Le théorème de Gauss : cours de maths en terminale S

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I. Enoncé du théorème de Gauss

Théorème :

a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.Alors a divise c.

Autrement dit : si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre.

Démonstration :

Puisque a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe des entiers relatifs

u et v tels que au+bv=1.Donc (ac)u+(bc)v=c.Or a divise ac et bc donc a divise acu + bcv.

Il en résulte que a divise c.

II.Corollaire du théorème

Si un entier n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

Démonstration :

Par hypothèse, n=aq et n=bq’ avec q et q’ deux entiers naturels.Donc aq=bq’.

Puisque b divise aq et que b est premier avec a, il divise q.

Donc q=bp et n=abp.

On conclut que le produit ab divise n.

Généralisation :
Si n est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux deux à deux, n est divisible par leur produit.

Exemple :

Si un nombre est divisible par 3,7 et 11, alors il est divisible par 231 car 3,7 et 11 sont des entiers premiers entre eux deux à deux.

Application :

Pour prouver, par exemple, qu’un nombre est divisible par 6, il suffit de prouver qu’il est divisible par 2 et 3 car 2 et 3 sont premiers entre eux.

Ainsi pour tout entier naturel n>1, (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

En effet, n(n+1) est le produit de deux entiers consécutifs : il est donc divisible par 2.

et (n-1)n(n+1) est le produit de trois entiers consécutifs : il est donc divisible par 3.

Il en résulte que (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

Attention :

Théorème de GaussL’hypothèses a et b premiers entre eux est une hypothèse essentielle.

Si on démontre qu’un nombre est divisible par 4 et 6, on peut seulement conclure qu’il est divisible par 12, et non pas par 24.Ainsi 36 est divisible par 4 et 6, mais n’est pas divisible par 24.

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