Bac 2021 étrangers : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Par ailleurs, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2021 des centres étrangers, destiné aux candidats libres et posé le 9 juin 2021, accompagné de son corrigé détaillé sur une page dédiée. De plus, le candidat traite trois exercices communs et un exercice au choix. En outre, le QCM mêle dérivée seconde de \(x\text{e}^{-2x}\), combinaisons de spécialités, lecture de la courbe de \(f^{\prime}\) et puces électroniques défectueuses. Ensuite, l’exercice 2 utilise une enquête sur les usagers des transports en commun : arbre pondéré, probabilités conditionnelles et loi binomiale. L’exercice 3 suit le télétravail dans une entreprise de 5 000 salariés avec une suite arithmético-géométrique, puis une suite homographique. Par ailleurs, au choix : un tétraèdre SABC dans l’espace (plan, projeté, volume, angle) ou des équations différentielles avec tangentes à la courbe de \(2\text{e}^{-x/3}\).

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 1).

En outre, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Bac 2021 étrangers : ce que contient le sujet

D’abord, ce bac 2021 étrangers vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 aux centres étrangers (jour 1), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 5 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la dérivation, la fonction exponentielle, le dénombrement et les probabilités conditionnelles. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 48 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 1
Centres étrangers — 9 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = x\text{e}^{-2x}.\]

On note \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de la fonction \(f\).

Quel que soit le réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)\) est égal à :

a.	b.	c.	d.
\((1 – 2x)\text{e}^{-2x}\)	\(4(x – 1)\text{e}^{-2x}\)	\(4\text{e}^{-2x}\)	\((x + 2)\text{e}^{-2x}\)

2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Le nombre de combinaisons possibles est :

a.	b.	c.	d.
1 728	1 320	220	33

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de \(f^{\prime}\) fonction dérivée d’une fonction \(f\) définie sur \([0~;~7]\).

Le tableau de variation de \(f\) sur l’intervalle \([0~;~7]\) est :

\(x\)	0		3,25		7
\(f(x)\)		↗		↘

\(x\)	0		2		5		7
\(f(x)\)		↘		↗		↘

\(x\)	0		2		5		7
\(f(x)\)		↗		↘		↗

\(x\)	0		2		7
\(f(x)\)		↗		↘

Exercice 1 du bac 2021 étrangers : questions 4 à 5

4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.

Une étude statistique montre que 2,8 % des puces ont le défaut A, 2,2 % des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4 % des puces n’ont aucun des deux défauts.

La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :

a.	b.	c.	d.
0,05	0,004	0,046	On ne peut pas le savoir

5. On se donne une fonction \(f\), supposée dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On donne ci-dessous le tableau de variation de \(f\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(-\infty\)	↗	0	↘	\(-\infty\)

D’après ce tableau de variation :

a.	b.	c.	d.
\(f^{\prime}\) est positive sur \(\mathbb{R}\).	\(f^{\prime}\) est positive sur \(]-\infty~;~-1]\)	\(f^{\prime}\) est négative sur \(\mathbb{R}\)	\(f^{\prime}\) est positive sur \([-1~;~+\infty[\)

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à \(10^{-3}\).

D’après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17 % de la population française.

Parmi ces utilisateurs réguliers, 32 % sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS-Sofres)

Partie A

On interroge une personne au hasard et on note :

\(R\) l’évènement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
\(J\) l’évènement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».

1. Représentez la situation à l’aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l’énoncé.

2. Calculer la probabilité \(P(R \cap J)\).

3. D’après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11 % de la population française.

Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est 0,056 à \(10^{-3}\) près.

4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.

Partie B

Lors d’un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun.

La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit \(X\) la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de \(X\) et préciser ses paramètres.

2. Calculer \(P(X = 5)\) et interpréter le résultat.

3. Le recenseur indique qu’il y a plus de 95 % de chance pour que, parmi les 50 personnes interrogées, moins de 13 d’entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.

4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées ?

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s’inscrire dans une démarche écoresponsable.

Elle propose alors à ses 5 000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise.

En mai 2020, seuls 200 d’entre eux ont choisi le télétravail.

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite \((a_n)\).

Le terme \(a_n\) désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le \(n\)-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi \(a_0 = 200\).

Partie A

1. Calculer \(a_1\).

2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450\).

3. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(v_n = a_n – 3000\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}85\).

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n = -2800 \times 0{,}85^n + 3000\).

4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.

Partie B

Afin d’évaluer l’impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l’entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l’aide de la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

où \(u_n\) désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de \(n\) mois après le mois de mai 2020.

1. Démontrer que la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [0~;~+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{5x + 4}{x + 2}\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

\[0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4.\]

b. Justifier que la suite \((u_n)\) est convergente.

3. On admet que pour tout entier naturel \(n\),

\[0 \leq\, 4 – u_n \leq\, 3 \times (\dfrac{1}{2})^n.\]

En déduire la limite de la suite \((u_n)\) et l’interpréter dans le contexte de la modélisation.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A — Géométrie dans l’espace

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points suivants :

\[\text{A}(2~;~-1~;~0),\ \text{B}(3~;~-1~;~2),\ \text{C}(0~;~4~;~1) \ \text{ et } \ \text{S}(0~;~1~;~4).\]

1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) est orthogonal au plan (ABC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

c. Montrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3. Soit \((d)\) la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S. Elle coupe le plan (ABC) en H.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\).

b. Montrer que les coordonnées du point H sont H(2 ; 2 ; 3).

4. On rappelle que le volume \(V\) d’un tetraèdre est \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).

Calculer le volume du tétraèdre SABC.

5. a. Calculer la longueur SA.

b. On indique que SB \(= \sqrt{17}\).

En déduire une mesure de l’angle \(\widehat{\text{ASB}}\) approchée au dixième de degré.

Exercice B — Équations différentielles

Partie A

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = 2\text{e}^{\frac{-1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x – 2.\]

1. On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel \(x\) :

\[g^{\prime}(x) = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}.\]

2. En déduire le sens de variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Déterminer le signe de \(g(x)\), pour tout \(x\) réel.

Partie B

1. On considère l’équation différentielle

\[(E) : \qquad 3y^{\prime} + y = 0.\]

Résoudre l’équation différentielle \((E)\).

2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M(0 ; 2).

3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\]

et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

a. Montrer que la tangente \((\Delta_0)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point M(0 ; 2) admet une équation de la forme :

\[y = -\dfrac{2}{3}x + 2.\]

b. Étudier, sur \(\mathbb{R}\), la position de cette courbe \(\mathcal{C}_f\) par rapport à la tangente \((\Delta_0)\).

Partie C

1. Soit A le point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\), \(a\) réel quelconque.

Montrer que la tangente \((\Delta_a)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A coupe l’axe des abscisses en un point P d’abscisse \(a + 3\).

2. Expliquer la construction de la tangente \((\Delta_{-2})\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point B d’abscisse \(-2\).

Bien travailler ce bac 2021 étrangers

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la dérivation ou la fonction exponentielle, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article dérivation de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs fréquentes à éviter

Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
En dénombrement, demandez-vous d’abord si l’ordre compte et si les répétitions sont permises : c’est ce qui décide entre k-uplets et combinaisons.

Bac 2021 étrangers : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la dérivation, la fonction exponentielle et le dénombrement, mais aussi les probabilités conditionnelles.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 1)

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