Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur les intégrales et primitives en terminale S

Mise à jour le 2 mai 2018

Signalez une ERREUR exercices de maths en terminale S

Des exercices de maths en terminale S sur les intégrales et primitives.

Intégrales et suites numériques au Bac S Liban

On considère la suite ( U_n) définie, pour tout entier naturel n , par :

$U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx$

1.

a. Montrer que .

b. Calculer U_1 , en déduire U_0 .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $U_n\geq\, 0$ .

3.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

$U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}$

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,

$U_n\leq\, \frac{1-e^{-n}}{n}$

4. Déterminer la limite de la suite ( U_n) .

Corrigé de cet exercice

Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie

Soit f la fonction déﬁnie pour tout nombre réel x par $f(x) = (1 + x)e^{-x}$

.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe de f(x) sur $\mathbb{R}$ .

b. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$ .

Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$ .

c. On note f’ la fonction dérivée de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).

En déduire les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On note (I_n)

la suite déﬁnie pour tout entier naturel n par :

$I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx$

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I_n

en fonction de n.

a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0$ .

b. Montrer que la suite (I_n)

est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :

$\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}$

b. En déduire l’expression de I_n

en fonction de n.

c. Déterminer $\lim_{n \mapsto +\infty }I_n$ .

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que

$\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e$ .

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

Corrigé de cet exercice

Dérivée

On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$

par $f(x)=cos^4\,x\,-\,cos^2\,x$ .

1. Calculer $f\,'(x)$ et f''(x) .

En déduire que est constant .

2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$ .

Corrigé de cet exercice

Calculs d’intégrales

Corrigé de cet exercice

Calculs de primitives

Corrigé de cet exercice

Intégration par partie

Calculer :

$I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt$

Corrigé de cet exercice

Exercices sur le calcul de primitives

Exercice n° 1 :

Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .

a. $f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.$

b. $f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.$

c. $f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+{1}{2}x^4\,.$

d. $f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.$

d. $f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.$

e. $f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.$

f. $f(x)=cos(x)+sin(x)\,.$

g. $f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.$

h. $f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.$

i. $f(x)=ln(x)\,.$

j. $f(x)=sinx\times cos^2 x\,.$

k. $f(x)=sin(-3x+1)\,.$

l. $f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.$

m. $f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.$
(Indication : penser à $\frac{u'v-uv'}{v^2}=({\frac{u}{v}})^'\,.$ ).

Exercice n° 2 :

Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.

a. $f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.$

b. $f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.$

c. $f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.$

Exercice n° 3 :

Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.$

a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,

$f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.$

b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .

Corrigé de cet exercice

Extrait bac s sur l’intégration par partie

1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout $x\in ]0;+\infty[$ :

$\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}$ .

2. Soit $X\ge 1$ .

a. Calculer $\int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2}$ .

b. Soit f la fonction définie sur $x\in [1;+\infty[$ par $f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx$

En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .

c. Montrer que $\lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})$

Corrigé de cet exercice

12 Partages

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «exercices sur les intégrales et primitives en terminale S» au format PDF.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Des cours et exercices expliqués en vidéos

Voir Plus de Vidéos

Rejoignez-nous sur notre chaîne YouTube

Concours : gagnez une PS4 ou un Ipad Pro

Nouveau concours avec une console Playstation 4 (PS4 ) ou une tableatte Ipad Pro à gagner.
Le tirage au sort sera effectué avec un logiciel de manière aléatoire chaque début de mois et les résultats seront annoncés sur notre page facebook.
Les gagnants seront tirés au sort parmi les 1 000 premiers abonnés de notre nouvelle chaîne Youtube.

Je participe au tirage au sort en m'abonnant à la chaîne YouTube.

Mathovore c'est 1 550 432 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 147 092 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

✕

Mathovore

GRATUIT

VOIR