Bac 2025 Sud : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 1)

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Sud, passé le 13 novembre 2025, avec l’énoncé intégral et un corrigé détaillé rédigé question par question. Par ailleurs, le premier exercice suit un étudiant qui choisit chaque jour entre plat végétarien et non végétarien au restaurant universitaire : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique, trois programmes Python à départager et récurrence. De plus, le deuxième est un vrai-faux de dénombrement (poignées de main, podiums) et de probabilités (somme de deux variables aléatoires, loi binomiale conditionnée). Le troisième modélise la concentration d’un médicament dans le sang par une équation différentielle, puis étudie la fonction obtenue pour estimer la durée du risque de somnolence et une concentration moyenne. En outre, le dernier cherche le projeté orthogonal d’un point sur une droite, l’orthocentre d’un triangle de l’espace et son aire.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Amérique du Sud (jour 1).

Par ailleurs, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2025 Sud : le sujet en un coup d’œil

Tout d’abord, ce bac 2025 Sud correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Sud (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 5, 6 et 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques, l’algorithmique en Python et le raisonnement par récurrence. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Jour 1
Amérique du Sud — 13 novembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

Lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est \(0{,}9\).
Lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est \(0{,}7\).

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(V_n\) l’évènement « l’étudiant a choisi un plat végétarien le \(n^{\text{e}}\) jour » et \(p_n\) la probabilité de \(V_n\).

Le jour de la rentrée, l’étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc \(p_1=1\).

1. a. Indiquer la valeur de \(p_2\).

b. Montrer que \(p_3=0{,}88\). On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

c. Sachant que le 3^e jour l’étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?

On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

3. Justifier que, pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\), \(p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}7\).

4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite \((p_n)\) pour \(n \geq\, 1\).

Pour cela, on utilise une fonction appelée repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

Programme 1

1  def repas(n):
2    p=1
3    L=[p]
4    for k in range(1,n):
5      p = 0.2*p+0.7
6      L. append(p)
7    return(L)

Programme 2

1  def repas(n):
2    p=1
3    L=[p]
4    for k in range(1,n+1):
5      p = 0.2*p+0.7
6      L. append(p)
7    return(L)

Exercice 1 du bac 2025 Sud : questions 5 à 6

Programme 3

1  def repas(n):
2    p=1
3    L=[p]
4    for k in range(1,n):
5      p = 0.2*p+0.7
6      L.append(p+1)
7    return(L)

a. Lequel de ces programmes permet d’afficher les \(n\) premiers termes de la suite \((p_n)\) ? Aucune justification n’est attendue.

b. Avec le programme choisi à la question a. donner le résultat affiché pour \(n=5\).

5. Démontrer par récurrence que, pour tout naturel \(n \geq\, 1\), \(p_n=0{,}125\times 0{,}2^{n-1}+0{,}875\).

6. En déduire la limite de la suite \((p_n)\).

Exercice 2 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d’un match. Chaque joueur d’une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l’autre équipe.

Affirmation 1

47 poignées de mains ont été échangées.

2. Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.

Affirmation 2

Il y a 4 896 possibilités de distribuer ces prix.

3. Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d’établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d’arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l’un d’entre eux.

Affirmation 3

Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie.

4. Soit \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous :

\(x_i\)	\(-2\)	\(-1\)	2	5
\(P(X=x_i)\)	0,1	0,4	0,3	0,2

On suppose que \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes et on considère \(Y\) la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.

Affirmation 4

\(P(Y=4)=0{,}25\).

Exercice 2 du bac 2025 Sud : question 5

5. Un nageur s’entraîne dans l’objectif de parcourir le 50 mètres nage libre en moins de 25 secondes. Au fil des entraînements, il s’avère que la probabilité qu’il y parvienne s’établit à \(0{,}85\).

Il effectue, sur une journée, 20 parcours chronométrés sur 50 mètres. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de 25 secondes lors de cette journée.

On admet que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}85\).

Affirmation 5

Sachant qu’il a atteint au moins 15 fois son objectif, une valeur approchée à \(10^{-3}\) de la probabilité qu’il l’ait atteint au moins 18 fois est \(0{,}434\).

Exercice 3 (6 points)

On se propose d’étudier la concentration dans le sang d’un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit \(t\) le temps (en heures) écoulé depuis l’ingestion de ce médicament.

On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction \(f\) de la variable \(t\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

Partie A : lectures graphiques

On a représenté ci-dessus la courbe représentative de la fonction \(f\). Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification :

1. Le temps écoulé depuis l’instant de l’ingestion de ce médicament et l’instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle.

2. L’ensemble des solutions de l’inéquation \(f(t) \geq\, 1\).

3. La convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,8]\).

Partie B : détermination de la fonction \(f\)

On considère l’équation différentielle

\[(E)\ :\qquad y^{\prime}+y=5\text{e}^{-t},\]

d’inconnue \(y\), où \(y\) est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

On admet que la fonction \(f\) est une solution de l’équation différentielle \((E)\).

1. Résoudre l’équation différentielle \((E^{\prime})\ :\ y^{\prime}+y=0\).

2. Soit \(u\) la fonction définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par \(u(t)=at\text{e}^{-t}\) avec \(a \in \mathbb{R}\).

Déterminer la valeur du réel \(a\) telle que la fonction \(u\) soit solution de l’équation \((E)\).

3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\).

4. La personne n’ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que \(f(0)=0\).

Déterminer l’expression de la fonction \(f\).

Partie C : étude de la fonction \(f\)

Dans cette partie, on admet que \(f\) est définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(t)=5t\text{e}^{-t}\).

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

2. Étudier les variations de \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) puis dresser son tableau de variation complet.

3. Démontrer qu’il existe deux réels \(t_1\) et \(t_2\) tels que \(f(t_1)=f(t_2)=1\).

On donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) des réels \(t_1\) et \(t_2\).

4. Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence.

Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?

Partie D : concentration moyenne

La concentration moyenne du médicament (en gramme par litre de sang) durant la première heure est donnée par :

\[T_m=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\text{d}t\]

où \(f\) est la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(t)=5t\text{e}^{-t}\).

Calculer cette concentration moyenne.

On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près.

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points

\[\mathrm{A}(2\sqrt{3}\,;\,0\,;\,0),\quad \mathrm{B}(0\,;\,2\,;\,0),\quad \mathrm{C}(0\,;\,0\,;\,1)\quad \text{et}\quad \mathrm{K}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\,;\,0).\]

1. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite (CK) est :

\[\{\begin{array}{l} x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \\ y=\dfrac{3}{2}t \\ z=1-t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R})\]

2. Soit \(\mathrm{M}(t)\) un point de la droite (CK) paramétrée par un réel \(t\).

Établir que \(\mathrm{OM}(t)=\sqrt{4t^2-2t+1}\).

3. Soit \(f\) la fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t)=\mathrm{OM}(t)\).

a. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

b. En déduire la valeur de \(t\) pour laquelle \(f\) atteint son minimum.

4. En déduire que le point \(\mathrm{H}(\dfrac{\sqrt{3}}{8}\,;\,\dfrac{3}{8}\,;\,\dfrac{3}{4})\) est le projeté orthogonal du point O sur la droite (CK).

5. Démontrer, à l’aide de l’outil produit scalaire, que le point H est l’orthocentre (intersection des hauteurs d’un triangle) du triangle ABC.

6. a. Démontrer que la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

7. Calculer, en unité d’aire, l’aire du triangle ABC.

Bac 2025 Sud : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou les suites arithmético-géométriques, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Bac 2025 Sud : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques et l’algorithmique en Python, mais aussi le raisonnement par récurrence.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Amérique du Sud (jour 1)

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