Bac de maths 2022 en Asie (jour 2) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Jour 2
Asie — 18 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\) de l’espace, on considère les points

\[\text{A}(-3~;~1~;~3),\ \text{B}(2~;~2~;~3),\ \text{C}(1~;~7~;~-1),\ \text{D}(-4~;~6~;~-1)\ \text{et K}(-3~;~14~;~14).\]

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{DC}}\) et \(\vec{\text{AD}}\).

b. Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

c. Calculer l’aire du rectangle ABCD.

2. a. Justifier que les points A, B et D définissent un plan.

b. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\) est un vecteur normal au plan (ABD).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABD).

3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K.

b. Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).

c. Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut \(\sqrt{273}\).

4. Calculer le volume \(V\) de la pyramide KABCD.

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par la formule :

\[V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}.\]

Exercice 2 (7 points)

Principaux domaines abordés : Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction \(f\) et de sa fonction dérivée, notée \(f^{\prime}\), toutes deux définies sur \(]3~;~+\infty[\).

1. Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.

2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation \(f(x)=3\).

3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction \(f\).

Partie B

1. Justifier que la quantité \(\ln(x^2-x-6)\) est bien définie pour les valeurs \(x\) de l’intervalle \(]3~;~+\infty[\), que l’on nommera \(I\) dans la suite.

2. On admet que la fonction \(f\) de la Partie A est définie par \(f(x)=\ln(x^2-x-6)\) sur \(I\).

Calculer les limites de la fonction \(f\) aux deux bornes de l’intervalle \(I\).

En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) sur \(I\).

3. a. Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) appartenant à \(I\).

b. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(I\).

Dresser le tableau des variations de la fonction \(f\) en y faisant figurer les limites aux bornes de \(I\).

4. a. Justifier que l’équation \(f(x)=3\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \(]5~;~6[\).

b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

5. a. Justifier que \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}\).

b. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(I\).

Exercice 3 (7 points)

Principaux domaines abordés : Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie 1

Julien doit prendre l’avion ; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.

S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.

Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.

Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de 0,8.

S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées ; il a alors une probabilité de 0,5 d’être à l’heure à l’aéroport.

On notera :

• \(B\) l’évènement : « Julien réussit à prendre son bus » ;
• \(V\) l’évènement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».

1. Donner la valeur de \(P_B(V)\).

2. Représenter la situation par un arbre pondéré.

3. Montrer que \(P(V)=0{,}6\).

4. Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à l’aéroport en bus ? Justifier.

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique le surbooking.

Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5 % de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.

Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?

3. Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à \(10^{-3}\) près.

4. Calculer \(P(X\leq\, 200)\), le résultat sera arrondi à \(10^{-3}\) près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

5. La compagnie aérienne vend chaque billet à 250 euros.

Si plus de 200 passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de 600 euros à chaque passager lésé.

On appelle :

• \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet ;
• \(C\) la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.

On admet que \(Y\) suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :

a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant \(P(Y=6)\).

b. Justifier que : \(C=51\,500-850Y\).

c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire \(C\) sous forme d’un tableau.

Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(C\) à l’euro près.

d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.

Exercice 4 (7 points)

Principaux domaines abordés : Suites numériques. Algorithmique et programmation.

On s’intéresse au développement d’une bactérie.

Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité 0,3 de mourir sans descendance et une probabilité 0,7 de se diviser en deux bactéries filles.

Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu’elles soient mère ou fille.

Pour tout entier naturel \(n\), on appelle \(p_n\) la probabilité d’obtenir au plus \(n\) descendances pour une bactérie.

On admet que, d’après ce modèle, la suite \((p_n)\) est définie de la façon suivante :

\(p_0=0{,}3\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2.\]

1. La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite \((p_n)\).

a. Déterminer les valeurs exactes de \(p_1\) et \(p_2\) (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.

b. Quelle est la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\) près, d’obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ?

c. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite \((p_n)\).

2. a. Démontrer par récurrence sur \(n\) que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\).

b. Justifier que la suite \((p_n)\) est convergente.

3. On appelle \(L\) la limite de la suite \((p_n)\).

a. Justifier que \(L\) est solution de l’équation

\[0{,}7x^2-x+0{,}3=0\]

b. Déterminer alors la limite de la suite \((p_n)\).

4. La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les \(n\) premiers termes de la suite \((p_n)\).

1  def suite(n) :
2      p= ...
3      s=[p]
4      for i in range (...) :
5          p=...
6          s.append(p)
7      return (s)

Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction suite (n) retourne, sous forme de liste, les \(n\) premiers termes de la suite.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. a. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent en faisant « extrémité moins origine » :

\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}2-(-3)\\2-1\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{\text{DC}}\begin{pmatrix}1-(-4)\\7-6\\-1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-4-(-3)\\6-1\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\-4\end{pmatrix}.\]

Donc \(\vec{\text{AB}}(5~;~1~;~0)\), \(\vec{\text{DC}}(5~;~1~;~0)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1~;~5~;~-4)\).

b. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{DC}}\) ont les mêmes coordonnées, donc \(\vec{\text{AB}}=\vec{\text{DC}}\) : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Calculons ensuite le produit scalaire de deux côtés consécutifs dans ce repère orthonormé :

\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AD}}=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4)=-5+5+0=0.\]

Les droites (AB) et (AD) sont donc perpendiculaires : le parallélogramme ABCD possède un angle droit en A, c’est donc un rectangle.

c. On calcule les longueurs des deux côtés :

\[\text{AB}=\sqrt{5^2+1^2+0^2}=\sqrt{26},\qquad \text{AD}=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2}=\sqrt{42}.\]

L’aire du rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur :

\[\mathcal{A}=\sqrt{26}\times \sqrt{42}=\sqrt{1\,092}=\sqrt{4\times 273}=2\sqrt{273}.\]

L’aire du rectangle ABCD vaut \(2\sqrt{273}\approx 33{,}05\) unités d’aire.

2. a. Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}(5~;~1~;~0)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1~;~5~;~-4)\) ne sont pas colinéaires : la troisième coordonnée de \(\vec{\text{AB}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AD}}\) ne l’est pas, et \(\vec{\text{AD}}\) n’est pas nul. (On peut aussi dire qu’ils sont orthogonaux et non nuls.) Les points A, B et D ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan.

b. Un vecteur est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On calcule :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=-2\times 5+10\times 1+13\times 0=-10+10=0,\]

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AD}}=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)=2+50-52=0.\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à \(\vec{\text{AB}}\) et à \(\vec{\text{AD}}\), qui ne sont pas colinéaires : \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (ABD).

c. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\) a une équation de la forme \(-2x+10y+13z+d=0\). Le point A appartient au plan, donc :

\[-2\times (-3)+10\times 1+13\times 3+d=0\iff 6+10+39+d=0\iff d=-55.\]

Une équation cartésienne du plan (ABD) est \(-2x+10y+13z-55=0\).

3. a. La droite \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABD) : elle a donc pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}(-2~;~10~;~13)\). Comme elle passe par K\((-3~;~14~;~14)\), une représentation paramétrique de \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l}x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. Le projeté orthogonal I de K sur (ABD) est le point d’intersection de \(\Delta\) avec le plan. On remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en \(t\) dans l’équation du plan :

\[-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\]

\[6+4t+140+100t+182+169t-55=0\iff 273t+273=0\iff t=-1.\]

Avec \(t=-1\) : \(x=-3+2=-1\), \(y=14-10=4\), \(z=14-13=1\). Donc I\((-1~;~4~;~1)\).

On vérifie : \(-2\times (-1)+10\times 4+13\times 1-55=2+40+13-55=0\), le point I est bien dans le plan.

c. La hauteur de la pyramide KABCD issue de K est la distance de K au plan de sa base, c’est-à-dire la longueur KI (I est le pied de la perpendiculaire). On a \(\vec{\text{KI}}(-1-(-3)~;~4-14~;~1-14)\), soit \(\vec{\text{KI}}(2~;~-10~;~-13)\), d’où :

\[\text{KI}=\sqrt{2^2+(-10)^2+(-13)^2}=\sqrt{4+100+169}=\sqrt{273}.\]

La hauteur de la pyramide vaut bien \(\sqrt{273}\).

4. On applique la formule rappelée avec l’aire de la base trouvée en 1. c. et la hauteur trouvée en 3. c. :

\[V=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273}=\dfrac{2\times 273}{3}=\dfrac{546}{3}=182.\]

Le volume de la pyramide KABCD est \(V=182\) unités de volume.

Exercice 2 :

Partie A

1. La courbe \(\mathcal{C}_2\) est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. Si elle représentait \(f^{\prime}\), la fonction \(f\) serait croissante sur \(]3~;~+\infty[\) : c’est bien le cas de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\).

À l’inverse, si \(\mathcal{C}_1\) représentait \(f^{\prime}\), la fonction \(f\) serait décroissante entre 3 et environ 3,2 (là où \(\mathcal{C}_1\) est sous l’axe) puis croissante ensuite ; or \(\mathcal{C}_2\) est décroissante sur tout l’intervalle. Cette possibilité est donc exclue.

Conclusion : \(\mathcal{C}_1\) représente \(f\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(f^{\prime}\).

2. On cherche les abscisses des points de \(\mathcal{C}_1\) d’ordonnée 3. La droite d’équation \(y=3\) coupe \(\mathcal{C}_1\) en un seul point, d’abscisse comprise entre 5 et 6, proche de 5,6. L’équation \(f(x)=3\) a donc une unique solution, environ 5,6.

3. La courbe \(\mathcal{C}_2\) de la dérivée \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(]3~;~+\infty[\) ; une fonction dont la dérivée décroît est concave. On le voit aussi sur \(\mathcal{C}_1\), qui s’infléchit vers le bas et reste sous ses tangentes. La fonction \(f\) semble donc concave sur \(]3~;~+\infty[\).

Partie B

1. La quantité \(\ln(x^2-x-6)\) existe si et seulement si \(x^2-x-6\gt 0\). Le trinôme \(x^2-x-6\) a pour discriminant \(\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-6)=25\), donc deux racines :

\[x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{1+5}{2}=3,\qquad\text{d^{\prime}où}\quad x^2-x-6=(x+2)(x-3).\]

Pour \(x\gt 3\), on a \(x+2\gt 0\) et \(x-3\gt 0\), donc \(x^2-x-6\gt 0\) (le trinôme, de coefficient dominant positif, est positif à l’extérieur de ses racines). \(\ln(x^2-x-6)\) est donc bien défini sur \(I=]3~;~+\infty[\).

2. Limite en 3. Quand \(x\) tend vers 3 par valeurs supérieures, \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\) tend vers 0 en restant strictement positif. Comme \(\lim\limits_{X\to 0^+}\ln(X)=-\infty\), par composition :

\[\lim\limits_{x\to 3^+}f(x)=-\infty.\]

Limite en \(+\infty\). Pour \(x\gt 3\), \(x^2-x-6=x^2(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{6}{x^2})\) ; la parenthèse tend vers 1 et \(x^2\) vers \(+\infty\), donc \(x^2-x-6\) tend vers \(+\infty\). Comme \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty\), par composition :

\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]

La limite infinie en 3 signifie que la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale : la droite d’équation \(x=3\).

3. a. La fonction \(f\) est de la forme \(\ln(u)\) avec \(u(x)=x^2-x-6\), strictement positive et dérivable sur \(I\), et \(u^{\prime}(x)=2x-1\). On sait que \((\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\), donc pour tout \(x\in I\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}.\]

b. Sur \(I\), le dénominateur \(x^2-x-6\) est strictement positif (question 1), et le numérateur aussi : \(x\gt 3\) donne \(2x-1\gt 5\gt 0\). Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) pour tout \(x\in I\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

La borne 3 est exclue de l’intervalle (valeur interdite) : sur \(]3~;~+\infty[\), la fonction \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\).

4. a. Sur l’intervalle \([5~;~6]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. On calcule :

\[f(5)=\ln(25-5-6)=\ln(14)\approx 2{,}64\lt 3\qquad\text{et}\qquad f(6)=\ln(36-6-6)=\ln(24)\approx 3{,}18\gt 3.\]

Le réel 3 est compris entre \(f(5)\) et \(f(6)\) ; d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]5~;~6[\).

b. Par balayage à la calculatrice : \(f(5{,}63)\approx 2{,}9993\lt 3\) et \(f(5{,}64)\approx 3{,}0040\gt 3\). Donc \(5{,}63\lt\alpha\lt 5{,}64\).

(On peut d’ailleurs résoudre exactement : \(f(x)=3\iff x^2-x-6=\text{e}^3\), d’où \(\alpha=\dfrac{1+\sqrt{25+4\text{e}^3}}{2}\approx 5{,}632\).)

5. a. On dérive \(f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\) comme un quotient, avec \(u(x)=x^2-x-6\), \(u^{\prime}(x)=2x-1\) et \(u^{\prime\prime}(x)=2\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-x-6)-(2x-1)(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}=\dfrac{2x^2-2x-12-(4x^2-4x+1)}{(x^2-x-6)^2}.\]

En réduisant le numérateur : \(2x^2-2x-12-4x^2+4x-1=-2x^2+2x-13\). On obtient bien

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.\]

b. Le dénominateur est un carré non nul sur \(I\), donc strictement positif. Le numérateur \(-2x^2+2x-13\) est un trinôme de discriminant \(\Delta=2^2-4\times (-2)\times (-13)=4-104=-100\lt 0\) : il n’a pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant \(-2\), il est donc toujours strictement négatif.

Ainsi \(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\) pour tout \(x\in I\) : la fonction \(f\) est concave sur \(I\), ce qui confirme la lecture graphique de la Partie A.

Exercice 3 :

Partie 1

1. \(P_B(V)\) est la probabilité que Julien soit à l’heure sachant qu’il a pris son bus. L’énoncé dit que s’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’arriver à temps : \(P_B(V)=1\).

2. Julien manque son bus avec la probabilité 0,8, donc \(P(\overline{B})=0{,}8\) et \(P(B)=1-0{,}8=0{,}2\). Sachant qu’il a manqué le bus, il arrive à l’heure avec la probabilité 0,5, donc \(P_{\overline{B}}(V)=0{,}5\) et \(P_{\overline{B}}(\overline{V})=0{,}5\). Enfin \(P_B(V)=1\) et \(P_B(\overline{V})=0\). D’où l’arbre :

3. Les évènements \(B\) et \(\overline{B}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(V)=P(B)\times P_B(V)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(V)=0{,}2\times 1+0{,}8\times 0{,}5=0{,}2+0{,}4=0{,}6.\]

On a bien \(P(V)=0{,}6\).

4. On cherche la probabilité que Julien ait pris le bus sachant qu’il est à l’heure, c’est-à-dire \(P_V(B)\) :

\[P_V(B)=\dfrac{P(B\cap V)}{P(V)}=\dfrac{P(B)\times P_B(V)}{P(V)}=\dfrac{0{,}2\times 1}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}.\]

Sachant que Julien est à l’heure pour son vol, la probabilité qu’il soit venu en bus est \(\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\).

Partie 2

1. Pour chacun des 206 passagers ayant un billet, on observe une épreuve à deux issues : il se présente (succès, probabilité \(1-0{,}05=0{,}95\)) ou non. Ces 206 épreuves sont identiques et indépendantes, et \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=206\) et \(p=0{,}95\).

2. Le nombre moyen de passagers présents est l’espérance de \(X\) :

\[E(X)=n\times p=206\times 0{,}95=195{,}7.\]

En moyenne, environ 196 passagers (195,7) se présentent à l’embarquement.

3. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X=201)=\binom\,{206}{201}\times 0{,}95^{201}\times 0{,}05^{5}\approx 0{,}031.\]

La probabilité que 201 passagers se présentent est environ 0,031.

4. La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne \(P(X\leq\, 200)\approx 0{,}948\).

Interprétation : dans environ 94,8 % des cas, au plus 200 passagers se présentent, donc tous les passagers présents peuvent embarquer malgré le surbooking. Dans environ 5,2 % des cas, au moins un passager se retrouve sans place.

5. a. La somme des probabilités d’une loi vaut 1, donc :

\[P(Y=6)=1-(0{,}94775+0{,}03063+0{,}01441+0{,}00539+0{,}00151+0{,}00028)=1-0{,}99997=0{,}00003.\]

Ainsi \(P(Y=6)=0{,}00003\).

b. La compagnie a vendu 206 billets à 250 euros, ce qui lui rapporte \(206\times 250=51\,500\) euros. Pour chacun des \(Y\) passagers qui ne peuvent pas embarquer, elle rembourse le billet (250 euros) et verse une pénalité de 600 euros, soit une perte de \(250+600=850\) euros par passager lésé. Son chiffre d’affaires est donc \(C=51\,500-850Y\).

c. À chaque valeur \(y_i\) de \(Y\) correspond la valeur \(c_i=51\,500-850y_i\) de \(C\), avec la même probabilité :

Le plus simple est de calculer d’abord \(E(Y)\) :

\[E(Y)=0\times 0{,}94775+1\times 0{,}03063+2\times 0{,}01441+3\times 0{,}00539+4\times 0{,}00151+5\times 0{,}00028+6\times 0{,}00003=0{,}08324.\]

Par linéarité de l’espérance :

\[E(C)=51\,500-850\times E(Y)=51\,500-850\times 0{,}08324=51\,500-70{,}754=51\,429{,}246.\]

Donc \(E(C)\approx 51\,429\) euros à l’euro près (on obtient le même résultat en calculant directement \(\sum c_i\,P(C=c_i)\)).

d. En vendant exactement 200 billets, la compagnie remplit au mieux l’avion sans jamais payer de pénalité, et son chiffre d’affaires est au plus \(200\times 250=50\,000\) euros. Avec le surbooking, son chiffre d’affaires moyen est d’environ 51 429 euros, soit environ 1 429 euros de plus en moyenne par vol : le surbooking est rentable pour la compagnie.

Exercice 4 :

1. a. On applique la relation de récurrence :

\[p_1=0{,}3+0{,}7\times 0{,}3^2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}09=0{,}3+0{,}063=0{,}363,\]

\[p_2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}363^2=0{,}3+0{,}7\times 0{,}131769=0{,}3+0{,}0922383=0{,}3922383.\]

Donc \(p_1=0{,}363\) et \(p_2=0{,}3922383\).

Interprétation : la probabilité que la lignée issue d’une bactérie s’éteigne en donnant au plus une génération de descendants est 0,363 ; la probabilité qu’elle s’éteigne en donnant au plus deux générations est 0,3922383.

b. L’évènement « obtenir au moins 11 générations » est le contraire de « obtenir au plus 10 générations », dont la probabilité est \(p_{10}\). D’après la feuille de calcul :

\[1-p_{10}\approx 1-0{,}42802018=0{,}57197982.\]

La probabilité cherchée est environ 0,572.

c. Les valeurs du tableau augmentent d’une ligne à l’autre, de plus en plus lentement, et semblent se stabiliser autour de 0,4285. On conjecture que la suite \((p_n)\) est croissante et converge vers un nombre proche de 0,4286.

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\) ».

Initialisation. \(p_0=0{,}3\) et \(p_1=0{,}363\), donc \(0\leq\, p_0\leq\, p_1\leq\, 0{,}5\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\). La fonction carré est croissante sur \([0~;~+\infty[\), donc en élevant ces nombres positifs au carré, l’ordre est conservé :

\[0\leq\, p_n^2\leq\, p_{n+1}^2\leq\, 0{,}25.\]

On multiplie par \(0{,}7\gt 0\), puis on ajoute 0,3 :

\[0{,}3\leq\, 0{,}3+0{,}7p_n^2\leq\, 0{,}3+0{,}7p_{n+1}^2\leq\, 0{,}3+0{,}7\times 0{,}25,\]

c’est-à-dire \(0{,}3\leq\, p_{n+1}\leq\, p_{n+2}\leq\, 0{,}475\). Comme \(0\leq\, 0{,}3\) et \(0{,}475\leq\, 0{,}5\), on obtient \(0\leq\, p_{n+1}\leq\, p_{n+2}\leq\, 0{,}5\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, p_n\leq\, p_{n+1}\leq\, 0{,}5\).

b. D’après la question précédente, la suite \((p_n)\) est croissante (\(p_n\leq\, p_{n+1}\)) et majorée par 0,5. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((p_n)\) est convergente.

3. a. La fonction \(g\) définie par \(g(x)=0{,}3+0{,}7x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (c’est un polynôme) et \(p_{n+1}=g(p_n)\). Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(p_{n+1}\) tend vers \(L\) et, par continuité de \(g\), \(g(p_n)\) tend vers \(g(L)\). Par unicité de la limite, \(L=g(L)\) :

\[L=0{,}3+0{,}7L^2\iff 0{,}7L^2-L+0{,}3=0.\]

Donc \(L\) est solution de l’équation \(0{,}7x^2-x+0{,}3=0\).

b. Cette équation du second degré a pour discriminant \(\Delta=(-1)^2-4\times 0{,}7\times 0{,}3=1-0{,}84=0{,}16\), d’où deux solutions :

\[x_1=\dfrac{1-0{,}4}{1{,}4}=\dfrac{0{,}6}{1{,}4}=\dfrac{3}{7}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+0{,}4}{1{,}4}=1.\]

Or tous les termes vérifient \(p_n\leq\, 0{,}5\), donc par passage à la limite \(L\leq\, 0{,}5\) : la valeur 1 est exclue. Ainsi \(L=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}4286\), ce qui confirme la conjecture de la question 1. c.

4. La liste doit commencer par \(p_0=0{,}3\) (ligne 2). Elle contient déjà un terme ; pour obtenir \(n\) termes, il faut en ajouter \(n-1\), donc la boucle tourne \(n-1\) fois (ligne 4). À chaque tour, on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence (ligne 5) :

def suite(n) :
    p = 0.3
    s = [p]
    for i in range(n-1) :
        p = 0.3 + 0.7*p**2
        s.append(p)
    return (s)

Par exemple, suite(3) renvoie la liste [0.3, 0.363, 0.3922383], c’est-à-dire \(p_0\), \(p_1\) et \(p_2\).

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