Sujet Liban 2022 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

De plus, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2022 des centres étrangers du groupe 1 (Madagascar, Liban…), posé le 19 mai 2022, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. En outre, le premier exercice part de la proportion de cadres chez les femmes et les hommes d’une entreprise : arbre pondéré, indépendance, formule de Bayes, loi binomiale et taille minimale d’échantillon. Ensuite, le deuxième se déroule dans un cube de côté 1, avec un plan orthogonal à une diagonale de face, un projeté orthogonal et le volume du tétraèdre LAGH. Par ailleurs, le troisième est un QCM sur la convexité, la lecture de la courbe d’une dérivée, des suites et le temps de génération d’une cellule. Le dernier étudie \(\text{e}^{-x}+\ln(x)\), puis deux suites croisées définies par \(a_{n+1}=\text{e}^{-b_n}\) et \(b_{n+1}=\text{e}^{-a_n}\).

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 2).

En outre, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Sujet Liban 2022 : ce que contient le sujet

D’abord, ce sujet Liban 2022 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 à Mayotte et au Liban (jour 2), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 6 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la géométrie dans l’espace et la convexité. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 2 (jour 2)
Centres étrangers groupe 1 (Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine) — 19 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Madagascar : chaque exercice est noté sur 6 points. La clarté et la précision de l’argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (6 points)

Thème : Probabilités

Les résultats seront arrondis si besoin à \(10^{-4}\) près.

Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :

48 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 16,5 % exercent une profession de cadre ;
52 % des salariés sont des hommes. Parmi eux, 21,5 % exercent une profession de cadre.

On choisit une personne au hasard parmi les salariés. On considère les évènements suivants :

\(F\) : « la personne choisie est une femme » ;
\(C\) : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.

3. a. Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à \(0{,}191\).

b. Les évènements \(F\) et \(C\) sont-ils indépendants ? Justifier.

4. Calculer la probabilité de \(F\) sachant \(C\), notée \(P_C(F)\). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

5. On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l’entreprise permet d’assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l’échantillon de 15 salariés.

On rappelle que la probabilité qu’un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à \(0{,}191\).

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Calculer la probabilité que l’échantillon contienne au plus 1 cadre.

c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

6. Soit \(n\) un entier naturel.

On considère dans cette question un échantillon de \(n\) salariés.

Quelle doit être la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à \(0{,}99\) ?

Exercice 2 (6 points)

Thème : Géométrie dans l’espace

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

1. a. Justifier que les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

b. Justifier que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

c. En déduire que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

2. Donner les coordonnées du vecteur \(\vec{\text{ED}}\).

Déduire de la question 1. c. qu’une équation cartésienne du plan (AGH) est :

\[y-z=0.\]

3. On désigne par L le point de coordonnées \((\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,0)\).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EL).

b. Déterminer l’intersection de la droite (EL) et du plan (AGH).

c. Démontrer que le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées \((\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\).

d. Montrer que la distance du point L au plan (AGH) est égale à \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

e. Déterminer le volume du tétraèdre LAGH.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V=\dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base})\times \text{hauteur}.\]

Exercice 3 (6 points)

Thème : Fonctions ; Suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^{1000}+x\).

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la fonction \(g\) est concave sur \(\mathbb{R}\).	la fonction \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).	la fonction \(g\) possède exactement un point d’inflexion.	la fonction \(g\) possède exactement deux points d’inflexion.

2. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Ensuite, on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\).

On note \(\Gamma\) la courbe représentative de \(f^{\prime}\).

Par ailleurs, on a tracé ci-contre la courbe \(\Gamma\).

On note \(T\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 0.

On peut affirmer que la tangente \(T\) est parallèle à la droite d’équation :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(y=x\)	\(y=0\)	\(y=1\)	\(x=0\)

Exercice 3 du sujet Liban 2022 : questions 3 à 6

3. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\).

On peut affirmer que la suite \((u_n)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
majorée et non minorée.	minorée et non majorée.	bornée.	non majorée et non minorée.

4. Soit \(k\) un nombre réel non nul.

Soit \((v_n)\) une suite définie pour tout entier naturel \(n\).

On suppose que \(v_0=k\) et que pour tout \(n\), on a \(v_n\times v_{n+1}\lt 0\).

On peut affirmer que \(v_{10}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
positif.	négatif.	du signe de \(k\).	du signe de \(-k\).

5. On considère la suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[w_{n+1}=2w_n-4\quad\text{et}\quad w_2=8.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(w_0=0\)	\(w_0=5\).	\(w_0=10\).	Il n’est pas possible de calculer \(w_0\).

6. (Cette question ne fait pas partie du sujet donné à Madagascar.) On considère la suite \((a_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[a_{n+1}=\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}a_n\quad\text{et}\quad a_0=1.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la suite \((a_n)\) est strictement croissante.	la suite \((a_n)\) est strictement décroissante.	la suite \((a_n)\) n’est pas monotone.	la suite \((a_n)\) est constante.

Exercice 3 du sujet Liban 2022 : question 7

7. Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite.

On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu’une cellule donnée se divise en deux cellules.

On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4 000 cellules.

On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
moins d’une minute.	12 minutes.	20 minutes.	1 heure.

Exercice 4 (6 points)

Thème : Fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme ; Suites

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) de \(]0\,;\,1]\) par :

\[f(x)=\text{e}^{-x}+\ln(x).\]

1. Calculer la limite de \(f\) en 0.

2. On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,1]\). On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;\,1]\), on a :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x\text{e}^{-x}}{x}\]

3. Justifier que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;\,1]\), on a \(x\text{e}^{-x}\lt 1\).

En déduire le tableau de variation de \(f\) sur \(]0\,;\,1]\).

4. Démontrer qu’il existe un unique réel \(\ell\) appartenant à \(]0\,;\,1]\) tel que \(f(\ell)=0\).

Partie B

1. On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par :

\[\{\begin{array}{l} a_0=\dfrac{1}{10}\\ b_0=1\end{array}.\quad\text{et, pour tout entier naturel } n,\quad\{\begin{array}{l} a_{n+1}=\text{e}^{-b_n}\\ b_{n+1}=\text{e}^{-a_n}\end{array}.\]

a. Calculer \(a_1\) et \(b_1\). On donnera des valeurs approchées à \(10^{-2}\) près.

b. On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.

def termes (n) :
  a=1/10
  b=1
  for k in range(0,n) :
    c= ...
    b = ...
    a = c
  return(a,b)

Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites \((a_n)\) et \((b_n)\).

2. On rappelle que la fonction \(x\longmapsto \text{e}^{-x}\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[0\lt a_n\leq\, a_{n+1}\leq\, b_{n+1}\leq\, b_n\leq\, 1\]

b. En déduire que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont convergentes.

3. On note \(A\) la limite de \((a_n)\) et \(B\) la limite de \((b_n)\).

On admet que \(A\) et \(B\) appartiennent à l’intervalle \(]0\,;\,1]\), et que \(A=\text{e}^{-B}\) et \(B=\text{e}^{-A}\).

a. Démontrer que \(f(A)=0\).

b. Déterminer \(A-B\).

Bien travailler ce sujet Liban 2022

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.

Questions fréquentes sur ce sujet Liban 2022

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la géométrie dans l’espace, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 2)

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