Sujet Nord 2022 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet du jour 2 de l’épreuve de spécialité mathématiques du bac 2022 en Amérique du Nord, posé le 19 mai 2022. Par ailleurs, le candidat choisissait trois exercices sur quatre. De plus, le premier suit les vélos d’une société de location qui passent d’une station à l’autre : arbres pondérés, formule de Bayes, suite arithmético-géométrique démontrée par récurrence et seuil calculé avec le logarithme. Le deuxième étudie un polynôme de degré 3, puis la fonction \(\dfrac{\text{e}^x}{1+x^2}\) qui sert de profil à un toboggan dont on cherche les points d’inflexion. En outre, le troisième place un triangle de verre et deux rayons laser dans une salle d’exposition (produit scalaire, plan, droite orthogonale). Ensuite, le dernier est un QCM sur le logarithme et la loi binomiale. Par ailleurs, le corrigé détaillé de chaque question suit l’énoncé.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Amérique du Nord (jour 2).

En outre, vous préparez le bac de maths 2027 ? Ensuite, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Sujet Nord 2022 : présentation de l’épreuve

D’abord, ce sujet Nord 2022 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Amérique du Nord (jour 2), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence, la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
Amérique du Nord — 19 mai 2022 — Jour 2
Épreuve d’enseignement de spécialité Mathématiques — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points)

Thème : probabilités, suites

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.

La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location.

On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

D’après une étude statistique :

Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à \(0{,}84\) ;
Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à \(0{,}76\).

À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.

On considère un vélo de la société pris au hasard.

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on définit les évènements suivants :

\(A_n\) : « le vélo se trouve au point A le \(n\)-ième matin »
\(B_n\) : « le vélo se trouve au point B le \(n\)-ième matin ».

Exercice 1 du sujet Nord 2022 : questions 1 à 6

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(a_n\) la probabilité de l’évènement \(A_n\) et \(b_n\) la probabilité de l’évènement \(B_n\). Ainsi \(a_1 = 0{,}5\) et \(b_1 = 0{,}5\).

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :

2. a. Calculer \(a_2\).

b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.

3. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les \(n\)-ième et \(n+1\)-ième matins.

b. Justifier que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(a_{n+1} = 0{,}6a_n + 0{,}24\).

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(a_n = 0{,}6 – 0{,}1 \times 0{,}6^{n-1}\).

5. Déterminer la limite de la suite \((a_n)\) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.

6. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(a_n \geq\, 0{,}599\) et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (7 points)

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit \(p\) la fonction définie sur l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\) par :

\[p(x) = x^3 – 3x^2 + 5x + 1\]

1. Déterminer les variations de la fonction \(p\) sur l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\).

2. Justifier que l’équation \(p(x) = 0\) admet dans l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\) une unique solution qui sera notée \(\alpha\).

3. Déterminer une valeur approchée du réel \(\alpha\) au dixième près.

4. Donner le tableau de signes de la fonction \(p\) sur l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\) par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x^2}\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\).

b. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.

2. Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe \(\mathcal{C}_f\) comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.

a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.

b. On admet que la fonction \(f^{\prime\prime}\), dérivée seconde de la fonction \(f\), a pour expression pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([-3\ ;\ 4]\) :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{p(x)(x – 1)\text{e}^x}{(1 + x^2)^3}\]

où \(p\) est la fonction définie dans la partie A.

En utilisant l’expression précédente de \(f^{\prime\prime}\), répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.

Exercice 3 (7 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m.

Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où OB = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.

On utilise le repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\) tel que \(\vec{\imath} = \dfrac16\vec{\text{OB}}\), \(\vec{\jmath} = \dfrac18\vec{\text{OD}}\) et \(\vec{k} = \dfrac14\vec{\text{OE}}\).

Dans ce repère on a, en particulier C(6 ; 8 ; 0), F(6 ; 0 ; 4) et G(6 ; 8 ; 4).

Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour sommets A(6 ; 0 ; 2), R(6 ; 3 ; 4) et T(3 ; 0 ; 4), Enfin, S est le point de coordonnées \((3\ ;\ \dfrac52\ ;\ 0)\).

1. a. Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.

b. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{AR}} \cdot \vec{\text{AT}}\).

c. En déduire une valeur approchée à \(0{,}1\) degré près de l’angle \(\widehat{\text{RAT}}\).

2. a. Justifier que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ART).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ART).

Exercice 3 du sujet Nord 2022 : questions 3 à 4

3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART).

a. Soit \(\Delta\) la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S.

Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) :

\[\{\begin{array}{lcr} x = 3+2k\\ y = \dfrac52 – 2k\\ z = 3k \end{array}.,\quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]

b. Soit L le point d’intersection de la droite \(\Delta\), avec le plan (ART).

Démontrer que L a pour coordonnées \((5\ ;\ \dfrac12\ ;\ 3)\).

4. L’artiste installe un rail représenté par le segment [DK] ou K est le milieu du segment [EH].

Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.

a. Montrer que, pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0\ ;\ 1]\), le point N de coordonnées \((0\ ;\ 8 – 4t\ ;\ 4t)\) est un point du segment [DK].

b. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires.

Exercice 4 (7 points)

Thème : fonction logarithme népérien, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point

Question 1

Le réel \(a\) est définie par \(a = \ln(9) + \ln(\dfrac{\sqrt{3}}{3}) + \ln(\dfrac19)\) est égal à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(1 – \dfrac12\ln(3)\)	\(\dfrac12\ln(3)\)	\(3\ln(3) + \dfrac12\)	\(-\dfrac12\ln(3)\)

Question 2

On note \((E)\) l’équation suivante \(\ln x + \ln(x – 10) = \ln 3 + \ln 7\) d’inconnue le réel \(x\).

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
3 est solution de \((E)\).	\(5 – \sqrt{46}\) est solution de \((E)\).	L’équation \((E)\) admet une unique solution réelle.	L’équation \((E)\) admet deux solutions réelles.

Question 3

La fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\) par l’expression \(f(x) = x^2(-1 + \ln x)\).

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

Exercice 4 : questions 4 à 6

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
Pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\), \(f^{\prime}(x) = 2x + \dfrac1x\).	La fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \(]0\ ;\ +\infty[\).	\(f^{\prime}(\sqrt{\text{e}})\) est différent de \(0\).	La droite d’équation \(y = -\dfrac12\text{e}\) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(\sqrt{\text{e}}\).

Question 4

Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.

La probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au millième, est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
0,683	0,346	0,230	0,165

Question 5

Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.

La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au milllième, est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
0,078	0,259	0,337	0,922

Question 6

Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus.

On réalise l’expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.

On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.

Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
0,4	1,2	2	2,5

Sujet Nord 2022 : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les suites arithmético-géométriques ou le raisonnement par récurrence. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à suites arithmético-géométriques propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Sujet Nord 2022 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence et la fonction logarithme népérien, mais aussi la fonction exponentielle.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Amérique du Nord (jour 2)

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