Bac 2023 Liban : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, cette page présente le bac 2023 Liban : énoncé complet et lien vers la correction.

Ensuite, cette page reprend le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 des centres étrangers du groupe 1 (Madagascar et de nombreux pays d’Afrique et d’Europe), posé le 13 mars 2023, avec son corrigé détaillé sur une page dédiée. Par ailleurs, un QCM ouvre l’épreuve : limite d’une suite, dérivée de \(x^2\ln x\), signe d’une primitive, choix du bon programme Python de dichotomie et loi binomiale. Le deuxième exercice suit l’état des trottinettes électriques d’une grande ville, semaine après semaine, avec un arbre pondéré, une suite arithmético-géométrique puis une loi binomiale sur un lot de 15 trottinettes. De plus, le troisième se passe dans un prisme droit à base trapèze : plan (IGJ), projeté orthogonal et volume d’un tétraèdre. En outre, le dernier examine trois affirmations sur une population de bactéries modélisée par une exponentielle.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 à Mayotte et au Liban (jour 1).

Par ailleurs, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2023 Liban : le sujet en un coup d’œil

Tout d’abord, ce bac 2023 Liban correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 à Mayotte et au Liban (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 6, 6 et 3 points. De plus, on y mobilise surtout les limites, la dérivation, la fonction logarithme népérien et l’algorithmique en Python. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
Centres étrangers groupe 1 (dont Madagascar) — 13 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 — QCM (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1 :

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie pour tout \(n\) entier naturel par

\[u_n = \dfrac{1 + 2^n}{3 + 5^n}.\]

Cette suite :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
diverge vers \(+\infty\)	converge vers \(\dfrac25\)	converge vers 0	converge vers \(\dfrac13\)

Question 2 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(f(x) = x^2\ln x\).

L’expression de la fonction dérivée de \(f\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f^{\prime}(x) = 2x\ln x\)	\(f^{\prime}(x) = x(2\ln x + 1)\)	\(f^{\prime}(x) = 2\)	\(f^{\prime}(x) = x\)

Question 3 :

On considère une fonction \(h\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\) dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
Variations de \(h\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

On note \(H\) la primitive de \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en 0.

Elle vérifie la propriété :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(H\) est positive sur \(]-\infty~;~0]\).	\(H\) est croissante sur \(]-\infty~;~1]\).	\(H\) est négative sur \(]-\infty~;~1]\).	\(H\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 1 du bac 2023 Liban : questions 4 à 5

Question 4 :

Soit deux réels \(a\) et \(b\) avec \(a \lt b\).

On considère une fonction \(f\) définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle \([a~;~b]\) et qui s’annule en un réel \(\alpha\).

Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(0{,}001\) est :

def racine(a, b) :
    while abs(b - a) >= 0.001 :
        m = (a + b)/2
        if f(m) < 0 :
            b = m
        else :
            a = m
    return m

def racine(a, b) :
    m = (a + b)/2
    while abs(b - a) >= 0.001 :
        if f(m) < 0 :
            a = m
        else :
            b = m
    return m

def racine(a, b) :
    m = (a + b)/2
    while abs(b - a) <= 0.001 :
        if f(m) < 0 :
            a = m
        else :
            b = m
    return m

def racine (a, b) :
    while abs (b - a) >= 0.001 :
        m = (a + b)/2
        if f(m) < 0 :
            a = m
        else :
            b = m
    return m

Question 5 :

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont 7 sont bleues et les autres vertes.

On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\((\dfrac{7}{10})^2 \times \dfrac{3}{10}\)	\((\dfrac{3}{10})^2\)	\(\displaystyle\binom\,{10}{2}(\dfrac{7}{10})(\dfrac{3}{10})^2\)	\(\displaystyle\binom\,{3}{2}(\dfrac{7}{10})(\dfrac{3}{10})^2\)

Exercice 2 (6 points)

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

Partie A

On estime que :

lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est \(0{,}9\) ;
lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est \(0{,}4\).

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.

Soit \(n\) un entier naturel. On note \(B_n\) l’évènement « la trottinette est en bon état \(n\) semaines après sa mise en service » et \(p_n\) la probabilité de \(B_n\).

Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc \(p_0 = 1\).

1. Donner \(p_1\) et montrer que \(p_2 = 0{,}85\).

On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(p_{n+1} = 0{,}5p_n + 0{,}4\).

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(p_n \geq\, 0{,}8\).

b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?

5. a. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = p_n – 0{,}8\).

Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

b. En déduire l’expression de \(u_n\) puis de \(p_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire la limite de la suite \((p_n)\).

Partie B

Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à \(0{,}8\).

On note \(X\) la variable aléatoire qui, à un lot de 15 trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.

Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que les 15 trottinettes soient en bon état.

3. Calculer la probabilité qu’au moins 10 trottinettes soient en bon état dans un lot de 15.

4. On admet que \(E(X) = 12\). Interpréter le résultat.

Exercice 3 (6 points)

On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE, trapèze rectangle en A.

On associe à ce prisme le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\) tel que :

\[\vec{\imath} = \dfrac14\vec{\text{AB}}, \quad \vec{\jmath} = \dfrac14\vec{\text{AD}}, \quad \vec{k} = \dfrac18\vec{\text{AE}}.\]

De plus on a \(\vec{\text{BF}} = \dfrac12\vec{\text{AE}}\).

On note I le milieu du segment [EF].

On note J le milieu du segment [AE].

1. Donner les coordonnées des points I et J.

2. Soit \(\vec{n}\) le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\).

a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\) est normal au plan (IGJ).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\), perpendiculaire au plan (IGJ) et passant par H.

4. On note L le projeté orthogonal du point H sur le plan (IGJ).

Montrer que les coordonnées de L sont \((\dfrac83~;~\dfrac43~;~\dfrac{16}{3})\).

5. Calculer la distance du point H au plan (IGJ).

6. Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I.

7. En déduire le volume du tétraèdre IGJH.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :
\(V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}\).

Exercice 4 (3 points)

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par

\[f(t) = \text{e}^3 – \text{e}^{-0{,}5t^2 + t + 2}\]

où \(t\) désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous.

Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera 21 000 bactéries ».
Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de 10 000 à deux reprises au cours du temps ».

Bac 2023 Liban : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les limites ou la dérivation, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article limites de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Bac 2023 Liban : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les limites, la dérivation et la fonction logarithme népérien, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 à Mayotte et au Liban (jour 1)

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