Bac maths 2023 France J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en France métropolitaine (commun aux Antilles-Guyane et au Maroc), passé le 20 mars 2023, avec l’énoncé intégral et un corrigé détaillé de chaque question sur cette page. Le premier exercice est un QCM sur des machines sous garantie ou défectueuses : probabilités conditionnelles, loi binomiale et recherche d’une taille de lot. Le deuxième étudie \(f(x)=x^2-8\ln(x)\) : limites, variations, deux solutions de \(f(x)=0\) et plus petite constante qui rend une fonction positive. Le troisième compare deux modèles du nombre de questions sur la FAQ d’un site, une suite arithmético-géométrique avec script Python et une suite exponentielle. Le dernier travaille dans un cube : plan (GBD), projeté orthogonal, triangle équilatéral et volume d’un tétraèdre.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
France métropolitaine, Antilles-Guyane, Maroc — 20 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes.

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

20 % des machines sont sous garantie ;
0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
8,2 % des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les évènements suivants :

\(G\) : « la machine est sous garantie » ;
\(D\) : « la machine est défectueuse » ;
\(\overline{G}\) et \(\overline{D}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(G\) et \(D\).

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s’aider de l’arbre proposé ci-contre.

1. La probabilité \(p_G(D)\) de l’évènement \(D\) sachant que \(G\) est réalisé est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}002\)	\(0{,}01\)	\(0{,}024\)	\(0{,}2\)

2. La probabilité \(p(\overline{G}\cap D)\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}01\)	\(0{,}08\)	\(0{,}1\)	\(0{,}21\)

3. La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à \(10^{-3}\) près, à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}01\)	\(0{,}024\)	\(0{,}082\)	\(0{,}1\)

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante \(n\) machines de l’entreprise, où \(n\) désigne un entier naturel non nul.

On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque lot de \(n\) machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0{,}082\).

4. Dans cette question, on prend \(n=50\).

La valeur de la probabilité \(p(X\gt 2)\), arrondie au millième, est de :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}136\)	\(0{,}789\)	\(0{,}864\)	\(0{,}924\)

5. On considère un entier \(n\) pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille \(n\) fonctionnent correctement est supérieure à \(0{,}4\).

La plus grande valeur possible pour \(n\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
5	6	10	11

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=x^2-8\ln(x)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\), on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\).

2. On admet que, pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)=x^2(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2})\).

En déduire la limite : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

3. Montrer que, pour tout réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-4)}{x}\).

4. Étudier les variations de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et dresser son tableau de variations complet.

On précisera la valeur exacte du minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

5. Démontrer que, sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\), l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de \(\alpha\)).

6. On admet que, sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\), l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\beta\) (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de \(\beta\)).

En déduire le signe de \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

7. Pour tout nombre réel \(k\), on considère la fonction \(g_k\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k.\]

En s’aidant du tableau de variations de \(f\), déterminer la plus petite valeur de \(k\) pour laquelle la fonction \(g_k\) est positive sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 3 (5 points)

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le \(n\)-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_1=3\) et, pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\), \(u_{n+1}=0{,}9u_n+1{,}3\).

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.

2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\) :

\[u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n.\]

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante.

4. On considère le programme ci-dessous, écrit en langage Python.

def seuil(p) :
    n=1
    u=3
    while u<=p :
        n=n+1
        u=0.9*u+1.3
    return n

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\) par :

\[v_n=9-6\times \text{e}^{-0{,}19\times (n-1)}.\]

Le terme \(v_n\) est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le \(n\)-ième mois sur la FAQ.

1. Préciser les valeurs arrondies au centième de \(v_1\) et \(v_2\).

2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de \(n\) telle que \(v_n\gt 8{,}5\).

Partie C : Comparaison des deux modèles

1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.

Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?

Justifier votre réponse.

2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?

Exercice 4 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1.

On appelle I le point d’intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

L’espace est rapporté au repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

1. Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

3. Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (GBD) est :

\[x+y-z-1=0.\]

b. Montrer que le point I a pour coordonnées \((\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13)\).

c. En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

5. a. Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.

b. Calculer l’aire du triangle BDG.

On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].

6. Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à \(\dfrac13\).

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par \(V=\dfrac13Bh\) où \(B\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) est la hauteur relative à cette base.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Traduisons l’énoncé en probabilités : \(p(G)=0{,}2\), \(p(G\cap D)=0{,}002\) et \(p(D)=0{,}082\). L’arbre se complète ainsi : branche vers \(G\) de probabilité 0,2 puis vers \(D\) de probabilité 0,01 (et vers \(\overline{D}\) de probabilité 0,99) ; branche vers \(\overline{G}\) de probabilité 0,8 puis vers \(D\) de probabilité 0,1 (et vers \(\overline{D}\) de probabilité 0,9). Les calculs sont détaillés ci-dessous.

1. Réponse b.

Par définition d’une probabilité conditionnelle : \(p_G(D)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}2}=0{,}01\). Réponse b.

2. Réponse b.

Les évènements \(G\cap D\) et \(\overline{G}\cap D\) sont incompatibles et leur réunion est \(D\) (formule des probabilités totales). Donc \(p(\overline{G}\cap D)=p(D)-p(G\cap D)=0{,}082-0{,}002=0{,}08\). Réponse b.

3. Réponse b.

On sait que la machine est défectueuse : on cherche \(p_D(G)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0{,}002}{0{,}082}=\dfrac{1}{41}\approx 0{,}0244\), soit 0,024 à \(10^{-3}\) près. Réponse b.

4. Réponse b.

On passe par l’évènement contraire : \(p(X\gt 2)=1-p(X\leq\, 2)\). Avec \(X\) de loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}082)\), la calculatrice donne \(p(X\leq\, 2)\approx 0{,}2114\), donc \(p(X\gt 2)\approx 1-0{,}2114\approx 0{,}789\). Réponse b.

5. Réponse c.

« Toutes les machines du lot fonctionnent » correspond à \(X=0\), et \(p(X=0)=(1-0{,}082)^n=0{,}918^n\). On veut \(0{,}918^n\gt 0{,}4\). La fonction ln est strictement croissante, donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}918)\gt\ln(0{,}4)\), puis, en divisant par \(\ln(0{,}918)\lt 0\) (ce qui change le sens) :

\[n\lt\dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}\approx 10{,}71.\]

Le plus grand entier possible est donc 10 (contrôle : \(0{,}918^{10}\approx 0{,}425\gt 0{,}4\) et \(0{,}918^{11}\approx 0{,}390\lt 0{,}4\)). Réponse c.

Exercice 2 :

1. Quand \(x\) tend vers 0 (par valeurs positives), \(x^2\) tend vers 0 et \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(-8\ln(x)\) tend vers \(+\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty\).

2. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\) (on peut l’écrire \(\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac1x\), produit de deux quantités qui tendent vers 0). Donc \(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\) tend vers 1, et comme \(x^2\) tend vers \(+\infty\), par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

3. Pour tout \(x\gt 0\), la dérivée de \(x^2\) est \(2x\) et celle de \(\ln(x)\) est \(\dfrac1x\). Donc :

\[f^{\prime}(x)=2x-\dfrac8x=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2(x^2-4)}{x}.\]

4. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), on a \(x\gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Comme \(x+2\gt 0\), ce signe est celui de \(x-2\) : négatif sur \(]0\,;\,2[\), nul en 2, positif sur \(]2\,;\,+\infty[\).

Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,2]\) et strictement croissante sur \([2\,;\,+\infty[\). Son minimum est atteint en 2 :

\[f(2)=4-8\ln(2)\approx -1{,}545.\]

\(x\)	0		2		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	0	\(+\)
variations de \(f\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(4-8\ln(2)\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

La valeur exacte du minimum de \(f\) est \(4-8\ln(2)\).

5. Sur \(]0\,;\,2]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante. Sa limite en 0 est \(+\infty\) et \(f(2)=4-8\ln(2)\lt 0\) (car \(8\ln(2)\approx 5{,}55\gt 4\)). L’image de \(]0\,;\,2]\) par \(f\) est donc \([4-8\ln(2)\,;\,+\infty[\), qui contient 0.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,2]\). (La calculatrice donne \(\alpha\approx 1{,}18\), mais ce n’est pas demandé.)

6. On combine le sens de variation et les deux racines \(\alpha\lt 2\lt\beta\) :

sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f\) est décroissante et \(f(\alpha)=0\), donc \(f(x)\gt 0\) ;
sur \(]\alpha\,;\,2]\), \(f\) est décroissante, donc \(f(x)\lt f(\alpha)=0\) ;
sur \([2\,;\,\beta[\), \(f\) est croissante, donc \(f(x)\lt f(\beta)=0\) ;
sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante, donc \(f(x)\gt f(\beta)=0\).

En résumé : \(f\) est strictement positive sur \(]0\,;\,\alpha[\) et sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), strictement négative sur \(]\alpha\,;\,\beta[\), et s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\).

7. Pour tout \(x\gt 0\), \(g_k(x)=f(x)+k\). La fonction \(g_k\) a donc les mêmes variations que \(f\), et son minimum sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(f(2)+k=4-8\ln(2)+k\), atteint en 2.

La fonction \(g_k\) est positive sur \(]0\,;\,+\infty[\) si et seulement si son minimum est positif ou nul :

\[4-8\ln(2)+k\geq\, 0\iff k\geq\, 8\ln(2)-4.\]

La plus petite valeur de \(k\) qui convient est donc \(k=8\ln(2)-4\approx 1{,}545\) (pour cette valeur, \(g_k\) s’annule en 2 et reste positive ailleurs).

Exercice 3 :

Partie A

1. \(u_2=0{,}9\times 3+1{,}3=2{,}7+1{,}3=4\) et \(u_3=0{,}9\times 4+1{,}3=3{,}6+1{,}3=4{,}9\).

Interprétation : selon ce modèle, la FAQ contient 400 questions le deuxième mois et 490 questions le troisième mois (on garde 90 % des questions du mois précédent et on en ajoute 130).

2. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\) ».

Initialisation. Pour \(n=1\) : \(13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9=13-\dfrac{90}{9}=13-10=3=u_1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\geq\, 1\). Alors :

\[u_{n+1}=0{,}9(13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n)+1{,}3=11{,}7-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+1{,}3=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}.\]

C’est exactement \(\mathcal{P}(n+1)\).

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\).

3. Étudions le signe de la différence de deux termes consécutifs, pour \(n\geq\, 1\) :

\[u_{n+1}-u_n=-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n=\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\times (1-0{,}9)=\dfrac{10}{9}\times 0{,}9^n.\]

Comme \(0{,}9^n\gt 0\), cette différence est strictement positive : la suite \((u_n)\) est croissante.

4. Le programme part de \(n=1\) et \(u=u_1=3\), puis calcule les termes successifs tant que \(u\leq\, p\). Il s’arrête dès que \(u\gt p\) et renvoie le rang correspondant : c’est le premier rang \(n\) tel que \(u_n\gt p\) (la suite étant croissante, elle reste ensuite au-dessus de \(p\)).

Avec la formule explicite, \(u_n\gt 8{,}5\) équivaut à \(\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\lt 4{,}5\), soit \(0{,}9^n\lt 0{,}405\), puis \(n\ln(0{,}9)\lt\ln(0{,}405)\), c’est-à-dire \(n\gt\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)}\approx 8{,}58\) (on a divisé par \(\ln(0{,}9)\lt 0\)). On vérifie : \(u_8\approx 8{,}22\) et \(u_9\approx 8{,}70\).

La saisie de seuil(8.5) renvoie donc 9 : selon le premier modèle, c’est au neuvième mois que la FAQ compte pour la première fois plus de 850 questions.

Partie B

1. \(v_1=9-6\times \text{e}^0=9-6=3\), donc \(v_1=3{,}00\) ; \(v_2=9-6\,\text{e}^{-0{,}19}\approx 9-6\times 0{,}8270\), donc \(v_2\approx 4{,}04\).

2. On résout l’inéquation \(v_n\gt 8{,}5\) :

\[9-6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\gt 8{,}5\iff 6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt 0{,}5\iff\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\lt\dfrac{1}{12}.\]

La fonction ln étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[-0{,}19(n-1)\lt\ln(\dfrac{1}{12})=-\ln(12)\iff n-1\gt\dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\iff n\gt 1+\dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\approx 14{,}08.\]

La plus petite valeur de \(n\) cherchée est donc \(n=15\) (contrôle : \(v_{14}\approx 8{,}49\) et \(v_{15}\approx 8{,}58\)).

Partie C

1. Plus de 850 questions correspond à un terme strictement supérieur à 8,5. Avec le premier modèle, cela arrive dès le 9e mois (Partie A, question 4) ; avec le second, seulement au 15e mois (Partie B, question 2). Comme \(9\lt 15\), c’est la première modélisation, avec la suite \((u_n)\), qui conduit à modifier le site le plus tôt.

2. Comparons les limites des deux suites.

Comme \(-1\lt 0{,}9\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=13\) : à long terme, environ 1 300 questions avec le premier modèle.

Comme \(-0{,}19(n-1)\) tend vers \(-\infty\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=9\) : à long terme, environ 900 questions avec le second modèle.

Puisque \(13\gt 9\), c’est la première modélisation qui prévoit le plus grand nombre de questions à long terme.

Exercice 4 :

1. Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on lit : \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{C}(1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{G}(1\,;\,1\,;\,1)\). On utilisera aussi \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\).

2. La droite (EC) passe par E et est dirigée par \(\vec{\text{EC}}(1\,;\,1\,;\,-1)\). Une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l}x=t\\y=t\\z=1-t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

3. Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On a \(\vec{\text{BD}}(-1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\vec{\text{BG}}(0\,;\,1\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre). Calculons :

\[\vec{\text{EC}}\cdot\vec{\text{BD}}=1\times (-1)+1\times 1+(-1)\times 0=0,\qquad\vec{\text{EC}}\cdot\vec{\text{BG}}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0.\]

Le vecteur \(\vec{\text{EC}}\) est orthogonal à ces deux vecteurs : la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

4. a. D’après la question 3, \(\vec{\text{EC}}(1\,;\,1\,;\,-1)\) est un vecteur normal au plan (GBD). Ce plan a donc une équation de la forme \(x+y-z+d=0\). Comme B(1 ; 0 ; 0) appartient au plan, \(1+0-0+d=0\), d’où \(d=-1\).

Une équation cartésienne du plan (GBD) est donc \(x+y-z-1=0\). (Vérification avec les deux autres points : D donne \(0+1-0-1=0\) et G donne \(1+1-1-1=0\).)

b. Le point I est sur (EC) : il a pour coordonnées \((t\,;\,t\,;\,1-t)\) pour un certain réel \(t\). Il est aussi dans le plan (GBD), donc \(t+t-(1-t)-1=0\), soit \(3t-2=0\) et \(t=\dfrac23\). On obtient \(x=\dfrac23\), \(y=\dfrac23\), \(z=1-\dfrac23=\dfrac13\) : \(\text{I}(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13)\).

c. La droite (EC) passe par E, est orthogonale au plan (GBD) et coupe ce plan en I : I est donc le projeté orthogonal de E sur le plan, et la distance de E au plan est la longueur EI. Avec \(\vec{\text{EI}}(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,-\dfrac23)\) :

\[\text{EI}=\sqrt{\dfrac49+\dfrac49+\dfrac49}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{\sqrt{12}}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.\]

La distance du point E au plan (GBD) est bien \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

5. a. Calculons les trois côtés dans ce repère orthonormé :

\[\text{BD}=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt2,\qquad\text{BG}=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad\text{DG}=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2.\]

On pouvait aussi le voir sans calcul : chacun de ces segments est une diagonale d’une face carrée du cube de côté 1. Les trois côtés sont égaux : le triangle BDG est équilatéral, de côté \(\sqrt2\).

b. Dans un triangle équilatéral, la médiane issue de G est aussi hauteur : (GJ) est perpendiculaire à (BD). On a \(\text{J}(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,0)\), donc \(\vec{\text{JG}}(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,1)\) et

\[\text{GJ}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+1}=\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt6}{2}.\]

L’aire du triangle vaut alors :

\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{BD}\times \text{GJ}}{2}=\dfrac12\times \sqrt2\times \dfrac{\sqrt6}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\]

L’aire du triangle BDG est \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) unité d’aire.

6. Prenons comme base du tétraèdre EGBD le triangle BDG. La hauteur relative à cette base est la distance de E au plan (GBD), soit \(\text{EI}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\) (question 4. c). Donc :

\[V=\dfrac13\times \dfrac{\sqrt3}{2}\times \dfrac{2\sqrt3}{3}=\dfrac13\times \dfrac{2\times 3}{6}=\dfrac13.\]

Le volume du tétraèdre EGBD est égal à \(\dfrac13\) unité de volume.

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