Voici le sujet 1 du bac de maths posé en Amérique du Nord lors de la session 2024 : une épreuve de spécialité de terminale d’une durée de quatre heures, suivie de sa correction complète rédigée directement sous l’énoncé.
Le premier exercice mobilise les probabilités conditionnelles avec un arbre pondéré, puis la loi binomiale et la recherche d’un seuil. Le deuxième est un QCM de géométrie dans l’espace : représentations paramétriques de droites, position relative de deux droites et équation cartésienne d’un plan. Le troisième étudie une fonction mêlant logarithme népérien et inverse : lectures graphiques, limites, convexité, point d’inflexion et théorème des valeurs intermédiaires. Le dernier porte sur deux suites d’intégrales, l’intégration par parties et un script Python à compléter.
Pour réviser efficacement, traitez chaque exercice au brouillon en temps limité, sans calculatrice lorsque c’est possible, puis comparez votre rédaction avec la solution détaillée : démarche, justifications et résultats y sont mis en évidence. Le corrigé peut aussi être téléchargé en PDF pour travailler hors ligne.
L’essentiel : Corrigé du bac de maths Amérique du Nord, 2024 1 : chaque question est résolue avec les calculs et la méthode attendue. Idéal pour réviser l’examen en se corrigeant ; corrigé gratuit en PDF.
Bac Amérique Nord : le sujet en un coup d’œil
Tout d’abord, ce bac Amérique Nord correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Amérique du Nord (sujet 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 4, 5 et 6 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la géométrie dans l’espace et la fonction logarithme népérien. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Amérique du Nord SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Jour I
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
Exercice 1 : (5 points)
Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet
tiré peut être « commun » ou « rare ».
Deux types d’objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
– la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
– si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
– si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet.
On note
• R l’événement « le joueur tire un objet rare » ;
• E l’événement « le joueur tire une épée » ;
• \(\overline{R}\) et \(\overline{E}\) les événements contraires des événements R et E.
1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer \(P(R\cap E)\).
2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
3. Le joueur a tiré une épée.
Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare.
Arrondir le résultat au millième.
Partie B
Un joueur remporte 30 défis.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient
après avoir remporté 30 défis.
Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X.
Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
2. Déterminer \(P(X\lt 6)\). Arrondir le résultat au millième.
3. Déterminer la plus grande valeur de k telle que \(P(X\geq\, k)\geq\, 0{,}5\).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket
d’or » qui permet de tirer N objets.
La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur
obtienne au moins un objet rare lors de ces N tirages soit supérieure ou égale à 0,95.
Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif.
On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
Exercice 2 : (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat
indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification
n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une
question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes,
L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\).
1. On considère les points A(1 ; 0 ; 3) et B(4 ; 1 ; 0).
Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
a. \(\begin{cases} x=3+t \\ y=1 \\ z=-3+3t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\) b. \(\begin{cases} x=1+4t \\ y=t \\ z=3 \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)
c. \(\begin{cases} x=1+3t \\ y=t \\ z=3-3t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\) d. \(\begin{cases} x=4+t \\ y=1 \\ z=3-3t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)
On considère la droite (d) de représentation paramétrique :
\(\begin{cases} x=3+4t \\ y=6t \\ z=4-2t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).
2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite (d) ?
a. M(7;6;6) b. N(3,6,4) c. P(4;6;-2) d. R(- 3; – 9; 7).
3. On considère la droite (d’) de représentation paramétrique :
\(\begin{cases} x=-2+3k \\ y=-1-2k \\ z=1+k \end{cases}\) avec \(k\in\mathbb{R}\).
Les droites (d) et (d’) sont :
a. sécantes b. non coplanaires c. parallèles d. confondues
4. On considère le plan (P) passant par le point I(2; 1; 0) et perpendiculaire à la droite (d).
Une équation du plan (P) est :
a. \(2x+3y-z-7=0\)
b. \(-x+y-4z+1=0\)
c. \(4x+6y-2z+9=0\)
d. \(2x+y+1=0\)
Exercice 3 : (5 points)
Le but de cet exercice est d’étudier la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0;\,+\infty[\) par :
\(f(x)=x\ln(x^2)-\dfrac{1}{x}\)
Partie A : lectures graphiques
On a tracé ci-dessous la courbe représentative \((C_f)\) de la fonction \(f\), ainsi que la droite (T),
tangente à la courbe \((C_f)\) au point A de coordonnées (1 ; −1).
Cette tangente passe également par le point B(0 ; −4).
1. Lire graphiquement \(f^{\prime}(1)\) et donner l’équation réduite de la tangente (T).
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction f semble convexe ou concave.
Que semble représenter le point A pour la courbe \((C_f)\) ?
Partie B : étude analytique
1. Déterminer, en justifiant, la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis sa limite en 0.
2. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0;\,+\infty[\).
a. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour x appartenant à l’intervalle \(]0;\,+\infty[\).
b. Montrer que pour tout x appartenant à l’intervalle \(]0;\,+\infty[\),
\(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}\)
3. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0;\,+\infty[\).
b. Étudier les variations de la fonction \(f^{\prime}\), puis le signe de \(f^{\prime}(x)\) pour x appartenant à
l’intervalle \(]0;\,+\infty[\).
En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0;\,+\infty[\).
4. a. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur
l’intervalle \(]0;\,+\infty[\).
b. Donner la valeur arrondie au centième de \(\alpha\) et montrer que \(\alpha\) vérifie :
\(\alpha^2=\exp(\dfrac{1}{\alpha^2})\).
Exercice 4 :(6 points)
Pour tout entier naturel n, on considère les intégrales suivantes
\(I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-nx}\sin(x)\,\mathrm{d}x\)
\(J_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-nx}\cos(x)\,\mathrm{d}x\)
1. Calculer \(I_0\).
2. a. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a \(I_n\geq\, 0\).
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a \(I_{n+1}-I_n\leq\, 0\).
c. Déduire des deux questions précédentes que la suite \((I_n)\) converge.
3.a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
\(I_n\leq\, \displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-nx}\,\mathrm{d}x\)
b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\), on a
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-nx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}\)
c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite \((I_n)\).
4. a. En intégrant par parties l’intégrale \(I_n\) de deux façons différentes, établir les deux
relations suivantes, pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\).
\(I_n=1+e^{-n\pi}-nJ_n\) et \(I_n=\dfrac{1}{n}J_n\).
b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\), on a \(I_n=\dfrac{1+e^{-n\pi}}{n^2+1}\)
5. On souhaite obtenir le rang n à partir duquel la suite \((I_n)\) devient inférieure à 0,1.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la
commande appropriée.
1 from math import *
2 def seuil():
3 n=0
4 I=2
5 . . .
6 n=n+1
7 I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
8 return n
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Amérique du Nord (sujet 1)
Bac Amérique Nord : conseils de révision
Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Points de vigilance
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Questions fréquentes sur ce bac Amérique Nord
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la géométrie dans l’espace, mais aussi la fonction logarithme népérien.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
