Bac 2022 étrangers : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

De plus, Voici le sujet 1 du bac 2022 des centres étrangers, épreuve de spécialité mathématiques du 11 mai 2022, où le candidat ne traite que trois des quatre exercices. En outre, un QCM de six questions ouvre le sujet sur la fonction logarithme : équation, point d’inflexion, primitive, ensemble de définition, tangente et inéquation. Vient ensuite un tétraèdre ABCD étudié pas à pas, de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) au volume en passant par un projeté orthogonal et l’aire du triangle ABC. Ensuite, le troisième exercice mesure l’écart entre la courbe de l’exponentielle et sa tangente en 0 à l’aide d’une suite, et le dernier porte sur les défauts de traitement de verres de lunettes (tableau croisé, indépendance, loi binomiale). Par ailleurs, le corrigé détaillé de chaque question est rédigé sur une page dédiée.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 1).

En outre, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2022 étrangers : ce que contient le sujet

Avant tout, précisons que ce bac 2022 étrangers reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 aux centres étrangers (jour 1) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la fonction logarithme népérien, la convexité, la géométrie dans l’espace et la loi binomiale. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
Centres étrangers (Arabie saoudite, Bahreïn, Chypre, Éthiopie, Grèce, Israël, Jordanie, Koweït, Qatar, Roumanie et Turquie) — 11 mai 2022 — Sujet 1
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Thème : Fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x) = \ln(1 + x^2)\).

Sur \(\mathbb{R}\), l’équation \(f(x) = 2022\)

a.	b.	c.	d.
n’admet aucune solution.	admet exactement une solution.	admet exactement deux solutions.	admet une infinité de solutions.

2. Soit la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) strictement positif par :

\[g(x) = x\ln(x) – x^2\]

On note \(\mathcal{C}_g\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

a.	b.	c.	d.
La fonction \(g\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\).	La fonction \(g\) est concave sur \(]0\,;\,+\infty[\).	La courbe \(\mathcal{C}_g\) admet exactement un point d’inflexion sur \(]0\,;\,+\infty[\).	La courbe \(\mathcal{C}_g\) admet exactement deux points d’inflexion sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 1 du bac 2022 étrangers : questions 3 à 6

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1\,;\,1[\) par

\[f(x) = \dfrac{x}{1 – x^2}\]

Une primitive de la fonction \(f\) est la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]-1\,;\,1[\) par :

a.	b.	c.	d.
\(g(x) = -\dfrac12\ln(1 – x^2)\)	\(g(x) = \dfrac{1 + x^2}{(1 – x^2)^2}\)	\(g(x) = \dfrac{x^2}{2(x – \dfrac{x^3}{3})}\)	\(g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln(1 – x^2)\)

4. La fonction \(x \longmapsto \ln(-x^2 – x + 6)\) est définie sur

a.	b.	c.	d.
\(]-3\,;\,2[\)	\(]-\infty\,;\,6]\)	\(]0\,;\,+\infty[\)	\(]2\,;\,+\infty[\)

5. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0{,}5\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = x^2 – 4x + 3\ln(2x – 1)\]

Une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 1 est :

a.	b.	c.	d.
\(y = 4x – 7\)	\(y = 2x – 4\)	\(y = -3(x – 1) + 4\)	\(y = 2x – 1\)

6. L’ensemble \(S\) des solutions dans \(\mathbb{R}\) de l’inéquation \(\ln(x + 3) \lt 2\ln(x + 1)\) est :

a.	b.	c.	d.
\(S = ]-\infty\,;\,-2[ \cup ]1\,;\,+\infty[\)	\(S = ]1\,;\,+\infty[\)	\(S = \emptyset\)	\(S = ]-1\,;\,1[\)

Exercice 2 (7 points)

Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points :

\[\text{A}(2\,;\,0\,;\,3),\ \text{B}(0\,;\,2\,;\,1),\ \text{C}(-1\,;\,-1\,;\,2)\ \text{et}\ \text{D}(3\,;\,-3\,;\,-1).\]

1. Calcul d’un angle

a. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Calculer les longueurs AB et AC.

c. À l’aide du produit scalaire \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}}\), déterminer la valeur du cosinus de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) puis donner une valeur approchée de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) au dixième de degré.

2. Calcul d’une aire

a. Déterminer une équation du plan \(\mathcal{P}\) passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).

b. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).

c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c’est-à-dire du point d’intersection de la droite (AB) et du plan \(\mathcal{P}\).

d. Calculer l’aire du triangle ABC.

3. Calcul d’un volume

a. Soit le point F\((1\,;\,-1\,;\,3)\). Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.

b. Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).

c. Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : Fonction exponentielle et suite

Partie A

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[h(x) = \text{e}^x – x\]

1. Déterminer les limites de \(h\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).

2. Étudier les variations de \(h\) et dresser son tableau de variation.

3. En déduire que : si \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0 \lt a \lt b\) alors \(h(a) – h(b) \lt 0\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \text{e}^x\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0.

Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) au voisinage de 0.

Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) de même abscisse.

On s’intéresse aux points d’abscisse \(\dfrac1n\), avec \(n\) entier naturel non nul.

On considère alors la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\) par :

\[u_n = \exp(\dfrac1n) – \dfrac1n – 1\]

2. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul \(n\),

\[u_{n+1} – u_n = h(\dfrac{1}{n+1}) – h(\dfrac1n)\]

où \(h\) est la fonction définie à la partie A.

b. En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à \(10^{-9}\) des premiers termes de la suite \((u_n)\).

\(n\)	\(u_n\)
1	0,718 281 828
2	0,148 721 271
3	0,062 279 092
4	0,034 025 417
5	0,021 402 758
6	0,014 693 746
7	0,010 707 852
8	0,008 148 453
9	0,006 407 958
10	0,005 170 918

Donner la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle l’écart entre \(T\) et \(\mathcal{C}_f\) semble être inférieur à \(10^{-2}\).

Exercice 4 (7 points)

Thème : Probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

Partie A

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.
Ensuite, on désigne par \(A\) l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».
On désigne par \(B\) l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».
On note respectivement \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) les évènements contraires de \(A\) et \(B\).
Une étude a montré que :

la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée \(P(A)\) est égale à 0,1.
la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée \(P(B)\) est égale à 0,2.
la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75.

1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.

	\(A\)	\(\overline{A}\)	Total
\(B\)
\(\overline{B}\)
Total			1

2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.

b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.

c. Les évènements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.

4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de 50 paires de verres dans la production. Par ailleurs, on suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présentent ce défaut.

Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?

Bien travailler ce bac 2022 étrangers

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou la convexité, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article fonction logarithme de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs fréquentes à éviter

Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.

Bac 2022 étrangers : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction logarithme népérien, la convexité et la géométrie dans l’espace, mais aussi la loi binomiale.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 1)

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