Sujet Calédonie 2025 : maths en Nouvelle-Calédonie (jour 2)

Sommaire

Ensuite, Retrouvez ici le sujet du jour 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Nouvelle-Calédonie, daté du 21 novembre 2025, suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Par ailleurs, il s’ouvre sur un vrai-faux autour d’un cube : triangle HAC, droites sécantes, vecteur normal dépendant d’un angle et dénombrement des segments joignant deux sommets. Le deuxième exercice découpe un carré en trois zones par une droite et la parabole \(y = x^2\) : calcul d’aires par intégrale, jeu de fléchettes avec arbre pondéré, puis gain de trois joueurs avec espérance et variance. De plus, le troisième étudie une suite définie par \(u_{n+1} = \ln(\text{e}^{u_n/2} + 2)\) jusqu’à sa limite. En outre, le dernier analyse \(\dfrac{\ln(x)}{x^2} + 1\) et s’en sert pour trouver la distance de l’origine à la courbe du logarithme.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Nouvelle-Calédonie (jour 2).

Par ailleurs, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Sujet Calédonie 2025 : le sujet en un coup d’œil

D’abord, ce sujet Calédonie 2025 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Nouvelle-Calédonie (jour 2), avec toutes ses questions. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 6, 5 et 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la géométrie dans l’espace, le dénombrement, le calcul intégral et les probabilités conditionnelles. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Jour 2
Nouvelle-Calédonie — 21 novembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1 et le point I défini par \(\vec{\text{FI}} = \dfrac{1}{3} \vec{\text{FB}}\).

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l’espace \((\text{A} ; \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}})\).

1. On considère le triangle HAC.

Affirmation 1 : Le triangle HAC est un triangle rectangle.

2. On considère les droites (HF) et (DI).

Affirmation 2 : Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.

3. On considère un réel \(\alpha\) appartenant à l’intervalle \(]0 ; \pi[\).

On considère le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix} \sin(\alpha) \\ \sin(\pi – \alpha) \\ \sin(-\alpha) \end{pmatrix}\).

Affirmation 3 : Le vecteur \(\vec{u}\) est un vecteur normal au plan (FAC).

4. Le cube ABCDEFGH possède 8 sommets. On s’intéresse au nombre \(N\) de segments que l’on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube.

Affirmation 4 : \(N = \dfrac{8^2}{2}\).

Exercice 2 (6 points)

Dans le repère orthonormé (O ; I, J) ci-contre, on a représenté :

la droite d’équation \(y = x\) ;
la droite d’équation \(y = 1\) ;
la droite d’équation \(x = 1\) ;
la parabole d’équation \(y = x^2\).

On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre

Partie A

Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.

ZONE	ZONE 1	ZONE 2	ZONE 3
AIRE	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{1}{6}\)

Partie B : un premier jeu

Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu’elle tombe sur une zone est égale à l’aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la ZONE 3 est égale à \(\dfrac{1}{6}\).

Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée.
Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.
Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.

On note les évènements suivants :

\(T\) : « la fléchette tombe sur la ZONE 3 » ;
\(G\) : « le joueur gagne ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité de l’évènement \(G\) est égale à \(\dfrac{2}{9}\).

3. On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?

Partie C : un second jeu

Un joueur, appelé joueur n° 1, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l’aire de cette zone.

Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.

On note \(X_1\) la variable aléatoire donnant le gain du joueur n° 1.

On note respectivement \(E(X_1)\) et \(V(X_1)\) l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(X_1\).

1. a. Calculer \(E(X_1)\).

b. Montrer que \(V(X_1) = \dfrac{5}{9}\).

2. Un joueur n° 2 et un joueur n° 3 jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur n° 1. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.

De plus, on note \(X_2\) et \(X_3\) les variables aléatoires donnant les gains des joueurs n° 2 et n° 3. On note \(Y\) la variable aléatoire définie par \(Y = X_1 + X_2 + X_3\).

a. Déterminer la probabilité que l’on ait \(Y = 9\).

b. Calculer \(E(Y)\).

c. Justifier que \(V(Y) = \dfrac{5}{3}\).

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :

\[f(x) = \ln(\text{e}^{\frac{x}{2}} + 2)\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = \ln(9)\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = f(u_n)\]

1. Montrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Montrer que \(f(2\ln(2)) = 2\ln(2)\).

3. Montrer que \(u_1 = \ln(5)\).

4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[2\ln(2) \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\]

5. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

6. a. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(X^2 – X – 2 = 0\).

b. En déduire l’ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation :

\[\text{e}^{x} – \text{e}^{\frac{x}{2}} – 2 = 0\]

c. En déduire l’ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(f(x) = x\).

d. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2} + 1\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_f\).

2. Montrer que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0 ; +\infty[\), on a :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{1 – 2\ln(x)}{x^3}\]

3. En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

4. a. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) possède une unique solution, notée \(\alpha\), sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

b. Donner un encadrement du réel \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}01\).

c. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

5. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(x)\]

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthonormé d’origine O. En outre, on considère un réel \(x\) strictement positif et le point M de la courbe \(\mathcal{C}_g\) d’abscisse \(x\). On note OM la distance entre les points O et M.

a. Exprimer la quantité \(\text{OM}^2\) en fonction du réel \(x\).

b. Montrer que, lorsque le réel \(x\) parcourt l’intervalle \(]0 ; +\infty[\), la quantité \(\text{OM}^2\) admet un minimum en \(\alpha\).

c. La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel \(x\) parcourt l’intervalle \(]0 ; +\infty[\), est appelée distance du point O à la courbe \(\mathcal{C}_g\). On note \(d\) cette distance.

Exprimer \(d\) à l’aide de \(\alpha\).

Sujet Calédonie 2025 : conseils de révision

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la géométrie dans l’espace et le dénombrement. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur géométrie dans l’espace.

Points de vigilance

En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
En dénombrement, demandez-vous d’abord si l’ordre compte et si les répétitions sont permises : c’est ce qui décide entre k-uplets et combinaisons.
Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.

Sujet Calédonie 2025 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la géométrie dans l’espace, le dénombrement et le calcul intégral, mais aussi les probabilités conditionnelles.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Nouvelle-Calédonie (jour 2)

Les autres sujets du bac de maths 2025

Bac de maths 2027 : tous les sujets Cours de terminale Exercices de terminale

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «bac de maths 2025 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) : sujet et corrigé à télécharger en PDF» au format PDF.