Intégrales et primitives : exercices de maths en terminale corrigés.

Des exercices de maths en terminale sur la dérivation et les intégrales, vous pouvez également entamer vos révisions avec les exercices corrigés en terminale en PDF ou les intégrales.

Exercice 1 – Calcul intégral
Calculer
$I= \int_{1}\;^{2}\frac{1+x^2}{1+x}dx$
en cherchant une intégrale intermédiaire de la forme
$J = \int_{1}\;^{2}\frac{f(x)}{g(x)}dx$
qui s’intégrera facilement.

Exercice 2 – Intégration par partie
Calculer ces intégrales en intégrant par parties:
A.    $\int_{0}^{3}x\sqrt{3-x}dx$ .
B.    $\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x^2}dx$ .
C.       $\int_{0}^{\pi}xcos(\frac{x}{2})dx$ .

Exercice 3 – Dérivée d’une fonction
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x}$ .
Quelle est la dérivée de sur $\mathbb{R}^{+*}$ ?

Exercice 4 – Limite d’une fonction et asymptotes
Soit  une fonction définie sur $]-\infty,;0]\cup,[1;+\infty,[$ tel que $f(x)=\sqrt{x^2-x}+x$ .
1. a. Déterminer la limite de  en $+\infty$ .
b. Déterminer la limite de  en $-\infty$ , que peut-on en déduire pour la courbe de  ?
2. Cette fonction est-elle dérivable en 0 ? en 1?
Que peut -on en déduire pour la courbe de  ?
3. a. Déterminer la limite en $+\infty$ de $\frac{f(x)}{x}$ .
b. déterminer la limite en $+\infty$ de
En déduire que la courbe de  admet une asymptote oblique en $+\infty$ .

Exercice 5 – Fonction numérique et dérivée
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}-,,\{,3,,\}$ par $f(x)=\frac{-2x^2+3x+7}{x-3}$
et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.
1.a.Déterminer les limites de f en $+\infty$ et $-\infty$ .
b.Etudier le comportement asymptotique de f en 3.Interpréter les résultats graphiquement.
2.a.Déterminer la dérivée de f et étudier les variations de f.Dresser le tableau de variation complet de f.
3.a.Montrer que la courbe de f admet la droite (D) d’équation y = – 2x – 3 comme asymptote oblique en $+\infty$ et $-\infty$ .
b.Déterminer algébriquement la position relative de la courbe C et de la droite (D).
4.Soit S(3;- 9).Montrer que S est le centre de symétrie de la courbe C.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
5. Construire la courbe C et y faire apparaître les éléments remarquables.

Exercice 6 – Intégrales et suites numériques au Bac S Liban
On considère la suite  définie, pour tout entier naturel n , par :
$U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx$
1.
a. Montrer que  .
b. Calculer , en déduire  .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $U_n\geq\, 0$ .
3.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
$U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}$
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
$U_n\leq\, \frac{1-e^{-n}}{n}$
4. Déterminer la limite de la suite .

Exercice 7 – Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie

Soit f la fonction déﬁnie pour tout nombre réel x par $f(x) = (1 + x)e^{-x}$
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe de f(x) sur $\mathbb{R}$ .

b. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$ .
Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$ .

c. On note f ‘ la fonction dérivée de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .
Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).

En déduire les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On note la suite déﬁnie pour tout entier naturel n par :
$I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx$

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de en fonction de n.

a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0$ .

b. Montrer que la suite est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}$

b. En déduire l’expression de en fonction de n.

c. Déterminer $\lim_{n \mapsto +\infty }I_n$ .

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que
$\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e$ .

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

Exercice 8 – Dérivée
On considère la fonction numérique  définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x)=cos^4\,x,-,cos^2\,x$ .
1. Calculer  et  .
En déduire que  est constant .
2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$ .

Exercice 9 – Intégration par partie
Calculer :
$I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt$

Exercice 10 – Le calcul de primitives
Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .
a. $f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.$
b. $f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.$
c. $f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+{1}{2}x^4\,.$
d. $f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.$
d. $f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.$
e. $f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.$
f. $f(x)=cos(x)+sin(x)\,.$
g. $f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.$
h. $f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.$
i. $f(x)=ln(x)\,.$
j. $f(x)=sinx\times cos^2 x\,.$
k. $f(x)=sin(-3x+1)\,.$
l. $f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.$
m. $f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.$
(Indication : penser à $\frac{u'v-uv'}{v^2}=({\frac{u}{v}})^'\,.$ ).

Exercice 11

Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.
a. $f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.$
b. $f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.$
c. $f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.$

Exercice 12
Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.$
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,
$f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.$
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .

Exercice 13 – Extrait bac s sur l’intégration par partie
1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout $x\in ]0;+\infty[$ :
$\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}$ .
2. Soit $X\ge 1$ .
a. Calculer $\int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2}$ .
b. Soit f la fonction définie sur $x\in [1;+\infty[$ par $f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx$
En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .
c. Montrer que $\lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})$

Exercice 14 – Les intégrales et les primitives

Calculer l’intégrale proposée :
a. $\int_2^{3} 0 dt \,.$
b. $\int_{-1}^{2} (-x+6) dx \,.$
c. $\int_0^{4} (2x^2+8x-1) dx \,.$
d. $\int_0^{\frac{2\pi}{3}} (cosx) dx \,.$
e. $\int_{-2}^{0} (x^5+4x^3+x^2-x) dx \,.$
f. $\int_1^{3} (\frac{1}{x^2}) dx \,.$
g. $\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{cos^2 x}) dx \,.$
h. $\int_{3}^{4}(\frac{1}{\sqrt{2x+5}}) dx \,.$

Exercice 15 – calculs d’aires
Soit $f(x)=x^2+1 \,.$
I=[-1;0].
est délimité par l’axe des abscisse, la courbe , les droites d’équations x=-1 et x=0 .
Démontrer que f est positive sur I et calculer l’aire du domaine $D\,.$

Exercice 16 – propriétés de l’intégration
On considère $\int_a^{b} f(x) dx=5 \,.$ et $\int_a^{b} g(x) dx=3 \,.$
a. Calculer $\int_a^{b} (2f(x)-4g(x)) dx \,.$
b. Déterminer $\beta \,.$ sachant que : $\int_a^{b} (4f(x)-\beta g(x)) dx=2 \,.$

Exercice 17 – propriétés de l’intégration
Justifier sans calcul le résultat suivant :
$\int_{-5}^{5} (x^3-tan x) dx=0 \,.$

Exercice 18
Calculer l’intégrale proposée en linéarisant :
a. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^2x dx \,.$
b. $\int_0^{\frac{\pi}{4}} sin x.cos x dx \,.$

Exercice 19
Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2} \,.$ .
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1, $f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2} \,.$
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[.

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