Bac maths 2022 Mayotte-Liban J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2022 des centres étrangers du groupe 1 (Madagascar, Liban…), posé le 19 mai 2022, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question juste en dessous. Le premier exercice part de la proportion de cadres chez les femmes et les hommes d’une entreprise : arbre pondéré, indépendance, formule de Bayes, loi binomiale et taille minimale d’échantillon. Le deuxième se déroule dans un cube de côté 1, avec un plan orthogonal à une diagonale de face, un projeté orthogonal et le volume du tétraèdre LAGH. Le troisième est un QCM sur la convexité, la lecture de la courbe d’une dérivée, des suites et le temps de génération d’une cellule. Le dernier étudie \(\text{e}^{-x}+\ln(x)\), puis deux suites croisées définies par \(a_{n+1}=\text{e}^{-b_n}\) et \(b_{n+1}=\text{e}^{-a_n}\).

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 2 (jour 2)
Centres étrangers groupe 1 (Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine) — 19 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Madagascar : chaque exercice est noté sur 6 points. La clarté et la précision de l’argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (6 points)

Thème : Probabilités

Les résultats seront arrondis si besoin à \(10^{-4}\) près.

Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :

48 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 16,5 % exercent une profession de cadre ;
52 % des salariés sont des hommes. Parmi eux, 21,5 % exercent une profession de cadre.

On choisit une personne au hasard parmi les salariés. On considère les évènements suivants :

\(F\) : « la personne choisie est une femme » ;
\(C\) : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.

3. a. Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à \(0{,}191\).

b. Les évènements \(F\) et \(C\) sont-ils indépendants ? Justifier.

4. Calculer la probabilité de \(F\) sachant \(C\), notée \(P_C(F)\). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

5. On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l’entreprise permet d’assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l’échantillon de 15 salariés.

On rappelle que la probabilité qu’un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à \(0{,}191\).

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Calculer la probabilité que l’échantillon contienne au plus 1 cadre.

c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

6. Soit \(n\) un entier naturel.

On considère dans cette question un échantillon de \(n\) salariés.

Quelle doit être la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à \(0{,}99\) ?

Exercice 2 (6 points)

Thème : Géométrie dans l’espace

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

1. a. Justifier que les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

b. Justifier que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

c. En déduire que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

2. Donner les coordonnées du vecteur \(\vec{\text{ED}}\).

Déduire de la question 1. c. qu’une équation cartésienne du plan (AGH) est :

\[y-z=0.\]

3. On désigne par L le point de coordonnées \((\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,0)\).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EL).

b. Déterminer l’intersection de la droite (EL) et du plan (AGH).

c. Démontrer que le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées \((\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\).

d. Montrer que la distance du point L au plan (AGH) est égale à \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

e. Déterminer le volume du tétraèdre LAGH.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V=\dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base})\times \text{hauteur}.\]

Exercice 3 (6 points)

Thème : Fonctions ; Suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^{1000}+x\).

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la fonction \(g\) est concave sur \(\mathbb{R}\).	la fonction \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).	la fonction \(g\) possède exactement un point d’inflexion.	la fonction \(g\) possède exactement deux points d’inflexion.

2. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\).

On note \(\Gamma\) la courbe représentative de \(f^{\prime}\).

On a tracé ci-contre la courbe \(\Gamma\).

On note \(T\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 0.

On peut affirmer que la tangente \(T\) est parallèle à la droite d’équation :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(y=x\)	\(y=0\)	\(y=1\)	\(x=0\)

3. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\).

On peut affirmer que la suite \((u_n)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
majorée et non minorée.	minorée et non majorée.	bornée.	non majorée et non minorée.

4. Soit \(k\) un nombre réel non nul.

Soit \((v_n)\) une suite définie pour tout entier naturel \(n\).

On suppose que \(v_0=k\) et que pour tout \(n\), on a \(v_n\times v_{n+1}\lt 0\).

On peut affirmer que \(v_{10}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
positif.	négatif.	du signe de \(k\).	du signe de \(-k\).

5. On considère la suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[w_{n+1}=2w_n-4\quad\text{et}\quad w_2=8.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(w_0=0\)	\(w_0=5\).	\(w_0=10\).	Il n’est pas possible de calculer \(w_0\).

6. (Cette question ne fait pas partie du sujet donné à Madagascar.) On considère la suite \((a_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[a_{n+1}=\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}a_n\quad\text{et}\quad a_0=1.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la suite \((a_n)\) est strictement croissante.	la suite \((a_n)\) est strictement décroissante.	la suite \((a_n)\) n’est pas monotone.	la suite \((a_n)\) est constante.

7. Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite.

On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu’une cellule donnée se divise en deux cellules.

On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4 000 cellules.

On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
moins d’une minute.	12 minutes.	20 minutes.	1 heure.

Exercice 4 (6 points)

Thème : Fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme ; Suites

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) de \(]0\,;\,1]\) par :

\[f(x)=\text{e}^{-x}+\ln(x).\]

1. Calculer la limite de \(f\) en 0.

2. On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,1]\). On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;\,1]\), on a :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x\text{e}^{-x}}{x}\]

3. Justifier que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;\,1]\), on a \(x\text{e}^{-x}\lt 1\).

En déduire le tableau de variation de \(f\) sur \(]0\,;\,1]\).

4. Démontrer qu’il existe un unique réel \(\ell\) appartenant à \(]0\,;\,1]\) tel que \(f(\ell)=0\).

Partie B

1. On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par :

\[\{\begin{array}{l} a_0=\dfrac{1}{10}\\ b_0=1\end{array}.\quad\text{et, pour tout entier naturel } n,\quad\{\begin{array}{l} a_{n+1}=\text{e}^{-b_n}\\ b_{n+1}=\text{e}^{-a_n}\end{array}.\]

a. Calculer \(a_1\) et \(b_1\). On donnera des valeurs approchées à \(10^{-2}\) près.

b. On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.

def termes (n) :
  a=1/10
  b=1
  for k in range(0,n) :
    c= ...
    b = ...
    a = c
  return(a,b)

Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites \((a_n)\) et \((b_n)\).

2. On rappelle que la fonction \(x\longmapsto \text{e}^{-x}\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\]

b. En déduire que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont convergentes.

3. On note \(A\) la limite de \((a_n)\) et \(B\) la limite de \((b_n)\).

On admet que \(A\) et \(B\) appartiennent à l’intervalle \(]0\,;\,1]\), et que \(A=\text{e}^{-B}\) et \(B=\text{e}^{-A}\).

a. Démontrer que \(f(A)=0\).

b. Déterminer \(A-B\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. On lit l’énoncé : \(P(F)=0{,}48\), \(P_F(C)=0{,}165\), et, en notant \(H=\overline{F}\) l’évènement « la personne choisie est un homme », \(P(H)=0{,}52\) et \(P_H(C)=0{,}215\). Sur chaque nœud, les probabilités des branches issues d’un même point ont pour somme 1, d’où \(P_F(\overline{C})=1-0{,}165=0{,}835\) et \(P_H(\overline{C})=1-0{,}215=0{,}785\). On obtient l’arbre suivant :

2. On cherche \(P(F\cap C)\). On multiplie les probabilités le long du chemin « \(F\) puis \(C\) » :

\[P(F\cap C)=P(F)\times P_F(C)=0{,}48\times 0{,}165=0{,}0792.\]

La probabilité que la personne choisie soit une femme cadre est \(0{,}0792\).

3. a. Les évènements \(F\) et \(H\) forment une partition de l’ensemble des salariés. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(C)=P(F\cap C)+P(H\cap C)=0{,}0792+0{,}52\times 0{,}215=0{,}0792+0{,}1118=0{,}191.\]

On a bien \(P(C)=0{,}191\).

b. \(F\) et \(C\) sont indépendants si et seulement si \(P(F\cap C)=P(F)\times P(C)\). Or \(P(F)\times P(C)=0{,}48\times 0{,}191=0{,}09168\), alors que \(P(F\cap C)=0{,}0792\). Ces deux nombres sont différents, donc les évènements \(F\) et \(C\) ne sont pas indépendants : être une femme modifie la probabilité d’être cadre dans cette entreprise.

4. Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[P_C(F)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}0792}{0{,}191}\approx 0{,}4147.\]

Donc \(P_C(F)\approx 0{,}4147\) : parmi les cadres de l’entreprise, environ 41,5 % sont des femmes (alors que les femmes représentent 48 % de l’ensemble des salariés).

5. a. On répète 15 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « le salarié choisi est cadre » a pour probabilité \(p=0{,}191\). La variable \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0{,}191\).

b. « Au plus 1 cadre » correspond à \(X\leq\, 1\), c’est-à-dire \(X=0\) ou \(X=1\) :

\[P(X\leq\, 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}809^{15}+\binom\,{15}{1}\times 0{,}191\times 0{,}809^{14}\approx 0{,}0413+0{,}1477.\]

Donc \(P(X\leq\, 1)\approx 0{,}1890\).

c. L’espérance d’une loi binomiale est \(E(X)=np\), donc \(E(X)=15\times 0{,}191=2{,}865\) : sur un grand nombre d’échantillons de 15 salariés, on trouve en moyenne un peu moins de 3 cadres.

6. Avec un échantillon de \(n\) salariés, le nombre \(Y\) de cadres suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}191\). L’évènement « au moins un cadre » est le contraire de « aucun cadre », donc :

\[P(Y\geq\, 1)=1-P(Y=0)=1-0{,}809^n.\]

On résout l’inéquation :

\[1-0{,}809^n\geq\, 0{,}99\iff 0{,}809^n\leq\, 0{,}01\iff n\ln(0{,}809)\leq\,\ln(0{,}01)\]

en appliquant la fonction \(\ln\), strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). Comme \(\ln(0{,}809)\lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l’inégalité :

\[n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}809)}\approx 21{,}73.\]

Comme \(n\) est entier, la valeur minimale est \(n=22\). Vérification : \(0{,}809^{21}\approx 0{,}0116\gt 0{,}01\) et \(0{,}809^{22}\approx 0{,}0094\leq\, 0{,}01\).

Exercice 2 :

Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on a : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).

1. a. Les points A, D, H, E sont les sommets d’une face du cube, donc ADHE est un carré. Les droites (AH) et (ED) sont ses deux diagonales. Or les diagonales d’un carré se coupent à angle droit : les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

b. La face EFGH est un carré, donc (GH) est perpendiculaire à (HE). La face DCGH est un carré, donc (GH) est perpendiculaire à (HD). Les droites (HE) et (HD) sont deux droites sécantes (en H) du plan (EDH). Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan : la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

c. Comme (GH) est orthogonale au plan (EDH), elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à (ED). D’autre part, (ED) est perpendiculaire à (AH) d’après la question 1. a. Ainsi (ED) est orthogonale aux deux droites (AH) et (GH), qui sont sécantes en H et contenues dans le plan (AGH). Donc (ED) est orthogonale au plan (AGH).

2. \(\vec{\text{ED}}\) a pour coordonnées \((0-0\,;\,1-0\,;\,0-1)\), soit \(\vec{\text{ED}}(0\,;\,1\,;\,-1)\).

D’après la question 1. c., \(\vec{\text{ED}}\) est un vecteur normal au plan (AGH). Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme \(0x+1y-1z+d=0\), soit \(y-z+d=0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan, donc \(0-0+d=0\), d’où \(d=0\). Le plan (AGH) a donc pour équation \(y-z=0\). (Contrôle : G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1) vérifient bien \(1-1=0\).)

3. a. La droite (EL) passe par E(0 ; 0 ; 1) et est dirigée par \(\vec{\text{EL}}(\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,-1)\). Un point M(x ; y ; z) appartient à (EL) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{EM}}=t\,\vec{\text{EL}}\), ce qui donne la représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l} x=\dfrac{2}{3}t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. On remplace \(y\) et \(z\) dans l’équation du plan : \(t-(1-t)=0\iff 2t-1=0\iff t=\dfrac{1}{2}\). Pour cette valeur, \(x=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\), \(y=\dfrac{1}{2}\) et \(z=\dfrac{1}{2}\). La droite (EL) coupe donc le plan (AGH) en un seul point, le point de coordonnées \((\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\).

c. Il faut vérifier deux choses : K appartient au plan (AGH), et \(\vec{\text{LK}}\) est normal à ce plan.

K appartient au plan : \(y_K-z_K=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0\).
\(\vec{\text{LK}}(\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}-1\,;\,\dfrac{1}{2}-0)=(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\), donc \(\vec{\text{LK}}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text{ED}}\) : il est colinéaire au vecteur normal \(\vec{\text{ED}}\).

Le point K est le point du plan (AGH) tel que (LK) soit orthogonale au plan : K est le projeté orthogonal de L sur (AGH).

d. La distance de L au plan (AGH) est la distance LK :

\[\text{LK}=\sqrt{0^2+(-\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

La distance de L au plan (AGH) vaut bien \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

e. On prend comme base le triangle AGH, contenu dans le plan (AGH) ; la hauteur associée issue de L est alors LK. Le triangle AGH est rectangle en H, car (GH) est orthogonale au plan (EDH) qui contient (AH). Ses côtés de l’angle droit mesurent HG = 1 (arête du cube) et \(\text{AH}=\sqrt{2}\) (diagonale d’un carré de côté 1). Son aire vaut :

\[\mathcal{A}_{\text{AGH}}=\dfrac{\text{AH}\times \text{HG}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times 1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

Le volume du tétraèdre est alors :

\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{6}.\]

Le volume du tétraèdre LAGH est \(\dfrac{1}{6}\) unité de volume.

Exercice 3 :

1. Réponse b. \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g^{\prime}(x)=1000x^{999}+1\) et \(g^{\prime\prime}(x)=999\,000\,x^{998}\). L’exposant 998 étant pair, \(g^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) pour tout réel \(x\), et \(g^{\prime\prime}\) ne s’annule qu’en 0 sans changer de signe : \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) et n’a aucun point d’inflexion.

2. Réponse a. Le coefficient directeur de \(T\) est \(f^{\prime}(0)\), qu’on lit sur \(\Gamma\) : le point de \(\Gamma\) d’abscisse 0 a pour ordonnée 1, donc \(f^{\prime}(0)=1\). La tangente \(T\) a donc la même pente que la droite \(y=x\) : elles sont parallèles.

3. Réponse c. Pour tout \(n\), \(|u_n|=\dfrac{1}{n+1}\leq\, 1\), donc \(-1\leq\, u_n\leq\, 1\) : la suite est bornée (on a même \(-\dfrac{1}{2}\leq\, u_n\leq\, 1\)).

4. Réponse c. La condition \(v_n\times v_{n+1}\lt 0\) signifie que deux termes consécutifs sont de signes contraires : le signe change à chaque rang. Après un nombre pair de changements, on retrouve le signe de départ ; comme 10 est pair, \(v_{10}\) est du signe de \(v_0=k\).

5. Réponse b. On remonte la relation : \(w_{n}=\dfrac{w_{n+1}+4}{2}\). Donc \(w_1=\dfrac{8+4}{2}=6\) puis \(w_0=\dfrac{6+4}{2}=5\). Vérification : \(2\times 5-4=6\) et \(2\times 6-4=8\).

6. Réponse b. (Question absente du sujet de Madagascar.) Comme \(a_0=1\gt 0\) et que \(\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\gt 0\), une récurrence immédiate montre que \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\). De plus \(\text{e}^n\lt\text{e}^n+1\), donc \(0\lt\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\lt 1\), et en multipliant par \(a_n\gt 0\) : \(a_{n+1}\lt a_n\). La suite est strictement décroissante.

7. Réponse c. Après \(k\) divisions successives, une cellule a donné \(2^k\) cellules. On cherche \(k\) tel que \(2^k\approx 4000\) : \(2^{11}=2048\) et \(2^{12}=4096\), donc il y a eu environ 12 générations en 4 heures, soit 240 minutes. Le temps de génération vaut environ \(\dfrac{240}{12}=20\) minutes.

Exercice 4 :

Partie A

1. La fonction \(x\mapsto \text{e}^{-x}\) est continue en 0, donc \(\lim\limits_{x\to 0}\text{e}^{-x}=\text{e}^{0}=1\). Par ailleurs \(\lim\limits_{x\to 0,\,x\gt 0}\ln(x)=-\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty\) : la droite d’équation \(x=0\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).

2. La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{-x}\) est \(x\mapsto -\text{e}^{-x}\) (dérivée de \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=-x\)) et celle de \(\ln\) est \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\). Pour tout \(x\in\,]0\,;\,1]\) :

\[f^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-x\text{e}^{-x}}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1-x\text{e}^{-x}}{x}.\]

3. Soit \(x\in\,]0\,;\,1]\). Comme \(-x\lt 0\) et que la fonction exponentielle est strictement croissante, \(0\lt\text{e}^{-x}\lt\text{e}^0=1\). De plus \(0\lt x\leq\, 1\). En multipliant ces deux encadrements de nombres positifs, \(x\text{e}^{-x}\lt 1\times 1\), soit \(x\text{e}^{-x}\lt 1\).

Par conséquent \(1-x\text{e}^{-x}\gt 0\) ; comme \(x\gt 0\), le quotient \(f^{\prime}(x)\) est strictement positif sur \(]0\,;\,1]\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]0\,;\,1]\). On calcule \(f(1)=\text{e}^{-1}+\ln(1)=\text{e}^{-1}\approx 0{,}368\).

\(x\)	0 (exclu)		1
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)
variations de \(f\)	\(-\infty\)	croissante ↗	\(\text{e}^{-1}\)

4. Sur \(]0\,;\,1]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. Elle prend donc toutes les valeurs de l’intervalle \(]-\infty\,;\,\text{e}^{-1}]\), chacune une seule fois. Comme \(\text{e}^{-1}\gt 0\), le réel 0 appartient à cet intervalle. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\ell\) dans \(]0\,;\,1]\). À la calculatrice, \(\ell\approx 0{,}567\).

Partie B

1. a. En appliquant les formules avec \(n=0\) :

\[a_1=\text{e}^{-b_0}=\text{e}^{-1}\approx 0{,}37\qquad\text{et}\qquad b_1=\text{e}^{-a_0}=\text{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}90.\]

Donc \(a_1\approx 0{,}37\) et \(b_1\approx 0{,}90\).

b. La difficulté est que \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) se calculent tous les deux à partir des anciennes valeurs \(a_n\) et \(b_n\). Si l’on écrivait directement a = exp(-b), l’ancienne valeur de a serait perdue avant le calcul de b. On stocke donc le nouveau a dans la variable auxiliaire c, on calcule le nouveau b avec l’ancien a, puis on met à jour a. La fonction exponentielle s’importe depuis le module math :

from math import exp

def termes (n) :
  a=1/10
  b=1
  for k in range(0,n) :
    c= exp(-b)
    b = exp(-a)
    a = c
  return(a,b)

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la proposition : « \(0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\) ».

Initialisation. On a \(a_0=0{,}1\), \(a_1=\text{e}^{-1}\approx 0{,}368\), \(b_1=\text{e}^{-0{,}1}\approx 0{,}905\) et \(b_0=1\). Plus rigoureusement : \(-1\lt -0{,}1\lt 0\) et l’exponentielle est croissante, donc \(\text{e}^{-1}\leq\,\text{e}^{-0{,}1}\leq\, 1\), et \(\text{e}^{-1}\gt\dfrac{1}{3}\gt 0{,}1\) car \(\text{e}\lt 3\). Ainsi \(0\lt a_0\leq\, a_1\leq\, b_1\leq\, b_0\leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie : \(0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\). On applique à ces cinq nombres la fonction \(x\mapsto \text{e}^{-x}\), qui est décroissante sur \(\mathbb{R}\) et renverse donc l’ordre :

\[\text{e}^{-0}\geq\,\text{e}^{-a_n}\geq\,\text{e}^{-a_{n+1}}\geq\,\text{e}^{-b_{n+1}}\geq\,\text{e}^{-b_n}\geq\,\text{e}^{-1}.\]

Or \(\text{e}^{-a_n}=b_{n+1}\), \(\text{e}^{-a_{n+1}}=b_{n+2}\), \(\text{e}^{-b_{n+1}}=a_{n+2}\) et \(\text{e}^{-b_n}=a_{n+1}\). On obtient :

\[1\geq\, b_{n+1}\geq\, b_{n+2}\geq\, a_{n+2}\geq\, a_{n+1}\geq\,\text{e}^{-1}\gt 0,\]

c’est-à-dire \(0\lt a_{n+1}\leq\, a_{n+2}\leq\, b_{n+2}\leq\, b_{n+1}\leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\).

b. D’après la question précédente, pour tout \(n\) : \(a_n\leq\, a_{n+1}\), donc \((a_n)\) est croissante, et \(a_n\leq\, 1\), donc elle est majorée par 1. D’après le théorème de convergence monotone, \((a_n)\) converge. De même, \(b_{n+1}\leq\, b_n\) montre que \((b_n)\) est décroissante, et \(b_n\gt 0\) qu’elle est minorée par 0 : \((b_n)\) converge.

3. a. Comme \(A\gt 0\), on peut calculer \(\ln(A)\). De \(A=\text{e}^{-B}\) on tire \(\ln(A)=-B\), et comme \(B=\text{e}^{-A}\) :

\[f(A)=\text{e}^{-A}+\ln(A)=B+(-B)=0.\]

Donc \(f(A)=0\).

b. Le raisonnement est symétrique : \(B\gt 0\) et \(B=\text{e}^{-A}\) donnent \(\ln(B)=-A\), donc \(f(B)=\text{e}^{-B}+\ln(B)=A-A=0\). Ainsi \(A\) et \(B\) sont deux solutions de l’équation \(f(x)=0\) dans \(]0\,;\,1]\). D’après la partie A, question 4, cette équation n’a qu’une seule solution \(\ell\) sur cet intervalle, donc \(A=B=\ell\) et \(A-B=0\). Les deux suites ont la même limite \(\ell\approx 0{,}567\).

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