Voici le sujet n° 1 du bac de maths 2024 proposé dans les centres étrangers (jour 1), épreuve de spécialité de terminale d’une durée de quatre heures, suivi de son corrigé complet rédigé sur une page dédiée. Les quatre exercices, notés chacun sur 5 points, balaient une large partie du programme.
Le premier exercice relie une fonction rationnelle et son sens de variation à des probabilités conditionnelles : arbre pondéré, formule des probabilités totales et valeur prédictive d’un test antidopage. Le deuxième étudie la fonction \(x \mapsto 2x\mathrm{e}^{-x}\) et une suite récurrente : raisonnement par récurrence, convergence, limite égale à \(\ln(2)\) et script Python de seuil. Le troisième porte sur une équation différentielle du premier ordre avec second membre trigonométrique, puis sur un calcul d’intégrale. Le dernier relève de la géométrie dans l’espace : vecteur normal, équation cartésienne d’un plan, représentations paramétriques, hauteurs d’un tétraèdre et projeté orthogonal.
Pour tirer profit de cette annale, traitez le sujet en temps limité, sans regarder la solution, puis confrontez votre copie au corrigé détaillé : chaque réponse y est justifiée comme on l’attend le jour de l’examen, ce qui permet de repérer ses erreurs de méthode et de rédaction.
Centres étrangers 2024 : ce que contient le sujet
Tout d’abord, ce sujet des centres étrangers 2024 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 aux centres étrangers, reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la fonction exponentielle, le raisonnement par récurrence et les limites. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Centres Etrangers – SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Jour 1
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.
Exercice 1 (5 points)
Partie A
On définit la fonction \(f\) sur l’intervalle [0 ; 1] par :
\[f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}\]
1. Démontrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle [0 ; 1],
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2}\]
2. Déterminer le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle [0 ; 1].
Partie B
La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage
qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant 1000 sportifs, une équipe médicale teste tous les
concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.
On appelle \(x\) le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :
- la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale
à 0,96 ; - la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est
égale à 0,03.
On note :
- \(D\) l’événement : « le sportif est dopé ».
- \(T\) l’événement : « le test est positif ».
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
2. Déterminer, en fonction de \(x\), la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test
positif.
3. Démontrer que la probabilité de l’événement \(T\) est égale à \(0{,}93x+0{,}03\).
4. Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a 50 sportifs dopés parmi les
1000 testés.
La fonction \(f\) désigne la fonction définie à la partie A.
Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est
égale à \(f(0{,}05)\).
En donner une valeur arrondie au centième.
Exercice 1 des centres étrangers 2024, partie B : question 5
5. On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit
réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
a. Déterminer à partir de quelle valeur de \(x\) la valeur prédictive positive du test étudié
sera supérieure ou égale à 0,9. Arrondir le résultat au centième.
b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des
sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus
fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du
test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
Exercice 2 (5 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle [0 ; 1] par \(f(x)=2x\mathrm{e}^{-x}\).
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle [0 ; 1].
1. a. Résoudre sur l’intervalle [0 ; 1] l’équation \(f(x)=x\).
b. Démontrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle [0 ; 1], \(f^{\prime}(x)=2(1-x)\mathrm{e}^{-x}\).
c. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle [0 ; 1].
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0{,}1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n\) entier naturel, \(0\leq\, u_n\lt u_{n+1}\leq\, 1\).
b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
3. Démontrer que la limite de la suite \((u_n)\) est \(\ln(2)\).
4. a. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(2)-u_n\) est positif.
b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de \(\ln(2)\)
par défaut à \(10^{-4}\) près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.
def seuil():
n=0
u=0.1
while ln(2) - u … 0.0001:
n=n+1
u=…
return (u,n)
c. Donner la valeur de la variable n renvoyée par la fonction seuil().
Exercice 3 (5 points)
On considère l’équation différentielle \((E_0) : y^{\prime}=y\) où \(y\) est une fonction dérivable
de la variable réelle \(x\).
1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle \((E_0)\)
est la fonction nulle.
2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle \((E_0)\).
On considère l’équation différentielle \((E) : y^{\prime}=y-\cos(x)-3\sin(x)\) où \(y\) est une
fonction dérivable de la variable réelle \(x\).
3. La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=2\cos(x)+\sin(x)\).
On admet qu’elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que la fonction \(h\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).
4. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que : « \(f\) est solution de \((E)\) » est équivalent à « \(f-h\) est solution de \((E_0)\) ».
5. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle \((E)\).
6. Déterminer l’unique solution \(g\) de l’équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0)=0\).
7. Calculer :
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(-2\mathrm{e}^x+\sin(x)+2\cos(x))\mathrm{d}x\]
Exercice 4 (5 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
On considère :
les points \(A(-2 ; 0 ; 2)\), \(B(-1 ; 3 ; 0)\), \(C(1 ; -1 ; 2)\) et \(D(0 ; 0 ; 3)\).
la droite \(D_1\) dont une représentation paramétrique est :
\[\begin{cases} x=t \\ y=3t \\ z=3+5t \end{cases} \text{ avec } t\in\mathbb{R}\]
la droite \(D_2\) dont une représentation paramétrique est :
\[\begin{cases} x=1+3s \\ y=-1-5s \\ z=2-6s \end{cases} \text{ avec } s\in\mathbb{R}\]
1. Démontrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) est orthogonal au plan \((ABC)\).
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est :
\[x+3y+5z-8=0\]
c. En déduire que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ne sont pas coplanaires.
3. a. Justifier que la droite \(D_1\) est la hauteur du tétraèdre \(ABCD\) issue de \(D\).
On admet que la droite \(D_2\) est la hauteur du tétraèdre \(ABCD\) issue de \(C\).
b. Démontrer que les droites \(D_1\) et \(D_2\) sont sécantes et déterminer les coordonnées
de leur point d’intersection.
4. a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) du point \(D\) sur le plan \((ABC)\).
b. Calculer la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\). Arrondir le résultat au centième.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 aux centres étrangers (sujet 1)
Bien travailler ce sujet des centres étrangers 2024
Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la fonction exponentielle. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.
Les erreurs fréquentes à éviter
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Questions fréquentes sur ce sujet des centres étrangers 2024
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la fonction exponentielle et le raisonnement par récurrence, mais aussi les limites.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
