Intégrales et primitives : exercices de maths en terminale corrigés.

La dérivation et les intégrales à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également entamer vos révisions avec les énoncés à difficultés croissantes afin de combler vos lacunes et progresser tout au long de l’année scolaire sur le chapitre des intégrales.

Exercice 1 – Calcul intégral
Calculer
$I= \int_{1}\;^{2}\frac{1+x^2}{1+x}dx$
en cherchant une intégrale intermédiaire de la forme
$J = \int_{1}\;^{2}\frac{f(x)}{g(x)}dx$
qui s’intégrera facilement.

Exercice 2 – Intégration par partie
Calculer ces intégrales en intégrant par parties:
A.    $\int_{0}^{3}x\sqrt{3-x}dx$ .
B.    $\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x^2}dx$ .
C.       $\int_{0}^{\pi}xcos(\frac{x}{2})dx$ .

Exercice 3 – Dérivée d’une fonction
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x}$ .
Quelle est la dérivée de sur $\mathbb{R}^{+*}$ ?

Exercice 4 – Limite d’une fonction et asymptotes
Soit  une fonction définie sur $]-\infty,;0]\cup,[1;+\infty,[$ tel que $f(x)=\sqrt{x^2-x}+x$ .
1. a. Déterminer la limite de  en $+\infty$ .
b. Déterminer la limite de  en $-\infty$ , que peut-on en déduire pour la courbe de  ?
2. Cette fonction est-elle dérivable en 0 ? en 1?
Que peut -on en déduire pour la courbe de  ?
3. a. Déterminer la limite en $+\infty$ de $\frac{f(x)}{x}$ .
b. déterminer la limite en $+\infty$ de
En déduire que la courbe de  admet une asymptote oblique en $+\infty$ .

Exercice 5 – Fonction numérique et dérivée
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}-,,\{,3,,\}$ par $f(x)=\frac{-2x^2+3x+7}{x-3}$
et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.
1.a.Déterminer les limites de f en $+\infty$ et $-\infty$ .
b.Etudier le comportement asymptotique de f en 3.Interpréter les résultats graphiquement.
2.a.Déterminer la dérivée de f et étudier les variations de f.Dresser le tableau de variation complet de f.
3.a.Montrer que la courbe de f admet la droite (D) d’équation y = – 2x – 3 comme asymptote oblique en $+\infty$ et $-\infty$ .
b.Déterminer algébriquement la position relative de la courbe C et de la droite (D).
4.Soit S(3;- 9).Montrer que S est le centre de symétrie de la courbe C.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
5. Construire la courbe C et y faire apparaître les éléments remarquables.

Exercice 6 – Intégrales et suites numériques au Bac S Liban
On considère la suite  définie, pour tout entier naturel n , par :
$U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx$
1.
a. Montrer que  .
b. Calculer , en déduire  .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $U_n\geq\, 0$ .
3.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
$U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}$
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
$U_n\leq\, \frac{1-e^{-n}}{n}$
4. Déterminer la limite de la suite .

Exercice 7 – Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie

Soit f la fonction déﬁnie pour tout nombre réel x par $f(x) = (1 + x)e^{-x}$
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe de f(x) sur $\mathbb{R}$ .

b. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$ .
Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$ .

c. On note f ‘ la fonction dérivée de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .
Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).

En déduire les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On note la suite déﬁnie pour tout entier naturel n par :
$I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx$

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de en fonction de n.

a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0$ .

b. Montrer que la suite est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}$

b. En déduire l’expression de en fonction de n.

c. Déterminer $\lim_{n \mapsto +\infty }I_n$ .

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que
$\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e$ .

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

Exercice 8 – Dérivée
On considère la fonction numérique  définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x)=cos^4\,x,-,cos^2\,x$ .
1. Calculer  et  .
En déduire que  est constant .
2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$ .

Exercice 9 – Intégration par partie
Calculer :
$I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt$

Exercice 10 – Le calcul de primitives
Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .
a. $f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.$
b. $f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.$
c. $f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+{1}{2}x^4\,.$
d. $f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.$
d. $f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.$
e. $f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.$
f. $f(x)=cos(x)+sin(x)\,.$
g. $f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.$
h. $f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.$
i. $f(x)=ln(x)\,.$
j. $f(x)=sinx\times cos^2 x\,.$
k. $f(x)=sin(-3x+1)\,.$
l. $f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.$
m. $f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.$
(Indication : penser à $\frac{u'v-uv'}{v^2}=({\frac{u}{v}})^'\,.$ ).

Exercice 11

Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.
a. $f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.$
b. $f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.$
c. $f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.$

Exercice 12
Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.$
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,
$f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.$
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .

Exercice 13 – Extrait bac s sur l’intégration par partie
1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout $x\in ]0;+\infty[$ :
$\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}$ .
2. Soit $X\ge 1$ .
a. Calculer $\int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2}$ .
b. Soit f la fonction définie sur $x\in [1;+\infty[$ par $f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx$
En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .
c. Montrer que $\lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})$

Exercice 14 – Les intégrales et les primitives

Calculer l’intégrale proposée :
a. $\int_2^{3} 0 dt \,.$
b. $\int_{-1}^{2} (-x+6) dx \,.$
c. $\int_0^{4} (2x^2+8x-1) dx \,.$
d. $\int_0^{\frac{2\pi}{3}} (cosx) dx \,.$
e. $\int_{-2}^{0} (x^5+4x^3+x^2-x) dx \,.$
f. $\int_1^{3} (\frac{1}{x^2}) dx \,.$
g. $\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{cos^2 x}) dx \,.$
h. $\int_{3}^{4}(\frac{1}{\sqrt{2x+5}}) dx \,.$

Exercice 15 – calculs d’aires
Soit $f(x)=x^2+1 \,.$
I=[-1;0].
est délimité par l’axe des abscisse, la courbe , les droites d’équations x=-1 et x=0 .
Démontrer que f est positive sur I et calculer l’aire du domaine $D\,.$

Exercice 16 – propriétés de l’intégration
On considère $\int_a^{b} f(x) dx=5 \,.$ et $\int_a^{b} g(x) dx=3 \,.$
a. Calculer $\int_a^{b} (2f(x)-4g(x)) dx \,.$
b. Déterminer $\beta \,.$ sachant que : $\int_a^{b} (4f(x)-\beta g(x)) dx=2 \,.$

Exercice 17 – propriétés de l’intégration
Justifier sans calcul le résultat suivant :
$\int_{-5}^{5} (x^3-tan x) dx=0 \,.$

Exercice 18
Calculer l’intégrale proposée en linéarisant :
a. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^2x dx \,.$
b. $\int_0^{\frac{\pi}{4}} sin x.cos x dx \,.$

Exercice 19
Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2} \,.$ .
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1, $f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2} \,.$
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[.

Voir Exercices 11 à 19...

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