Cours maths terminale

Le théorème de Gauss : cours de maths en terminale S

Un cours d’arithmétique sur le théorème de Gauss en terminale S spécialité.

I. Enoncé du théorème de Gauss

Théorème :

a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.Alors a divise c.

Autrement dit : si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre.

Démonstration :

Puisque a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe des entiers relatifs

u et v tels que au+bv=1.Donc (ac)u+(bc)v=c.Or a divise ac et bc donc a divise acu + bcv.

Il en résulte que a divise c.

II.Corollaire du théorème

Si un entier n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

Démonstration :

Par hypothèse, n=aq et n=bq’ avec q et q’ deux entiers naturels.Donc aq=bq’.

Puisque b divise aq et que b est premier avec a, il divise q.

Donc q=bp et n=abp.

On conclut que le produit ab divise n.

Généralisation :
Si n est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux deux à deux, n est divisible par leur produit.

Exemple :

Si un nombre est divisible par 3,7 et 11, alors il est divisible par 231 car 3,7 et 11 sont des entiers premiers entre eux deux à deux.

Application :

Pour prouver, par exemple, qu’un nombre est divisible par 6, il suffit de prouver qu’il est divisible par 2 et 3 car 2 et 3 sont premiers entre eux.

Ainsi pour tout entier naturel n>1, (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

En effet, n(n+1) est le produit de deux entiers consécutifs : il est donc divisible par 2.

et (n-1)n(n+1) est le produit de trois entiers consécutifs : il est donc divisible par 3.

Il en résulte que (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

Attention :

Théorème de GaussL’hypothèses a et b premiers entre eux est une hypothèse essentielle.

Si on démontre qu’un nombre est divisible par 4 et 6, on peut seulement conclure qu’il est divisible par 12, et non pas par 24.Ainsi 36 est divisible par 4 et 6, mais n’est pas divisible par 24.


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le théorème de Gauss : cours de maths en terminale S» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Des cours et exercices corrigés en terminale en vidéos

Les fiches de cours et exercices de maths les plus consultées Concours : gagnez une calculatrice TEXAS INSTRUMENT (TI)

Nouveau concours avec une calculatrice Texas Instrument à gagner.
Le tirage au sort sera effectué avec un logiciel de manière aléatoire chaque début de mois et les résultats seront annoncés sur notre page facebook.
Les gagnants seront tirés au sort parmi les bonnes réponses de nos abonnés de notre nouvelle chaîne Youtube.


je participe au tirage au sort en m'abonnant à la chaîne YouTube Je participe au concours afin de gagner la calculatrice.

D'autres documents similaires

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 1 603 782 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 149 018 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

Mathovore

GRATUIT
VOIR