Bac 2023 France : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en France métropolitaine (commun aux Antilles-Guyane et au Maroc), passé le 20 mars 2023, avec l’énoncé intégral et un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Ensuite, le premier exercice est un QCM sur des machines sous garantie ou défectueuses : probabilités conditionnelles, loi binomiale et recherche d’une taille de lot. Par ailleurs, le deuxième étudie \(f(x)=x^2-8\ln(x)\) : limites, variations, deux solutions de \(f(x)=0\) et plus petite constante qui rend une fonction positive. De plus, le troisième compare deux modèles du nombre de questions sur la FAQ d’un site, une suite arithmético-géométrique avec script Python et une suite exponentielle. En outre, le dernier travaille dans un cube : plan (GBD), projeté orthogonal, triangle équilatéral et volume d’un tétraèdre.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en France (jour 1).

Par ailleurs, vous préparez le bac de maths 2027 ? De plus, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac 2023 France : organisation de l’épreuve

D’abord, ce bac 2023 France vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en France (jour 1), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et les limites. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
France métropolitaine, Antilles-Guyane, Maroc — 20 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes.

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

20 % des machines sont sous garantie ;
0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
8,2 % des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les évènements suivants :

\(G\) : « la machine est sous garantie » ;
\(D\) : « la machine est défectueuse » ;
\(\overline{G}\) et \(\overline{D}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(G\) et \(D\).

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s’aider de l’arbre proposé ci-contre.

1. La probabilité \(p_G(D)\) de l’évènement \(D\) sachant que \(G\) est réalisé est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}002\)	\(0{,}01\)	\(0{,}024\)	\(0{,}2\)

Exercice 1 du bac 2023 France : questions 2 à 5

2. La probabilité \(p(\overline{G}\cap D)\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}01\)	\(0{,}08\)	\(0{,}1\)	\(0{,}21\)

3. La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à \(10^{-3}\) près, à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}01\)	\(0{,}024\)	\(0{,}082\)	\(0{,}1\)

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante \(n\) machines de l’entreprise, où \(n\) désigne un entier naturel non nul.

On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque lot de \(n\) machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0{,}082\).

4. Dans cette question, on prend \(n=50\).

La valeur de la probabilité \(p(X\gt 2)\), arrondie au millième, est de :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}136\)	\(0{,}789\)	\(0{,}864\)	\(0{,}924\)

5. On considère un entier \(n\) pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille \(n\) fonctionnent correctement est supérieure à \(0{,}4\).

La plus grande valeur possible pour \(n\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
5	6	10	11

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=x^2-8\ln(x)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\), on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\).

2. On admet que, pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)=x^2(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2})\).

En déduire la limite : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

3. Montrer que, pour tout réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-4)}{x}\).

4. Étudier les variations de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et dresser son tableau de variations complet.

On précisera la valeur exacte du minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

5. Démontrer que, sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\), l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de \(\alpha\)).

6. On admet que, sur l’intervalle \([2\,;\,+\infty[\), l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\beta\) (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de \(\beta\)).

En déduire le signe de \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

7. Pour tout nombre réel \(k\), on considère la fonction \(g_k\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k.\]

En s’aidant du tableau de variations de \(f\), déterminer la plus petite valeur de \(k\) pour laquelle la fonction \(g_k\) est positive sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 3 (5 points)

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le \(n\)-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_1=3\) et, pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\), \(u_{n+1}=0{,}9u_n+1{,}3\).

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.

2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\) :

\[u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n.\]

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante.

4. On considère le programme ci-dessous, écrit en langage Python.

def seuil(p) :
    n=1
    u=3
    while u<=p :
        n=n+1
        u=0.9*u+1.3
    return n

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\) par :

\[v_n=9-6\times \text{e}^{-0{,}19\times (n-1)}.\]

Le terme \(v_n\) est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le \(n\)-ième mois sur la FAQ.

1. Préciser les valeurs arrondies au centième de \(v_1\) et \(v_2\).

2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de \(n\) telle que \(v_n\gt 8{,}5\).

Partie C : Comparaison des deux modèles

1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.

Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?

Justifier votre réponse.

2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?

Exercice 4 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1.

On appelle I le point d’intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

L’espace est rapporté au repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

1. Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

3. Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (GBD) est :

\[x+y-z-1=0.\]

b. Montrer que le point I a pour coordonnées \((\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13)\).

c. En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\).

5. a. Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.

b. Calculer l’aire du triangle BDG.

On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].

6. Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à \(\dfrac13\).

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par \(V=\dfrac13Bh\) où \(B\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) est la hauteur relative à cette base.

Comment réviser avec ce bac 2023 France

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Questions fréquentes sur ce bac 2023 France

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en France (jour 1)

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