Sujet Polynésie 2022 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2022 de Polynésie, posé le 5 mai 2022 (jour 2), avec l’énoncé intégral puis un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Ensuite, le premier exercice est un QCM de six questions : dérivée de \(x\ln(x)-x+1\), limite en 0, racines d’un polynôme de degré 3, primitive d’une fonction composée, tangente et inéquation avec une puissance. Par ailleurs, le deuxième traite de casques audio contrefaits avec un arbre pondéré, la formule de Bayes et une loi binomiale. Le troisième modélise une colonie d’oiseaux par une suite récurrente étudiée par récurrence, puis par un programme Python de seuil. De plus, le dernier calcule de deux façons la distance d’un sommet d’un cube au plan (AIG).

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Polynésie (jour 2).

Ensuite, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Sujet Polynésie 2022 : présentation de l’épreuve

D’abord, ce sujet Polynésie 2022 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Polynésie (jour 2), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout la dérivation, la fonction logarithme népérien, les limites et les probabilités conditionnelles. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 2 (jour 2)
Polynésie — 5 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x)=x\ln(x)-x+1.\]

Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de \(f\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\ln(x)\)	\(\dfrac{1}{x}-1\)	\(\ln(x)-2\)	\(\ln(x)-1\)

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=x^2[1-\ln(x)]\).

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)=+\infty\)	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)=-\infty\)	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)=0\)	La fonction \(g\) n’admet pas de limite en 0.

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-0{,}9x^2-0{,}1x\). Le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

Exercice 1 du sujet Polynésie 2022 : questions 4 à 6

4. Si \(H\) est une primitive d’une fonction \(h\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\), et si \(k\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x)=h(2x)\), alors, une primitive \(K\) de \(k\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(K(x)=H(2x)\)	\(K(x)=2H(2x)\)	\(K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)\)	\(K(x)=2H(x)\)

5. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 1 de la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\text{e}^x\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(y=\text{e}x+\text{e}\)	\(y=2\text{e}x-\text{e}\)	\(y=2\text{e}x+\text{e}\)	\(y=\text{e}x\)

6. Les nombres entiers \(n\) solutions de l’inéquation \((0{,}2)^n \lt 0{,}001\) sont tous les nombres entiers \(n\) tels que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(n \leq\, 4\)	\(n \leq\, 5\)	\(n \geq\, 4\)	\(n \geq\, 5\)

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : probabilités

Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :

20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les évènements suivants :

\(C\) : « le casque est contrefait » ;
\(D\) : « le casque présente un défaut de conception » ;
\(\overline{C}\) et \(\overline{D}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(C\) et \(D\).

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à \(10^{-3}\) si nécessaire.

Partie 1

1. Calculer \(P(C \cap D)\). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(D)=0{,}036\).

3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?

Partie 2

On commande \(n\) casques portant le logo de cette marque. Ensuite, on assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

1. Dans cette question, \(n=35\).

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,\ p)\) où \(n=35\) et \(p=0{,}036\).

b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.

c. Calculer \(P(X \leq\, 1)\).

2. Dans cette question, \(n\) n’est pas fixé.

Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieur à \(0{,}99\) ?

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\{\begin{array}{l} u_0=40\\ u_{n+1}=0{,}008u_n(200-u_n)\end{array}.\]

où \(u_n\) désigne le nombre d’individus au début de l’année \((2021+n)\).

1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,100]\) par \(f(x)=0{,}008x(200-x)\).

2. Résoudre dans l’intervalle \([0\,;\,100]\) l’équation \(f(x)=x\).

3. a. Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0\,;\,100]\) et dresser son tableau de variations.

b. En remarquant que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) :

\[0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 100.\]

c. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

d. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

4. On considère l’algorithme suivant :

def seuil(p) :
    n=0
    u = 40
    while u < p :
        n =n+1
        u = 0.008*u*(200-u)
    return(n+2021)

L’exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

L’espace est muni du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\). Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG].

Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG).

Partie 1. Première méthode

1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G.

On admet que les points I et K ont pour coordonnées \(\text{I}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1)\) et \(\text{K}(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\).

2. Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (AIG) est : \(2x-y-z=0\).

4. Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).

5. En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées \(\text{L}(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3})\).

6. Déterminer la distance du point B au plan (AIG).

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par la formule \(V=\dfrac{1}{3}\times b \times h\), où \(b\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée à cette base.

1. a. Justifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.

b. En déduire le volume du tétraèdre ABIG.

2. On admet que \(\text{AI}=\text{IG}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) et que \(\text{AG}=\sqrt{3}\).

Démontrer que l’aire du triangle isocèle AIG est égale à \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) unité d’aire.

3. En déduire la distance du point B au plan (AIG).

Sujet Polynésie 2022 : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la dérivation ou la fonction logarithme népérien, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article dérivation de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Questions fréquentes sur ce sujet Polynésie 2022

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la dérivation, la fonction logarithme népérien et les limites, mais aussi les probabilités conditionnelles.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Polynésie (jour 2)

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