Corrigé Polynésie 2022 : sujet de maths (septembre) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet de la session de septembre 2022 du bac de spécialité mathématiques en Polynésie, posé le 30 août 2022, avec l’énoncé complet suivi d’un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Le premier exercice porte sur un test de diagnostic des angines : arbre pondéré, probabilité d’un résultat erroné, puis loi binomiale et taille d’échantillon cherchée à la calculatrice. Ensuite, le deuxième étudie la suite logistique \(u_{n+1}=ku_n(1-u_n)\) pour deux valeurs de \(k\), avec une récurrence, un théorème des gendarmes et une boucle Python. Par ailleurs, le troisième relie \(\dfrac{2\ln x}{x}\) à sa primitive \((\ln x)^2\) : variations, convexité, tangente et inégalité. De plus, le dernier place le triangle CFI dans un cube, avec plan, projeté orthogonal et volume d’une pyramide.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Polynésie (septembre).

Ensuite, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Corrigé Polynésie 2022 : présentation de l’épreuve

Tout d’abord, ce corrigé Polynésie 2022 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Polynésie (septembre), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, le raisonnement par récurrence et l’algorithmique en Python. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 1 (session de septembre)
Polynésie — 30 août 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thème : probabilités

Parmi les angines, un quart nécessite la prise d’antibiotiques, les autres non.

Afin d’éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d’un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :

lorsque l’angine nécessite la prise d’antibiotiques, le test est positif dans 90 % des cas ;
lorsque l’angine ne nécessite pas la prise d’antibiotiques, le test est négatif dans 95 % des cas.

Les probabilités demandées dans la suite de l’exercice seront arrondies à \(10^{-4}\) près si nécessaire.

Partie 1

Un patient atteint d’angine et ayant subi le test est choisi au hasard.

On considère les évènements suivants :

\(A\) : « le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques » ;
\(T\) : « le test est positif » ;
\(\overline{A}\) et \(\overline{T}\) sont respectivement les évènements contraires de \(A\) et \(T\).

1. Calculer \(P(A\cap T)\). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(T)=0{,}2625\).

3. On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu’il soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques.

4. a. Parmi les évènements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test : \(A\cap T\), \(\overline{A}\cap T\), \(A\cap\overline{T}\), \(\overline{A}\cap\overline{T}\).

b. On définit l’évènement \(E\) : « le test fournit un résultat erroné ».

Démontrer que \(p(E)=0{,}0625\).

Partie 2

On sélectionne au hasard un échantillon de \(n\) patients qui ont été testés.

Ensuite, on admet que l’on peut assimiler ce choix d’échantillon à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné.

1. On suppose que \(n=50\).

a. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,\ p)\) de paramètres \(n=50\) et \(p=0{,}0625\).

b. Calculer \(P(X=7)\).

c. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné.

2. Quelle valeur minimale de la taille de l’échantillon faut-il choisir pour que \(P(X\geq\, 10)\) soit supérieure à \(0{,}95\) ?

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : suites, fonctions

Soit \(k\) un nombre réel.

On considère la suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=ku_n(1-u_n).\]

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de \(k\).

Partie 1

Dans cette partie, \(k=1{,}9\) et \(u_0=0{,}1\).

On a donc, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=1{,}9u_n(1-u_n)\).

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(f(x)=1{,}9x(1-x)\).

a. Étudier les variations de \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,1]\).

b. En déduire que si \(x\in[0\,;\,1]\) alors \(f(x)\in[0\,;\,1]\).

2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite \((u_n)\) construits à partir de la courbe \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) et de la droite \(D\) d’équation \(y=x\).

Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\) et sa limite éventuelle.

3. a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[0\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,\dfrac{1}{2}.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

c. Déterminer sa limite.

Partie 2

Dans cette partie, \(k=\dfrac{1}{2}\) et \(u_0=\dfrac{1}{4}\).

On a donc, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n(1-u_n)\) et \(u_0=\dfrac{1}{4}\).

On admet que pour tout entier naturel \(n\) : \(0\leq\, u_n\leq\,(\dfrac{1}{2})^n\).

1. Démontrer que la suite \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

2. On considère la fonction Python algo(p) où p désigne un entier naturel non nul :

def algo(p) :
  u =1/4
  n = 0
  while u > 10**(-p):
    u = 1/2*u*(1 - u)
    n = n+1
  return(n)

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul p, la boucle while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo(p) de renvoyer une valeur.

Exercice 3 (7 points)

Thème : fonctions

Partie 1

Soit \(g\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x)=\dfrac{2\ln x}{x}.\]

1. On note \(g^{\prime}\) la dérivée de \(g\). Démontrer que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[g^{\prime}(x)=\dfrac{2-2\ln x}{x^2}.\]

2. On dispose de ce tableau de variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) :

Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau :

a. la valeur \(\dfrac{2}{\text{e}}\) ;

b. les variations de la fonction \(g\) sur son ensemble de définition ;

c. les limites de la fonction \(g\) aux bornes de son ensemble de définition.

3. En déduire le tableau de signes de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Partie 2

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=[\ln(x)]^2.\]

Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Démontrer que sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), la fonction \(f\) est une primitive de la fonction \(g\).

2. À l’aide de la partie 1, étudier :

a. la convexité de la fonction \(f\) ;

b. les variations de la fonction \(f\).

3. a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) au point d’abscisse e.

b. En déduire que, pour tout réel \(x\) dans \(]0\,;\,\text{e}]\) :

\[[\ln(x)]^2\geq\,\dfrac{2}{\text{e}}x-1.\]

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube ABCDEFGH.

On note I le milieu du segment [EH] et on considère le triangle CFI.

L’espace est muni du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\) et on admet que le point I a pour coordonnées \((0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1)\) dans ce repère.

1. a. Donner sans justifier les coordonnées des points C, F et G.

b. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) est normal au plan (CFI).

c. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (CFI) est : \(x+2y+2z-3=0\).

2. On note \(d\) la droite passant par G et orthogonale au plan (CFI).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\).

b. Démontrer que le point \(\text{K}(\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{5}{9})\) est le projeté orthogonal du point G sur le plan (CFI).

c. Déduire des questions précédentes que la distance du point G au plan (CFI) est égale à \(\dfrac{2}{3}\).

3. On considère la pyramide GCFI.

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par la formule

\[V=\dfrac{1}{3}\times b\times h,\]

où \(b\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée à cette base.

a. Démontrer que le volume de la pyramide GCFI est égal à \(\dfrac{1}{6}\), exprimé en unité de volume.

b. En déduire l’aire du triangle CFI, en unité d’aire.

Corrigé Polynésie 2022 : méthode pour bien s’entraîner

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les erreurs qui coûtent des points

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.

Corrigé Polynésie 2022 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et le raisonnement par récurrence, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Polynésie (septembre)

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