\text{e}^{-1}\lt 1\) ; donc \(f(x)\geq\, 1-\text{e}^{-1}\gt 0\). Finalement \(0\lt f(x)\lt 1\) pour tout \(x\in\,]0\,;\,1[\).

3. a. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\). Or \(f(1)=1\times \ln(1)+1=1\) et \(f^{\prime}(1)=1+\ln(1)=1\). D’où \(y=1\times (x-1)+1\), c’est-à-dire \((T)\,:\,y=x\).

b. La fonction \(f^{\prime}\,:\,x\mapsto 1+\ln(x)\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). Pour \(x\gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\).

c. Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. En particulier, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \((T)\,:\,y=x\), ce qui se traduit par \(f(x)\geq\, x\) pour tout \(x\gt 0\).

4. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(0\lt u_n\lt 1\) ».

Initialisation. Par hypothèse, \(u_0\in\,]0\,;\,1[\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(0\lt u_n\lt 1\). D’après la question 2. c., l’image par \(f\) d’un réel de \(]0\,;\,1[\) est dans \(]0\,;\,1[\). Donc \(f(u_n)\in\,]0\,;\,1[\), c’est-à-dire \(0\lt u_{n+1}\lt 1\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, \(0\lt u_n\lt 1\) pour tout entier naturel \(n\).

b. Pour tout \(n\), \(u_n\gt 0\), donc l’inégalité de la question 3. c. s’applique à \(x=u_n\) : \(f(u_n)\geq\, u_n\), soit \(u_{n+1}\geq\, u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.

c. La suite \((u_n)\) est croissante (question 4. b.) et majorée par 1 (question 4. a.). D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite finie inférieure ou égale à 1.

Exercice 3 :

1. On calcule les coordonnées de trois vecteurs issus de A :

\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix},\quad\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix},\quad\vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}.\]

Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{AB}}\)), donc A, B, C définissent un plan. Les quatre points sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{\text{AD}}=a\vec{\text{AB}}+b\vec{\text{AC}}\), c’est-à-dire :

\[\{\begin{array}{l}3a+3b=-3\\3a=6\\3a-3b=-3\end{array}.\]

La deuxième équation donne \(a=2\). La première donne alors \(b=-1-a=-3\) et la troisième \(b=a+1=3\) : contradiction. Le système n’a pas de solution, donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

2. a. Calculons le produit scalaire \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AC}}=3\times 3+3\times 0+3\times (-3)=9+0-9=0\). Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.

b. On a \(\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{AB}}=(-3)\times 3+6\times 3+(-3)\times 3=-9+18-9=0\) et \(\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{AC}}=(-3)\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3)=-9+9=0\).

Le vecteur \(\vec{\text{AD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan. La droite (AD) est donc perpendiculaire au plan (ABC), et elle le coupe en A.

c. On prend ABC comme base ; la hauteur correspondante est AD puisque (AD) est perpendiculaire à (ABC) en A. On calcule les longueurs :

\[\text{AB}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3},\quad\text{AC}=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},\quad\text{AD}=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.\]

Le triangle ABC étant rectangle en A, son aire vaut \(\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\). D’où

\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\times 3\sqrt{6}=\dfrac{9\times 3\times 6}{6}=27.\]

Le volume du tétraèdre ABCD est 27 unités de volume.

3. a. On a \(\vec{\text{BH}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BD}}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}\). L’égalité \(\vec{\text{BH}}=\alpha\vec{\text{BC}}+\beta\vec{\text{BD}}\) équivaut au système :

\[\{\begin{array}{l}-6\beta=-1\\-3\alpha+3\beta=-1\\-6\alpha-6\beta=-4\end{array}.\]

La première ligne donne \(\beta=\dfrac{1}{6}\). La deuxième devient \(-3\alpha+\dfrac{1}{2}=-1\), soit \(\alpha=\dfrac{1}{2}\). On vérifie la troisième : \(-6\times \dfrac{1}{2}-6\times \dfrac{1}{6}=-3-1=-4\). Le système est compatible : \(\vec{\text{BH}}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{BC}}+\dfrac{1}{6}\vec{\text{BD}}\).

b. D’après a., H appartient au plan (BCD) (les vecteurs \(\vec{\text{BC}}\) et \(\vec{\text{BD}}\) ne sont pas colinéaires puisque B, C, D sont trois points d’un tétraèdre). Il reste à montrer que \(\vec{\text{AH}}\) est normal à ce plan. On a \(\vec{\text{AH}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) et :

\[\vec{\text{AH}}\cdot\vec{\text{BC}}=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6)=0,\qquad\vec{\text{AH}}\cdot\vec{\text{BD}}=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6)=0.\]

Le vecteur \(\vec{\text{AH}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), donc (AH) est perpendiculaire à ce plan. Comme H est dans le plan, H est le projeté orthogonal de A sur (BCD).

c. La distance de A au plan (BCD) est la longueur AH : \(\text{AH}=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3\). La distance cherchée vaut 3 unités de longueur.

4. On calcule le volume du même tétraèdre en prenant cette fois BCD comme base : la hauteur associée est AH. Donc \(V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{\text{BCD}}\times \text{AH}\), d’où

\[\mathcal{A}_{\text{BCD}}=\dfrac{3V}{\text{AH}}=\dfrac{3\times 27}{3}=27.\]

L’aire du triangle BCD vaut 27 unités d’aire.

Exercice 4 :

1. a. On note B l’événement « le jeton tiré est blanc » et N l’événement « le jeton tiré est noir ». L’urne contient 5 jetons dont 3 blancs, et le tirage se fait avec remise : à chaque tirage, \(P(\text{B})=\dfrac{3}{5}\) et \(P(\text{N})=\dfrac{2}{5}\), quelle que soit la couleur tirée avant.

b. On perd 9 € lorsque les deux jetons sont blancs. En suivant la branche B puis B :

\[P(\text{B}\cap\text{B})=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0{,}36.\]

La probabilité de perdre 9 € est \(\dfrac{9}{25}\).

2. a. L’urne contient maintenant \(N+3\) jetons, dont 3 blancs et \(N\) noirs. À chaque tirage, \(P(\text{B})=\dfrac{3}{N+3}\) et \(P(\text{N})=\dfrac{N}{N+3}\). Les valeurs possibles du gain sont \(-9\), \(-1\) et \(5\).

• \(P(X=-9)=(\dfrac{3}{N+3})^2=\dfrac{9}{(N+3)^2}\) (deux blancs) ;
• \(P(X=-1)=(\dfrac{N}{N+3})^2=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}\) (deux noirs) ;
• \(P(X=5)=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}+\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\) (blanc puis noir, ou noir puis blanc).

On vérifie que la somme vaut 1 : \(9+N^2+6N=(N+3)^2\).

b. Le trinôme \(-x^2+30x-81\) a pour discriminant \(\Delta=30^2-4\times (-1)\times (-81)=900-324=576=24^2\). Ses racines sont \(x_1=\dfrac{-30+24}{-2}=3\) et \(x_2=\dfrac{-30-24}{-2}=27\). Son coefficient dominant \(-1\) est négatif, donc le trinôme est strictement positif entre ses racines. L’ensemble des solutions est \(]3\,;\,27[\).

c. Le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance de gain est strictement positive. Or

\[E(X)=-9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}=\dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}.\]

Le dénominateur est strictement positif, donc \(E(X)\gt 0\iff -N^2+30N-81\gt 0\iff N\in\,]3\,;\,27[\) d’après b. Comme \(N\) est un entier, le jeu est favorable au joueur lorsque l’urne contient entre 4 et 26 jetons noirs (bornes comprises).

d. On étudie la fonction \(g\) définie sur \([2\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}\), qui donne \(E(X)\) lorsque \(x=N\). Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\), \(u(x)=-x^2+30x-81\) et \(v(x)=(x+3)^2\) :

\[g^{\prime}(x)=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)(-x^2+30x-81)}{(x+3)^4}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)}{(x+3)^3}.\]

Au numérateur : \(-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162=-36x+252=-36(x-7)\). Donc \(g^{\prime}(x)=\dfrac{-36(x-7)}{(x+3)^3}\) : positive pour \(x\lt 7\), nulle en 7, négative pour \(x\gt 7\). La fonction \(g\) est croissante sur \([2\,;\,7]\) puis décroissante : son maximum est atteint en \(x=7\), qui est un entier.

Le joueur doit demander 7 jetons noirs ; le gain moyen vaut alors \(E(X)=\dfrac{-49+210-81}{100}=0{,}8\) €.

3. Avec \(N=7\), la probabilité qu’un joueur gagne 5 € est \(p=\dfrac{6\times 7}{10^2}=0{,}42\). Soit \(Y\) le nombre de joueurs gagnant 5 € parmi les 10. Les 10 parties sont identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues (gagner 5 € ou non) : \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}42\).

\[P(Y\geq\, 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0{,}42)^{10}=1-0{,}58^{10}\approx 0{,}996.\]

La probabilité qu’au moins un joueur gagne 5 euros est d’environ 0,996.

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