Vous consultez ici le bac maths 2024, avec l’énoncé intégral des exercices.
Voici le sujet n° 1 de métropole de l’épreuve de spécialité mathématiques passée en juin 2024 par les élèves de terminale, suivi d’un corrigé détaillé rédigé question par question. Quatre exercices indépendants couvrent l’essentiel du programme en quatre heures, calculatrice autorisée.
Le premier propose quatre affirmations vrai ou faux à justifier : asymptote horizontale, équation différentielle, théorème des gendarmes et suites monotones encadrées. Le deuxième est consacré aux probabilités : arbre pondéré, formule des probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, puis somme de variables aléatoires indépendantes et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le troisième relève de la géométrie dans l’espace : vecteur normal, équation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite, projeté orthogonal et volume d’un tétraèdre. Le dernier étudie une fonction avec le logarithme népérien (limites, convexité, théorème des valeurs intermédiaires) avant un calcul d’aire par intégration par parties.
Pour tirer profit de cette annale du bac de maths 2024, traite chaque exercice en temps limité, puis confronte ta copie à la correction proposée en bas de page : les justifications attendues par le correcteur y figurent à chaque étape.
Bac maths 2024 : présentation de l’épreuve
D’abord, ce bac maths 2024 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en France, avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 5, 5 et 6 points. De plus, on y mobilise surtout les équations différentielles, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
FRANCE 2024
MATHÉMATIQUES
Durée de l’épreuve : 4 heures
En outre, l’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.
Exercice 1 (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque
réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=5x\mathrm{e}^{-x}\).
On note \(C_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe \(C_f\).
Affirmation 2 :
La fonction \(f\) est solution sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \((E)\,:\,y^{\prime}+y=5\mathrm{e}^{-x}\).
2. On considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\), telles que, pour tout entier naturel \(n\) :
\(u_n\leq\, v_n\leq\, w_n\).
De plus, la suite \((u_n)\) converge vers −1 et la suite \((w_n)\) converge vers 1.
Affirmation 3 :
La suite \((v_n)\) converge vers un nombre réel \(\ell\) appartenant à l’intervalle [−1 ; 1].
On suppose de plus que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((w_n)\) est décroissante.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel \(n\), on a alors : \(u_0\leq\, v_n\leq\, w_0\).
Exercice 2 (5 points)
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service
clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur.
Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent 60 % des ventes, les achats en magasin
d’électroménager 30 % des ventes et ceux en grandes surfaces 10 % des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle
est de :
- 75 % pour les clients sur internet ;
- 90 % pour les clients en magasin d’électroménager ;
- 80 % pour les clients en grande surface.
On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les événements suivants :
- I : « le client a effectué son achat sur internet » ;
- M : « le client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ;
- G : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
- S : « le client est satisfait du service clientèle ».
Si A est un événement quelconque, on notera \(\overline{A}\) son événement contraire et \(P(A)\) sa probabilité.
Exercice 2 du bac maths 2024 : questions 1 à 6
1. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
3. Démontrer que \(P(S)=0{,}8\).
4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à \(10^{-3}\) près.
5. Pour réaliser l’étude, l’agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise.
On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Déterminer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\) près, qu’au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de
clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas
satisfait soit supérieure à 0,99.
Exercice 2 du bac maths 2024 : question 7
7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls achats sur internet.
Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le
temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire \(T\) égale à
la somme de deux variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\).
La variable aléatoire \(T_1\) modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement
du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution.
La variable aléatoire \(T_2\) modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement
du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.
On admet que les variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes, et on donne :
• L’espérance \(E(T_1)=4\) et la variance \(V(T_1)=2\) ;
• L’espérance \(E(T_2)=3\) et la variance \(V(T_2)=1\).
a. Déterminer l’espérance \(E(T)\) et la variance \(V(T)\) de la variable aléatoire \(T\).
b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la
probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande
est supérieure ou égale à \(\dfrac{2}{3}\).
Exercice 3 (5 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
On considère les points A (5 ; 5 ; 0), B (0 ; 5 ; 0 ), C (0 ; 0 ; 10) et D (0 ; 0 ; \(-\dfrac{5}{2}\)).
1.
a. Montrer que \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((CAD)\).
b. En déduire que le plan \((CAD)\) a pour équation cartésienne : \(x-y=0\).
2. On considère la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique :
\(\begin{cases}x=\dfrac{5}{2}t\\y=5-\dfrac{5}{2}t\\z=0\end{cases}\) où \(t\in\mathbb{R}\).
a. On admet que la droite \(\Delta\) et le plan \((CAD)\) sont sécants en un point H.
Justifier que les coordonnées de H sont \((\dfrac{5}{2}\,;\dfrac{5}{2}\,;0)\).
b. Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan \((CAD)\).
3.
a. Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
b. En déduire que l’aire du triangle ABH est égale à \(\dfrac{25}{4}\).
4.
a. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.
b. En déduire le volume du tétraèdre ABCH.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : \(V=\dfrac{1}{3}bh\) où \(b\) est
l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.
5. On admet que le triangle ABC est rectangle en B.
Déduire des questions précédentes la distance du point H au plan \((ABC)\).
Exercice 4 (6 points)
Partie A : étude de la fonction \(f\).
La fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\) par :
\(f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln x\), où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), on note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.
1.
a. Déterminer, en justifiant, les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
b. Montrer que pour tout \(x\) appartenant à \(]0\,;+\infty[\), on a : \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x+1}{2x}\).
c. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\).
d. Étudier la convexité de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\).
2.
a. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet dans \(]0\,;+\infty[\) une solution unique qu’on
notera \(\alpha\) et justifier que \(\alpha\) appartient à l’intervalle [1 ; 2].
b. Déterminer le signe de \(f(x)\) pour \(x\in\,]0\,;+\infty[\).
c. Montrer que \(\ln(\alpha)=2(2-\alpha)\).
Partie B : étude de la fonction g.
La fonction \(g\) est définie sur ]0 ; 1] par \(g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln x\).
On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur ]0 ; 1] et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.
1. Calculer \(g^{\prime}(x)\) pour \(x\in\,]0\,;1]\) puis vérifier que \(g^{\prime}(x)=xf(\dfrac{1}{x})\).
2.
a. Justifier que pour \(x\) appartenant à l’intervalle \(]0\,;\dfrac{1}{\alpha}[\), on a \(f(\dfrac{1}{x})\gt 0\).
b. On admet le tableau de signes suivant :
| \(x\) | 0 | \(\dfrac{1}{\alpha}\) | 1 | ||
| Signe de \(f(\dfrac{1}{x})\) | + | 0 | − |
En déduire le tableau de variations de \(g\) sur l’intervalle ]0 ; 1].
Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C : un calcul d’aire.
On a représenté sur le graphique ci-dessous :
• La courbe \(C_g\) de la fonction \(g\) ;
• La parabole \((P)\) d’équation \(y=-\dfrac{7}{8}x^2+x\) sur l’intervalle ]0 ; 1].
Ensuite, on souhaite calculer l’aire \(A\) du domaine hachuré compris entre les courbes \(C_g\) et \((P)\),
et les droites d’équations \(x=\dfrac{1}{\alpha}\) et \(x=1\).
On rappelle que \(\ln(\alpha)=2(2-\alpha)\).
1.
a. Justifier la position relative des courbes \(C_g\) et \((P)\) sur l’intervalle ]0 ; 1].
b. Démontrer l’égalité :
\(\displaystyle\int_{\frac{1}{\alpha}}^{1}x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}\).
2. En déduire l’expression en fonction de \(\alpha\) de l’aire \(A\).
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en France (sujet 1)
Bac maths 2024 : méthode pour bien s’entraîner
Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les équations différentielles ou les probabilités conditionnelles. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur équations différentielles.
Les erreurs qui coûtent des points
- Pour une équation différentielle, n’oubliez pas la solution particulière avant d’écrire la forme générale, puis utilisez la condition initiale pour fixer la constante.
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Bac maths 2024 : questions fréquentes
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les équations différentielles, les probabilités conditionnelles et la loi binomiale, mais aussi l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
