Sujet étrangers 2025 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

En outre, Retrouvez ici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 des centres étrangers, tombé le 13 juin 2025, suivi de son corrigé détaillé rédigé question par question. Le premier exercice compare une population animale dans deux milieux : une suite géométrique d’un côté, une suite récurrente du second degré de l’autre, avec une récurrence, un point fixe et un programme Python à compléter. Le deuxième retrouve les paramètres d’une fonction logistique à partir de sa courbe et d’une tangente, puis calcule sa valeur moyenne par une intégrale. Ensuite, le troisième dénombre des séquences de caractères du codage base64 et étudie leur transmission avec une loi binomiale. Le dernier, en géométrie dans l’espace, montre que trois plans se coupent selon une même droite.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 aux centres étrangers (jour 2).

De plus, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet étrangers 2025 : organisation de l’épreuve

Tout d’abord, ce sujet étrangers 2025 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 aux centres étrangers (jour 2), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 6, 6, 4 et 4 points. De plus, on y mobilise surtout les suites géométriques, le raisonnement par récurrence, l’algorithmique en Python et le calcul intégral. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers — 13 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (6 points)

On se propose de comparer l’évolution d’une population animale dans deux milieux distincts A et B.
Au 1^er janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le milieu A.
On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est modélisée par une suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 6\) et de raison \(0{,}93\).
Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) représente la population au 1^er janvier de l’année \(2025 + n\), exprimée en millier d’individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026.

2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le milieu B.
On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est modélisée par la suite \((v_n)\) définie par

\(v_0 = 6\) et pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = -0{,}05v_n^2 + 1{,}1v_n\).

Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) représente la population au 1^er janvier de l’année \(2025 + n\), exprimée en millier d’individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026.

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) par

\[f(x) = -0{,}05x^2 + 1{,}1x.\]

2. Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0\ ;\ 11]\).

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a

\[2 \leq\, v_{n+1} \leq\, v_n \leq\, 6.\]

4. En déduire que la suite \((v_n)\) est convergente vers une limite \(\ell\).

5. a. Justifier que la limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\) puis en déduire la valeur de \(\ell\).

b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l’évolution de la population dans les deux milieux.

1. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.

2. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.

3. Justifier qu’à partir d’une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4. On considère le programme Python ci-dessous.

n=0
u = 6
v = 6
while … :
    u = …
    v= …
    n = n+1
print (2025 + n)

a. Recopier et compléter ce programme afin qu’après exécution, il affiche l’année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

b. Déterminer l’année affichée après exécution du programme.

Exercice 2 (6 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{a + \text{e}^{-bx}}\]

où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles strictement positives.
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\).
La fonction \(f\) admet pour représentation graphique la courbe \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous :

On considère les points \(\text{A}(0\ ;\ 0{,}5)\) et \(\text{B}(10\ ;\ 1)\).
On admet que la droite (AB) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A.

1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de \(f(10)\).

2. On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\).

Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3. Justifier que \(a = 1\).

4. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

5. a. Déterminer l’expression de \(f^{\prime}(x)\) en fonction de \(x\) et de la constante \(b\).

b. En déduire la valeur de \(b\).

Partie B

On admet, dans la suite de l’exercice, que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0{,}2x}}\]

1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

2. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\).

3. Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\) positif tel que \(f(\alpha) = 0{,}97\).

4. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel \(\alpha\) par deux nombres entiers consécutifs.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

Partie C

1. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\), \(f(x) = \dfrac{\text{e}^{0{,}2x}}{1 + \text{e}^{0{,}2x}}\).

2. En déduire une primitive de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\).

3. Calculer la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\ ;\ 40]\), c’est-à-dire :

\[I = \dfrac{1}{40}\displaystyle\int_0^{40} \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0{,}2x}}\,\text{d}x.\]

On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Exercice 3 (4 points)

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d’autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, on s’intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l’ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

1. Déterminer le nombre de séquences possibles.

2. Déterminer le nombre de séquences si l’on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.

3. a. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule

b. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

c. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

d. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s’intéresse à la transmission d’une séquence de 250 caractères d’un ordinateur à un autre. Par ailleurs, on suppose que la probabilité qu’un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l’expression exacte, puis une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.

3. Que pensez-vous de l’affirmation suivante : « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On s’intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.
De plus, on note \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) et \(X_4\) les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.
On admet que les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) et \(X_4\) sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire \(X\) définie en partie B.
On note \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\).
Déterminer, en justifiant, l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(S\).

Exercice 4 (4 points)

On se place dans un repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\) de l’espace.
On considère les points \(\text{A}(1\ ;\ 0\ ;\ 3)\), \(\text{B}(-2\ ;\ 1\ ;\ 2)\) et \(\text{C}(0\ ;\ 3\ ;\ 2)\).

1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Soit \(\vec{n}\) le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}\). Vérifier que le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal au plan (ABC).

c. En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne \(-x + y + 4z – 11 = 0\).

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(3x – 3y + 2z – 9 = 0\) et le plan \(\mathcal{P}^{\prime}\) d’équation cartésienne \(x – y – z + 2 = 0\).

2. a. Démontrer que les plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\) sont sécants. On note \((d)\) leur droite d’intersection.

b. Déterminer si les plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\) sont perpendiculaires.

3. Montrer que la droite \((d)\) est dirigée par le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\).

4. Montrer que le point \(\text{M}(2\ ;\ 1\ ;\ 3)\) appartient aux plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\). En déduire une représentation paramétrique de la droite \((d)\).

5. Montrer que la droite \((d)\) est aussi incluse dans le plan (ABC).

Que peut-on dire des trois plans (ABC), \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\) ?

Comment réviser avec ce sujet étrangers 2025

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les suites géométriques ou le raisonnement par récurrence, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur suites géométriques.

Les pièges classiques

Avec une suite géométrique, contrôlez l’exposant du terme général : il dépend du rang du premier terme (0 ou 1).
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Sujet étrangers 2025 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les suites géométriques, le raisonnement par récurrence et l’algorithmique en Python, mais aussi le calcul intégral.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 aux centres étrangers (jour 2)

Les autres sujets du bac de maths 2025

Bac de maths 2027 : tous les sujets Cours de terminale Exercices de terminale

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «bac de maths 2025 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé» au format PDF.