Sujet Nord 2025 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Nord, donné le 22 mai 2025, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice suit Victor, un basketteur qui enchaîne des tirs à trois points : loi binomiale, espérance du nombre de points, puis moyenne sur plusieurs matchs et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Par ailleurs, le deuxième reconstitue la méthode de Henry Briggs pour approcher ln(2) avec la suite des racines carrées successives de 2, un raisonnement par récurrence, une suite géométrique et une fonction Python à compléter. De plus, le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l’espace (cube, base de l’espace, plans parallèles, distance à un plan, droites coplanaires). En outre, le dernier étudie la fonction exponentielle fois sinus : convexité, point d’inflexion, double intégration par parties et calcul d’aire.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Amérique du Nord (jour 2).

Par ailleurs, vous préparez le bac de maths 2027 ? De plus, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Sujet Nord 2025 : organisation de l’épreuve

D’abord, ce sujet Nord 2025 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Nord (jour 2), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la loi binomiale, l’espérance d’une variable aléatoire, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et le raisonnement par récurrence. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
Amérique du Nord — 22 mai 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L’entraineur d’une équipe de basket décide d’étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu’à l’entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de \(0{,}32\).

Lors d’un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note \(N\) la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire \(N\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

4. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(N\).

5. On note \(T\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a. Exprimer \(T\) en fonction de \(N\).

b. En déduire l’espérance de la variable aléatoire \(T\). Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l’exercice.

c. Calculer \(P(12 \leq\, T \leq\, 18)\).

Partie B

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d’un match.

On admet que l’espérance \(E(X)=22\) et la variance \(V(X)=65\).

Victor joue \(n\) matchs, où \(n\) est un nombre entier strictement positif.

On note \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des \(1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \ldots, n\)-ième matchs. Par ailleurs, on admet que les variables aléatoires \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sont indépendantes et suivent la même loi que celle de \(X\).

On pose \(M_n=\dfrac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}\).

1. Dans cette question, on prend \(n=50\).

a. Que représente la variable aléatoire \(M_{50}\) ?

b. Déterminer l’espérance et la variance de \(M_{50}\).

c. Démontrer que \(P(|M_{50}-22| \geq\, 3) \leq\, \dfrac{13}{90}\).

d. En déduire que la probabilité de l’évènement « \(19 \lt M_{50} \lt 25\) » est strictement supérieure à 0,85.

2. Indiquer, en justifiant, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse :

« Il n’existe aucun entier naturel \(n\) tel que \(P(|M_n-22| \geq\, 3) \lt 0{,}01\) ».

Exercice 2 (5 points)

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel \(\ln(2)\), en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI^e siècle.

On désigne par \((u_n)\) la suite définie par :

\[u_0=2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1}=\sqrt{u_n}\]

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de \(u_1\) et de \(u_2\).

b. Émettre une conjecture, à l’aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Résoudre dans l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) l’équation \(\sqrt{x}=x\).

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite \((u_n)\).

Partie B

On désigne par \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=\ln(u_n)\).

1. a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), pour tout entier naturel \(n\).

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(2)=2^n\ln(u_n)\).

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe \(\mathscr{C}\) de la fonction ln et la tangente T à la courbe \(\mathscr{C}\) au point d’abscisse 1.

Une équation de la droite T est \(y=x-1\).

Les points \(\mathrm{A}_0\), \(\mathrm{A}_1\), \(\mathrm{A}_2\) ont pour abscisses respectives \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\) et pour ordonnée 0.

On décide de prendre \(x-1\) comme approximation de \(\ln(x)\) lorsque \(x\) appartient à l’intervalle \(]0{,}99\,;\,1{,}01[\).

a. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier naturel \(k\) tel que \(u_k\) appartienne à l’intervalle \(]0{,}99\,;\,1{,}01[\) et donner une valeur approchée de \(u_k\) à \(10^{-5}\) près.

b. En déduire une approximation de \(\ln(u_k)\).

c. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de \(\ln(2)\).

3. On généralise la méthode précédente à tout réel \(a\) strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin que l’appel Briggs(a) renvoie une approximation de \(\ln(a)\).

On rappelle que l’instruction en langage Python sqrt(a) correspond à \(\sqrt{a}\).

from math import*
def Briggs(a):
  n = 0
  while a >= 1.01:
    a = sqrt(a)
    n = n+1
  L =...
return L

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Partie A

ABCDEFGH est un cube d’arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : « \(\vec{\mathrm{JH}}=2\vec{\mathrm{BI}}+\vec{\mathrm{DM}}-\vec{\mathrm{CB}}\) »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs \((\vec{\mathrm{AB}},\ \vec{\mathrm{AH}},\ \vec{\mathrm{AG}})\) est une base de l’espace. »

Affirmation 3 : « \(\vec{\mathrm{IB}} \cdot \vec{\mathrm{LM}}=-\dfrac{1}{4}\). »

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :

le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(2x-y+3z+6=0\) ;
les points \(\mathrm{A}(2\,;\,0\,;\,-1)\) et \(\mathrm{B}(5\,;\,-3\,;\,7)\).

Affirmation 4 : « Le plan \(\mathcal{P}\) et la droite (AB) sont parallèles. »

De plus, Affirmation 5 : « Le plan \(\mathcal{P}^{\prime}\) parallèle à \(\mathcal{P}\) passant par B a pour équation cartésienne \(-2x+y-3z+34=0\) »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan \(\mathcal{P}\) est égale à \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\). »

On note \((d)\) la droite de représentation paramétrique

\[\{\begin{array}{l} x=-12+2k \\ y=6 \\ z=3-5k \end{array}. \text{ où } k \in \mathbb{R}\]

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et \((d)\) ne sont pas coplanaires. »

Exercice 4 (5 points)

On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0\,;\,\pi]\) par

\[f(x)=\text{e}^x\sin(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère.

Partie A

1. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0\,;\,\pi]\),

\[f^{\prime}(x)=\text{e}^x[\sin(x)+\cos(x)].\]

b. Justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).

2. a. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0.

b. Démontrer que la fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).

c. En déduire que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\), \(\text{e}^x\sin(x) \geq\, x\).

3. Justifier que le point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) de la courbe représentative de la fonction \(f\) est un point d’inflexion.

Partie B

On note

\[I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x\sin(x)\,\text{d}x \quad \text{et} \quad J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x\cos(x)\,\text{d}x.\]

1. En intégrant par parties l’intégrale \(I\) de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :

\[I=1+J \qquad \text{et} \qquad I=\text{e}^{\frac{\pi}{2}}-J.\]

2. En déduire que \(I=\dfrac{1+\text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}\).

3. On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x\).

Les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l’intervalle \([0\,;\,\pi]\).

Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine hachuré situé entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d’équation \(x=0\) et \(x=\dfrac{\pi}{2}\).

Comment réviser avec ce sujet Nord 2025

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la loi binomiale ou l’espérance d’une variable aléatoire, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article loi binomiale de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les pièges classiques

Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour une espérance, vérifiez que les probabilités de la loi somment à 1 avant de calculer.
Pour l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifiez d’abord que l’intervalle est bien centré sur l’espérance, sinon la majoration ne s’applique pas telle quelle.

Sujet Nord 2025 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la loi binomiale, l’espérance d’une variable aléatoire et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais aussi le raisonnement par récurrence.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Amérique du Nord (jour 2)

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