Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur les intégrales et primitives en terminale S

Des exercices de maths en terminale S sur les intégrales et primitives.

Intégrales et suites numériques au Bac S Liban

On considère la suite ( U_n) définie, pour tout entier naturel n , par :

U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx

1.

a. Montrer que U_0+U_1=1 .

b. Calculer U_1, en déduire U_0 .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, U_n\geq\, 0.

3.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,

U_n\leq\, \frac{1-e^{-n}}{n}

4. Déterminer la limite de la suite ( U_n).

Corrigé de cet exercice

Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f(x) = (1 + x)e^{-x}
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) d’unité graphique 1 cm.
1. a. Étudier le signe de f(x) sur \mathbb{R}.
b. Déterminer la limite de la fonction f en -\infty.
Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.
c. On note f’ la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).
En déduire les variations de la fonction f sur \mathbb{R}.
d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].
2. On note (I_n) la suite définie pour tout entier naturel n par :
 I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx
Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I_n en fonction de n.
a. Montrer que, pour tout n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0.
b. Montrer que la suite (I_n) est croissante.
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :
\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}
b. En déduire l’expression de I_n en fonction de n.
c. Déterminer\lim_{n \mapsto +\infty }I_n .
d. Donner une interprétation graphique de cette limite.
4. Déterminer \alpha \in \mathbb{R} tel que
\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e.
Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

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Dérivée

On considère la fonction numérique f définie sur \mathbb{R}  

par f(x)=cos^4\,x\,-\,cos^2\,x .

1. Calculer f\,'(x) et f''(x) .

En déduire que f''(x)+16f(x) est constant .

2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx .

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Calculs d’intégrales

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Calculs de primitives

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Intégration par partie

Calculer :

I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt

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Exercices sur le calcul de primitives

Exercice n° 1 :

Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .

a.  f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.

b.  f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.

c.  f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+{1}{2}x^4\,.

d.  f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.

d.  f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.

e.  f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.

f.  f(x)=cos(x)+sin(x)\,.

g.  f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.

h.  f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.

i.  f(x)=ln(x)\,.

j.  f(x)=sinx\times cos^2 x\,.

k.  f(x)=sin(-3x+1)\,.

l.  f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.

m.  f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.
(Indication : penser à  \frac{u'v-uv'}{v^2}=({\frac{u}{v}})^'\,. ).

Exercice n° 2 :

Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.

a.  f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.

b.  f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.

c.  f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.

Exercice n° 3 :

Soit  f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.

a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,

 f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.

b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .

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Extrait bac s sur l’intégration par partie

1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout  x\in ]0;+\infty[ :

 \frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2} .

2. Soit  X\ge 1 .

a. Calculer  \int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2} .

b. Soit f la fonction définie sur  x\in [1;+\infty[ par  f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx

En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .

c. Montrer que  \lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})

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