Corrigé du bac S de maths 2012 en Nouvelle-Calédonie (mars) à télécharger en PDF

Corrigé Calédonie 2012 : la correction en un coup d’œil

D’abord, précisons que ce corrigé Calédonie 2012 concerne le bac S de mathématiques 2012 en Nouvelle-Calédonie (mars), avec une rédaction complète des réponses. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les nombres complexes, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et les équations différentielles. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Nombres complexes et géométrie, 5 points, commun à tous les candidats

Partie A

On étudie le polynôme \( P(z)=z^3-(2+\text{i}\sqrt{2})z^2+2(1+\text{i}\sqrt{2})z-2\text{i}\sqrt{2} \) défini sur \( \mathbb{C} \).

1. On doit vérifier que \( z_0=\text{i}\sqrt{2} \) est une racine de \( P \).

Calculons les puissances : \( (\text{i}\sqrt{2})^2=\text{i}^2\times 2=-2 \) et \( (\text{i}\sqrt{2})^3=-2\times \text{i}\sqrt{2}=-2\text{i}\sqrt{2} \). Donc :

\[ P(\text{i}\sqrt{2})=-2\text{i}\sqrt{2}-(2+\text{i}\sqrt{2})(-2)+2(1+\text{i}\sqrt{2})\text{i}\sqrt{2}-2\text{i}\sqrt{2} \]
\[ =-2\text{i}\sqrt{2}+4+2\text{i}\sqrt{2}+2\text{i}\sqrt{2}-4-2\text{i}\sqrt{2}=0. \]

\( \text{i}\sqrt{2} \) est donc bien solution de l’équation \( P(z)=0 \).

2. a. On cherche deux réels \( a \) et \( b \) tels que \( P(z)=(z-\text{i}\sqrt{2})(z^2+az+b) \).

En développant :

\[ (z-\text{i}\sqrt{2})(z^2+az+b)=z^3+(a-\text{i}\sqrt{2})z^2+(b-a\text{i}\sqrt{2})z-b\text{i}\sqrt{2}. \]

On identifie avec les coefficients de \( P \) :

• terme constant : \( -b\text{i}\sqrt{2}=-2\text{i}\sqrt{2} \), donc \( b=2 \) ;
• coefficient de \( z^2 \) : \( a-\text{i}\sqrt{2}=-2-\text{i}\sqrt{2} \), donc \( a=-2 \) ;
• vérification sur le coefficient de \( z \) : \( b-a\text{i}\sqrt{2}=2+2\text{i}\sqrt{2} \), ce qui est bien \( 2(1+\text{i}\sqrt{2}) \).

Donc \( a=-2 \), \( b=2 \) et \( P(z)=(z-\text{i}\sqrt{2})(z^2-2z+2) \).

2. b. On résout \( P(z)=0 \) dans \( \mathbb{C} \). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

• \( z-\text{i}\sqrt{2}=0 \) donne \( z=\text{i}\sqrt{2} \) ;
• \( z^2-2z+2=0 \) : le discriminant vaut \( \Delta=(-2)^2-4\times 1\times 2=-4=(2\text{i})^2 \lt 0 \), d’où deux solutions complexes conjuguées \( z=\dfrac{2+2\text{i}}{2}=1+\text{i} \) et \( z=1-\text{i} \).

L’ensemble des solutions est \( S=\{\text{i}\sqrt{2}\,;\,1+\text{i}\,;\,1-\text{i}\} \).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \( (O\,;\,\vec{u},\vec{v}) \). On considère les points A, B, J, K d’affixes \( z_A=1+\text{i} \), \( z_B=1-\text{i} \), \( z_J=\text{i}\sqrt{2} \) et \( z_K=\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}} \).

1. On place les points. Pour K, on écrit \( z_K=\cos\dfrac{3\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}71+0{,}71\,\text{i} \). La figure ci-dessous est complétée avec les points L, D et C des questions suivantes.

2. L est le symétrique de J par rapport à K : on doit montrer que \( z_L=-\sqrt{2} \).

K est alors le milieu de [JL], donc \( z_K=\dfrac{z_J+z_L}{2} \), soit \( z_L=2z_K-z_J \) :

\[ z_L=2(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2})-\text{i}\sqrt{2}=-\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}=-\sqrt{2}. \]

L’affixe de L est bien \( -\sqrt{2} \).

3. On montre que A, B, J et L sont sur un même cercle. Calculons leurs distances à l’origine O :

• \( OA=|1+\text{i}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) ;
• \( OB=|1-\text{i}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \) ;
• \( OJ=|\text{i}\sqrt{2}|=\sqrt{2} \) ;
• \( OL=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2} \).

Les quatre points sont à la distance \( \sqrt{2} \) de O : ils appartiennent au cercle de centre O et de rayon \( \sqrt{2} \).

4. a. D a pour affixe \( z_D=-1+\text{i} \) et \( r \) est la rotation de centre O qui envoie J sur D. On cherche son angle.

On a \( |z_D|=\sqrt{2}=|z_J| \) (condition nécessaire pour qu’une rotation de centre O envoie J sur D), et :

\[ \dfrac{z_D}{z_J}=\dfrac{-1+\text{i}}{\text{i}\sqrt{2}}=\dfrac{(-1+\text{i})(-\text{i})}{\sqrt{2}}=\dfrac{\text{i}+1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}. \]

Autrement dit, un argument de \( z_J \) est \( \dfrac{\pi}{2} \), un argument de \( z_D \) est \( \dfrac{3\pi}{4} \), et \( \dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4} \).

Exercice 1 du corrigé Calédonie 2012, partie B : questions 4 à 5

La rotation \( r \) a pour angle \( \dfrac{\pi}{4} \) : son écriture complexe est \( z^{\prime}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z \).

4. b. C est l’image de L par \( r \) :

\[ z_C=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z_L=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2})(-\sqrt{2})=-\dfrac{2}{2}-\text{i}\dfrac{2}{2}=-1-\text{i}. \]

L’affixe de C est \( z_C=-1-\text{i} \).

5. Nature du quadrilatère ABCD.

• \( z_A+z_C=(1+\text{i})+(-1-\text{i})=0 \) et \( z_B+z_D=(1-\text{i})+(-1+\text{i})=0 \) : les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O, donc ABCD est un parallélogramme.
• \( AC=|z_C-z_A|=|-2-2\text{i}|=2\sqrt{2} \) et \( BD=|z_D-z_B|=|-2+2\text{i}|=2\sqrt{2} \) : les diagonales ont la même longueur, c’est donc un rectangle.
• \( \dfrac{z_D-z_B}{z_C-z_A}=\dfrac{-2+2\text{i}}{-2-2\text{i}}=\dfrac{-1+\text{i}}{-1-\text{i}}=\dfrac{(-1+\text{i})(-1+\text{i})}{(-1)^2+1^2}=\dfrac{-2\text{i}}{2}=-\text{i} \), nombre imaginaire pur : les diagonales sont perpendiculaires, c’est donc aussi un losange.

Un rectangle qui est aussi un losange est un carré : ABCD est un carré (de côté \( AB=|z_B-z_A|=|-2\text{i}|=2 \)), inscrit dans le cercle de la question 3.

Exercice 2 :

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, 4 points, commun à tous les candidats

On lance un dé équilibré à six faces. Si l’on obtient 1, on tire une boule dans l’urne \( U_1 \) (3 rouges, 1 noire) ; sinon, on tire dans l’urne \( U_2 \) (3 rouges, 2 noires). On note A l’événement « obtenir 1 au dé » et B « obtenir une boule noire ».

1. a. Construction de l’arbre pondéré.

\( P(A)=\dfrac{1}{6} \) et \( P(\overline{A})=\dfrac{5}{6} \). Dans \( U_1 \), il y a 1 boule noire sur 4 : \( P_A(B)=\dfrac{1}{4} \). Dans \( U_2 \), il y a 2 boules noires sur 5 : \( P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{2}{5} \).

1. b. On montre que \( P(B)=\dfrac{3}{8} \).

Les événements A et \( \overline{A} \) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{24}+\dfrac{8}{24}=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}. \]

La probabilité d’obtenir une boule noire est bien \( \dfrac{3}{8}=0{,}375 \).

1. c. Sachant que la boule est noire, on cherche la probabilité d’avoir obtenu 1 au dé, c’est-à-dire \( P_B(A) \) :

\[ P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{24}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{1}{24}\times \dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{9}. \]

\( P_B(A)=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}111 \).

Exercice 2 du corrigé Calédonie 2012 : question 2

2. Une partie est gagnée si la boule tirée est noire. On joue dix parties indépendantes (la boule est remise dans son urne après chaque partie) et X est le nombre de parties gagnées.

On répète 10 fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont le succès « la partie est gagnée » a pour probabilité \( p=\dfrac{3}{8} \). X suit donc la loi binomiale de paramètres \( n=10 \) et \( p=\dfrac{3}{8} \) : pour tout entier \( k \) entre 0 et 10,

\[ P(X=k)=\binom\,{10}{k}(\dfrac{3}{8})^k(\dfrac{5}{8})^{10-k}. \]

2. a. Probabilité de gagner exactement trois parties, arrondie au millième :

\[ P(X=3)=\binom\,{10}{3}(\dfrac{3}{8})^3(\dfrac{5}{8})^{7}=120\times \dfrac{27}{512}\times (\dfrac{5}{8})^{7}\approx 0{,}2357. \]

\( P(X=3)\approx 0{,}236 \).

2. b. Probabilité de gagner au moins une partie. On passe par l’événement contraire « ne gagner aucune partie » :

\[ P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-(\dfrac{5}{8})^{10}\approx 1-0{,}0091=0{,}9909. \]

\( P(X\geq\, 1)\approx 0{,}991 \).

2. c. L’énoncé donne les valeurs de \( P(X\lt k) \) pour \( k \) allant de 1 à 10. On cherche à partir de quelle valeur de l’entier \( N \) la probabilité de l’événement « gagner au moins \( N \) parties » devient inférieure à \( \dfrac{1}{10} \).

L’événement « gagner au moins \( N \) parties » est le contraire de « gagner strictement moins de \( N \) parties », donc :

\[ P(X\geq\, N)=1-P(X\lt N). \]

Ainsi \( P(X\geq\, N)\lt 0{,}1 \) équivaut à \( P(X\lt N)\gt 0{,}9 \). On lit dans le tableau :

\( N \)	5	6	7	8
\( P(X\lt N) \)	0,6943	0,8725	0,9616	0,9922
\( P(X\geq\, N) \)	0,3057	0,1275	0,0384	0,0078

La suite \( P(X\lt N) \) est croissante ; elle dépasse 0,9 pour la première fois pour \( N=7 \) (pour \( N=6 \), on a seulement \( P(X\geq\, 6)\approx 0{,}128\gt 0{,}1 \)).

C’est à partir de \( N=7 \) que la probabilité de gagner au moins \( N \) parties est inférieure à \( \dfrac{1}{10} \).

Exercice 3 :

Vrai ou faux justifié, 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Proposition 1 : \( (a_n) \) est une suite non constante de réels et \( u_n=\sin(a_n) \). La proposition affirme qu’on peut choisir \( (a_n) \) de sorte que \( (u_n) \) converge vers \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Prenons par exemple \( a_n=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{n+1} \) pour tout entier naturel \( n \). Cette suite n’est pas constante (elle est strictement décroissante) et elle converge vers \( \dfrac{\pi}{4} \). La fonction sinus étant continue en \( \dfrac{\pi}{4} \), la suite \( u_n=\sin(a_n) \) converge vers \( \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

La proposition 1 est VRAIE. (Autre exemple encore plus simple : \( a_n=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi \), non constante, pour laquelle \( u_n=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) pour tout \( n \).)

2. Proposition 2 : les points \( M_n \) ont pour affixes \( z_n=\text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}} \) ; on affirme que O, \( M_1 \) et \( M_{20} \) sont alignés.

On a \( z_1=\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} \), d’argument \( \dfrac{2\pi}{3} \), et \( z_{20}=\text{e}^{\frac{40\text{i}\pi}{3}} \). Or \( \dfrac{40\pi}{3}=12\pi+\dfrac{4\pi}{3} \), donc \( z_{20}=\text{e}^{\frac{4\text{i}\pi}{3}} \), d’argument \( \dfrac{4\pi}{3} \).

Les points O, \( M_1 \), \( M_{20} \) sont alignés si et seulement si les arguments de \( z_1 \) et \( z_{20} \) diffèrent d’un multiple de \( \pi \). Ici \( \dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3} \), qui n’est pas un multiple de \( \pi \). On peut aussi le voir avec \( \dfrac{z_{20}}{z_1}=\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \), qui n’est pas réel.

La proposition 2 est FAUSSE.

Exercice 3 du corrigé Calédonie 2012 : question 3

3. Proposition 3 : trois courbes représentent (dans le désordre) une fonction \( f \), sa dérivée \( f^{\prime} \) et sa primitive \( F \) qui s’annule en 0. On affirme que la courbe 3 représente \( f \).

D’après les graduations de l’énoncé, la courbe 1 est celle de \( x\mapsto -4\sin(2x) \), la courbe 2 celle de \( x\mapsto 2\cos(2x) \) et la courbe 3 celle de \( x\mapsto \sin(2x) \).

Supposons que la courbe 3 représente \( f \). La primitive \( F \) vérifie \( F(0)=0 \) : ce ne peut pas être la courbe 2, qui passe par le point de coordonnées \( (0\,;\,2) \). Ce serait donc la courbe 1. Mais alors on devrait avoir \( F^{\prime}=f \). Or en \( x=\dfrac{\pi}{4} \), la courbe 1 atteint un minimum (elle vaut \( -4 \)) : sa tangente y est horizontale et \( F^{\prime}(\dfrac{\pi}{4})=0 \), alors que la courbe 3 donne \( f(\dfrac{\pi}{4})=1\neq 0 \). C’est contradictoire.

Le bon ordre est en fait : \( F \) = courbe 3 (\( \sin 2x \), nulle en 0), \( f=F^{\prime} \) = courbe 2 (\( 2\cos 2x \)) et \( f^{\prime} \) = courbe 1 (\( -4\sin 2x \)).

La proposition 3 est FAUSSE : la courbe 3 représente la primitive \( F \), pas \( f \).

Exercice 3 du corrigé Calédonie 2012 : questions 4 à 5

4. Proposition 4 : A a pour coordonnées \( (0\,;\,0\,;\,3) \) et le plan \( \mathcal{P} \) a pour équation \( 2x-y+z=0 \). On affirme que la sphère de centre A et de rayon 2 coupe le plan \( \mathcal{P} \).

La sphère et le plan sont sécants si et seulement si la distance de A au plan est strictement inférieure au rayon. Par la formule de la distance d’un point à un plan :

\[ d(A\,;\,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times 0-0+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}22. \]

Comme \( \dfrac{\sqrt{6}}{2}\lt 2 \) (car \( \dfrac{6}{4}\lt 4 \)), le plan coupe la sphère selon un cercle.

La proposition 4 est VRAIE.

5. Proposition 5 : on considère l’équation différentielle \( (E) : y^{\prime}+2y=4 \) ; on affirme que la solution vérifiant \( y(0)=0 \) est représentée par la courbe \( C_4 \).

La fonction constante \( x\mapsto 2 \) est une solution particulière de \( (E) \) puisque \( 0+2\times 2=4 \). Les solutions de l’équation homogène \( y^{\prime}+2y=0 \) sont les fonctions \( x\mapsto K\text{e}^{-2x} \), \( K\in\mathbb{R} \). Les solutions de \( (E) \) sont donc les fonctions \( x\mapsto 2+K\text{e}^{-2x} \).

La condition \( y(0)=0 \) donne \( 2+K=0 \), soit \( K=-2 \). La solution cherchée est :

\[ y(x)=2-2\text{e}^{-2x}. \]

Cette fonction s’annule en 0, est strictement croissante (sa dérivée \( 4\text{e}^{-2x} \) est positive), tend vers \( 2 \) en \( +\infty \) et vers \( -\infty \) en \( -\infty \). Parmi les quatre courbes, c’est \( C_3 \) qui a ces propriétés. La courbe \( C_4 \), elle, reste en dessous de \( y=1{,}1 \) sur la figure et ne peut donc pas approcher la droite d’équation \( y=2 \) ; de plus, en \( x=1 \), la solution vaut \( 2-2\text{e}^{-2}\approx 1{,}73 \), valeur bien supérieure à celle lue sur \( C_4 \).

La proposition 5 est FAUSSE : la solution est représentée par la courbe \( C_3 \).

Exercice 4 :

Intégration, étude de fonction et optimisation d’aire, 6 points, commun à tous les candidats

On note \( \mathcal{C} \) la courbe de \( f(x)=x\text{e}^x \) sur \( [0\,;\,1] \). Pour \( a \) dans \( [0\,;\,1] \), A et B sont les points de \( \mathcal{C} \) d’abscisses \( a \) et 1, et \( A^{\prime}(a\,;\,0) \), \( B^{\prime}(1\,;\,0) \). On cherche \( a \) pour que l’aire de la partie comprise entre les segments [OA], [AB] et la courbe \( \mathcal{C} \) soit minimale.

Partie A

1. On montre que \( \displaystyle\int_0^1 x\text{e}^x\,\text{d}x=1 \) par une intégration par parties.

On pose \( u(x)=x \) et \( v^{\prime}(x)=\text{e}^x \), d’où \( u^{\prime}(x)=1 \) et \( v(x)=\text{e}^x \). Ces fonctions sont dérivables et leurs dérivées continues sur \( [0\,;\,1] \), donc :

\[ \int_0^1 x\text{e}^x\,\text{d}x=\Big[x\text{e}^x\Big]_0^1-\int_0^1 \text{e}^x\,\text{d}x=(1\times \text{e}-0)-\Big[\text{e}^x\Big]_0^1=\text{e}-(\text{e}-1)=1. \]

On a bien \( \displaystyle\int_0^1 x\text{e}^x\,\text{d}x=1 \).

2. a. Aire du triangle \( OAA^{\prime} \) et aire du trapèze \( ABB^{\prime}A^{\prime} \).

Le triangle \( OAA^{\prime} \) est rectangle en \( A^{\prime} \), de base \( OA^{\prime}=a \) et de hauteur \( AA^{\prime}=f(a)=a\text{e}^a \) :

\[ \mathcal{A}(OAA^{\prime})=\dfrac{1}{2}\times a\times a\text{e}^a=\dfrac{1}{2}a^2\text{e}^a. \]

Le trapèze \( ABB^{\prime}A^{\prime} \) a pour bases parallèles \( AA^{\prime}=a\text{e}^a \) et \( BB^{\prime}=f(1)=\text{e} \), et pour hauteur \( A^{\prime}B^{\prime}=1-a \) :

\[ \mathcal{A}(ABB^{\prime}A^{\prime})=\dfrac{(a\text{e}^a+\text{e})(1-a)}{2}=\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a^2\text{e}^a+\text{e}-a\text{e}). \]

On retrouve bien \( \dfrac{1}{2}(-a^2\text{e}^a+a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e}) \).

2. b. On en déduit l’aire \( \mathcal{A}(a) \) de la partie hachurée.

La fonction \( f \) est convexe sur \( [0\,;\,1] \) (on a \( f^{\prime\prime}(x)=(x+2)\text{e}^x\gt 0 \)), donc ses cordes [OA] et [AB] sont situées au-dessus de la courbe. La réunion du triangle et du trapèze est le domaine situé sous la ligne brisée OAB ; en lui retirant le domaine situé sous la courbe \( \mathcal{C} \) entre \( x=0 \) et \( x=1 \) (d’aire \( \displaystyle\int_0^1 f(x)\,\text{d}x=1 \) puisque \( f\geq\, 0 \)), il reste exactement la partie hachurée :

\[ \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}a^2\text{e}^a+\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a^2\text{e}^a+\text{e}-a\text{e})-1=\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e})-1. \]

L’aire hachurée vaut \( \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}(a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e}-2) \) unités d’aire.

Partie B

On étudie \( g(x)=x(\text{e}^x-\text{e})+\text{e}-2 \) sur \( [0\,;\,+\infty[ \). On remarque que \( g(a)=a\text{e}^a-a\text{e}+\text{e}-2 \), donc \( \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}g(a) \).

1. Calcul de \( g^{\prime} \) et de \( g^{\prime\prime} \). La fonction \( g \) est dérivable sur \( [0\,;\,+\infty[ \) ; avec la dérivée d’un produit :

\[ g^{\prime}(x)=1\times (\text{e}^x-\text{e})+x\,\text{e}^x=(1+x)\text{e}^x-\text{e}. \]

En dérivant à nouveau : \( g^{\prime\prime}(x)=1\times \text{e}^x+(1+x)\text{e}^x=(2+x)\text{e}^x \).

On a bien \( g^{\prime}(x)=(1+x)\text{e}^x-\text{e} \) et \( g^{\prime\prime}(x)=(2+x)\text{e}^x \).

2. Variations de \( g^{\prime} \). Pour tout \( x\geq\, 0 \), \( \text{e}^x\gt 0 \) et \( 2+x\geq\, 2\gt 0 \), donc \( g^{\prime\prime}(x)\gt 0 \).

La fonction \( g^{\prime} \) est strictement croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \).

3. On montre que \( g^{\prime}(x)=0 \) a une unique solution \( \alpha \) dans \( [0\,;\,+\infty[ \).

• \( g^{\prime}(0)=1-\text{e}\lt 0 \) ;
• \( g^{\prime}(1)=2\text{e}-\text{e}=\text{e}\gt 0 \) ;
• pour \( x\geq\, 1 \), \( g^{\prime}(x)\geq\, g^{\prime}(1)\gt 0 \) par croissance, donc \( g^{\prime} \) ne s’annule pas sur \( [1\,;\,+\infty[ \).

Sur \( [0\,;\,1] \), la fonction \( g^{\prime} \) est continue et strictement croissante, et 0 est compris entre \( g^{\prime}(0) \) et \( g^{\prime}(1) \) : d’après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l’équation \( g^{\prime}(x)=0 \) admet une unique solution \( \alpha \) dans \( [0\,;\,1] \), donc dans \( [0\,;\,+\infty[ \).

À la calculatrice : \( g^{\prime}(0{,}5)=1{,}5\sqrt{\text{e}}-\text{e}\approx -0{,}245\lt 0 \) et \( g^{\prime}(0{,}6)=1{,}6\,\text{e}^{0{,}6}-\text{e}\approx 0{,}197\gt 0 \), donc \( 0{,}5\lt\alpha\lt 0{,}6 \). Plus précisément \( \alpha\approx 0{,}557 \).

\( \alpha\approx 0{,}6 \) à \( 10^{-1} \) près.

4. Variations de \( g \). Comme \( g^{\prime} \) est strictement croissante et s’annule en \( \alpha \), on a \( g^{\prime}(x)\lt 0 \) sur \( [0\,;\,\alpha[ \) et \( g^{\prime}(x)\gt 0 \) sur \( ]\alpha\,;\,+\infty[ \).

\( x \)	\( 0 \)		\( \alpha \)		\( +\infty \)
signe de \( g^{\prime}(x) \)		\( – \)	0	\( + \)
variations de \( g \)	\( \text{e}-2 \)	décroissante	\( g(\alpha) \)	croissante

\( g \) est strictement décroissante sur \( [0\,;\,\alpha] \) et strictement croissante sur \( [\alpha\,;\,+\infty[ \) ; elle admet un minimum en \( \alpha \).

Exercice 4, partie B : question 5

5. Conclusion : l’aire hachurée est minimale pour une valeur de \( a \) à préciser.

D’après la partie A, pour tout \( a\in[0\,;\,1] \), l’aire hachurée vaut \( \mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}g(a) \). D’après la question 4, \( g \) atteint son minimum sur \( [0\,;\,+\infty[ \) en \( \alpha \), et \( \alpha \) appartient à \( [0\,;\,1] \) : c’est donc aussi son minimum sur \( [0\,;\,1] \). Ainsi \( \mathcal{A} \) est minimale pour \( a=\alpha \).

L’aire hachurée est minimale pour \( a=\alpha\approx 0{,}6 \) (plus précisément \( \alpha\approx 0{,}557 \)), et cette aire minimale vaut \( \dfrac{1}{2}g(\alpha)\approx 0{,}088 \) unité d’aire.

Corrigé Calédonie 2012 : conseils de révision

Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les nombres complexes et les probabilités conditionnelles. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à nombres complexes propose un rappel complet.

Points de vigilance

• Avec les nombres complexes, ne confondez pas module et argument, et donnez l’argument dans l’intervalle demandé.
• En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
• Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.

Corrigé Calédonie 2012 : vos questions

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les nombres complexes, les probabilités conditionnelles et la loi binomiale, mais aussi les équations différentielles.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.