Sujet Nord 2023 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Nord, posé le 28 mars 2023, accompagné d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice part de la courbe d’une dérivée pour lire les variations et la convexité, puis étudie la fonction \((x^2-5x+6)\text{e}^x\) jusqu’à une inégalité tirée de sa tangente. Ensuite, le deuxième suit les échanges de licenciés entre un club d’athlétisme et un club de basket à l’aide d’une suite arithmético-géométrique, d’une récurrence et d’un programme Python de seuil. Par ailleurs, le troisième calcule dans l’espace l’aire d’un triangle, un projeté orthogonal et le volume d’un tétraèdre. De plus, le dernier est un QCM de cinq questions sur les limites, le théorème des valeurs intermédiaires, une espérance et la loi binomiale.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 2).

Ensuite, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Sujet Nord 2023 : présentation de l’épreuve

D’abord, ce sujet Nord 2023 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Nord (jour 2), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout la dérivation, la convexité, la fonction exponentielle et les suites arithmético-géométriques. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Amérique du Nord — 28 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^{\prime}\). Aucune justification n’est demandée.

1. Donner le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). On utilisera des valeurs approchées si besoin.

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) semble être convexe.

Partie B

On admet que la fonction \(f\) de la partie A est définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=(x^{2}-5x+6)\text{e}^{x}.\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

2. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime}(x)=(x^{2}-3x+1)\text{e}^{x}\).

3. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\).

4. Déterminer l’équation réduite de la tangente \((\mathcal{T})\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse 0.

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). En outre, on note \(f^{\prime\prime}\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\). On admet que, pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^{x}\).

5. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

b. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([-1\,;\,2]\), on a \(f(x)\leq\, x+6\).

Exercice 2 (5 points)

On étudie un groupe de 3 000 sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte 1 700 membres et le club B en compte 1 300.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\), où \(n\) désigne le rang de l’année à partir de 2023.

L’année 2023 correspond au rang 0. On a alors \(a_0=1\,700\) et \(b_0=1\,300\).

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, 15 % des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
chaque année, 10 % des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A.

1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.

2. Pour tout entier naturel \(n\), déterminer une relation liant \(a_n\) et \(b_n\).

3. Montrer que la suite \((a_n)\) vérifie la relation suivante pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[a_{n+1}=0{,}75\,a_n+300.\]

Exercice 2 du sujet Nord 2023 : questions 4 à 7

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700.\]

b. En déduire que la suite \((a_n)\) converge.

5. Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=a_n-1\,200\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=500\times 0{,}75^n+1\,200\).

6. a. Déterminer la limite de la suite \((a_n)\).

b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.

7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de \(n\) à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1 280.

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while ... :
        n=n+1
        A = ...
    return ...

b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction seuil.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère les points

\[\text{D}(3\,;\,1\,;\,5),\qquad \text{E}(3\,;\,-2\,;\,-1),\qquad \text{F}(-1\,;\,2\,;\,1),\qquad \text{G}(3\,;\,2\,;\,-3).\]

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\).

b. Justifier que les points E, F et G ne sont pas alignés.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).

b. On appelle H le point de coordonnées \((2\,;\,2\,;\,-2)\).

Vérifier que H est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).

c. Montrer que l’aire du triangle EFG est égale à \(12\ \text{cm}^2\).

3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (EFG).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) passant par le point D et orthogonale au plan (EFG).

d. On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG).

À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point K.

4. a. Vérifier que la distance \(DK\) est égale à 5 cm.

b. En déduire le volume du tétraèdre DEFG.

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=0{,}05-\dfrac{\ln x}{x-1}.\]

La limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(+\infty\)	\(0{,}05\)	\(-\infty\)	\(0\)

2. On considère une fonction \(h\) continue sur l’intervalle \([-2\,;\,4]\) telle que :

\[h(-1)=0,\qquad h(1)=4,\qquad h(3)=-1.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la fonction \(h\) est croissante sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\).	la fonction \(h\) est positive sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\).	il existe au moins un nombre réel \(a\) dans l’intervalle \([1\,;\,3]\) tel que \(h(a)=1\).	l’équation \(h(x)=1\) admet exactement deux solutions dans l’intervalle \([-2\,;\,4]\).

3. On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) à termes strictement positifs telles que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\) et \((v_n)\) converge vers 0.

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la suite \((\dfrac{1}{v_n})\) converge.	la suite \((\dfrac{v_n}{u_n})\) converge.	la suite \((u_n)\) est croissante.	\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(-u_n)^n=-\infty\)

Exercice 4 du sujet Nord 2023 : questions 4 à 5

4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer 4 €.

Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :

s’il obtient 1, il remporte 12 € ;
s’il obtient un nombre pair, il remporte 3 € ;
sinon, il ne remporte rien.

En moyenne, le joueur :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
gagne 3,50 €	perd 3 €	perd 1,50 €	perd 0,50 €

5. On considère la variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(3\,;\,p)\).

Ensuite, on sait que \(P(X=0)=\dfrac{1}{125}\). On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(p=\dfrac{1}{5}\)	\(P(X=1)=\dfrac{124}{125}\)	\(p=\dfrac{4}{5}\)	\(P(X=1)=\dfrac{4}{5}\)

Sujet Nord 2023 : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la dérivation ou la convexité. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur dérivation.

Les erreurs qui coûtent des points

Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.

Sujet Nord 2023 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la dérivation, la convexité et la fonction exponentielle, mais aussi les suites arithmético-géométriques.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 2)

Les autres sujets du bac de maths 2023

Bac de maths 2027 : tous les sujets Cours de terminale Exercices de terminale

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 2) : sujet et corrigé» au format PDF.