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Intégrales et primitives : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.


 La dérivation et les intégrales à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également entamer vos révisions avec les énoncés à difficultés croissantes afin de combler vos lacunes et progresser tout au long de l’année scolaire sur le chapitre des intégrales.

Exercice 1 – Calcul intégral
Calculer
I= \int_{1}\;^{2}\frac{1+x^2}{1+x}dx
en cherchant une intégrale intermédiaire de la forme
J = \int_{1}\;^{2}\frac{f(x)}{g(x)}dx
qui s’intégrera facilement.

Exercice 2 – Intégration par partie
Calculer ces intégrales en intégrant par parties:
A.    \int_{0}^{3}x\sqrt{3-x}dx  .
B.      \int_{1}^{e}\frac{lnx}{x^2}dx .
C.         \int_{0}^{\pi}xcos(\frac{x}{2})dx .

Exercice 3 – Dérivée d’une fonction
Soit  f  la fonction définie sur  \mathbb{R}^{+*} par f(x)=\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x}.
Quelle est la dérivée de f sur \mathbb{R}^{+*} ?

Exercice 4 – Limite d’une fonction et asymptotes
Soit f une fonction définie sur ]-\infty,;0]\cup,[1;+\infty,[ tel que f(x)=\sqrt{x^2-x}+x .
1. a. Déterminer la limite de f en +\infty .
b. Déterminer la limite de f en -\infty , que peut-on en déduire pour la courbe de f ?
2. Cette fonction est-elle dérivable en 0 ? en 1?
Que peut -on en déduire pour la courbe de f ?
3. a. Déterminer la limite en +\infty de \frac{f(x)}{x} .
b. déterminer la limite en +\infty de [f(x)-2x]
En déduire que la courbe de f admet une asymptote oblique en +\infty .

Exercice 5 – Fonction numérique et dérivée
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}-,,\{,3,,\} par f(x)=\frac{-2x^2+3x+7}{x-3}
et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.
1.a.Déterminer les limites de f en +\infty et -\infty.
b.Etudier le comportement asymptotique de f en 3.Interpréter les résultats graphiquement.
2.a.Déterminer la dérivée de f et étudier les variations de f.Dresser le tableau de variation complet de f.
3.a.Montrer que la courbe de f admet la droite (D) d’équation y = – 2x – 3 comme asymptote oblique en +\infty et -\infty.
b.Déterminer algébriquement la position relative de la courbe C et de la droite (D).
4.Soit S(3;- 9).Montrer que  S est le centre de symétrie de la courbe C.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
5. Construire la courbe C et y faire apparaître les éléments remarquables.

Exercice 6 – Intégrales et suites numériques au Bac S Liban
On considère la suite ( U_n) définie, pour tout entier naturel n , par :
U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx
1.
a. Montrer que U_0+U_1=1 .
b. Calculer U_1, en déduire U_0 .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, U_n\geq\, 0.
3.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
U_n\leq\, \frac{1-e^{-n}}{n}
4. Déterminer la limite de la suite ( U_n).

Exercice 7 – Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f(x) = (1 + x)e^{-x}
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe de f(x) sur \mathbb{R}.

b. Déterminer la limite de la fonction f en -\infty.
Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

c. On note f ‘ la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).

En déduire les variations de la fonction f sur \mathbb{R}.

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On note (I_n) la suite définie pour tout entier naturel n par :
I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I_n en fonction de n.

a. Montrer que, pour tout n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0.

b. Montrer que la suite (I_n) est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :
\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}

b. En déduire l’expression de I_n en fonction de n.

c. Déterminer\lim_{n \mapsto   +\infty }I_n .

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer \alpha \in \mathbb{R} tel que
\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e.

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

Exercice 8 – Dérivée
On considère la fonction numérique f définie sur \mathbb{R}
par f(x)=cos^4\,x,-,cos^2\,x .
1. Calculer f,'(x) et f''(x) .
En déduire que f''(x)+16f(x) est constant .
2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx .

Exercice 9 – Intégration par partie
Calculer :
I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt

Exercice 10 – Le calcul de primitives
Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .
a.  f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.
b.  f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.
c.  f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+{1}{2}x^4\,.
d.  f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.
d.  f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.
e.  f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.
f.  f(x)=cos(x)+sin(x)\,.
g.  f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.
h.  f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.
i.  f(x)=ln(x)\,.
j.  f(x)=sinx\times   cos^2 x\,.
k.  f(x)=sin(-3x+1)\,.
l.  f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.
m.  f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.
(Indication : penser à  \frac{u'v-uv'}{v^2}=({\frac{u}{v}})^'\,. ).

Exercice 11 

Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.
a.  f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.
b.  f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.
c.  f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.

Exercice 12 
Soit  f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,
 f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .

Exercice 13 – Extrait bac s sur l’intégration par partie
1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout  x\in ]0;+\infty[ :
 \frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2} .
2. Soit  X\ge 1 .
a. Calculer  \int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2} .
b. Soit f la fonction définie sur  x\in [1;+\infty[ par  f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx
En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .
c. Montrer que  \lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})

Exercice 14 – Les intégrales et les primitives

Calculer l’intégrale proposée :
a.  \int_2^{3} 0 dt \,.
b.  \int_{-1}^{2} (-x+6) dx \,.
c.  \int_0^{4} (2x^2+8x-1) dx \,.
d.  \int_0^{\frac{2\pi}{3}} (cosx) dx \,.
e.  \int_{-2}^{0} (x^5+4x^3+x^2-x) dx \,.
f.  \int_1^{3} (\frac{1}{x^2}) dx \,.
g.  \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{cos^2 x}) dx \,.
h.  \int_{3}^{4}(\frac{1}{\sqrt{2x+5}}) dx \,.

Exercice 15 – calculs d’aires
Soit  f(x)=x^2+1 \,.
I=[-1;0].
 D est délimité par l’axe des abscisse, la courbe  C, les droites d’équations x=-1 et x=0 .
Démontrer que f est positive sur I et calculer l’aire du domaine  D\,.

Exercice 16 – propriétés de l’intégration
On considère  \int_a^{b} f(x) dx=5 \,. et  \int_a^{b} g(x) dx=3 \,.
a. Calculer  \int_a^{b} (2f(x)-4g(x)) dx \,.
b. Déterminer  \beta \,. sachant que :  \int_a^{b} (4f(x)-\beta g(x)) dx=2 \,.

Exercice 17 – propriétés de l’intégration
Justifier sans calcul le résultat suivant :
 \int_{-5}^{5} (x^3-tan x) dx=0 \,.

Exercice 18
Calculer l’intégrale proposée en linéarisant :
a.  \int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^2x dx \,.
b.  \int_0^{\frac{\pi}{4}} sin x.cos x dx \,.

Exercice 19
Soit  f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2} \,..
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,  f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2} \,.
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[.

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