La série 2 des exercices de maths en terminale S sur les dérivées et les intégrales.Tous ces exercices disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.
Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue
Considérons la fonction f définie sur 
par :
et
Montrer que :
1. f est continue en 0.
2. f est dérivable en 0.
3. f ‘ n’est pas continue en 0.
Dérivation d’une composée de fonctions
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).
Démontrer que la fonction est dérivable sur I et que pour tout x de I :
.
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur
Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et préciser leur fonction dérivée.
On rappelle que : et .
Les fonctions bijectives
Soit f la fonction définie sur par : .
1.Démontrer que f est bornée sur .
2.Etudier la parité de f.
3.Etudier la dérivabilité de f en 0.
4.Démontrer que f définit une bijection de sur .
Accroissement moyen
1.On se propose d’étudier la limite en de la fonction f définie par : avec .
Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.
En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en , déterminer la limite ci-dessus.
2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :
Etude de fonctions numériques
Exercice n° 1 :
Etudier la fonction f définie sur
a.
b.
c.
d.
e.
Exercice n° 2 :
La fonction est dérivable sur , strictement croissante sur ] ; -1] et sur [0 ; [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,
Déterminer le nombre de solutions de l’équation
Exercice n° 3 :
Etudier la fonction f définie sur .
a.
b.
b.
Résolution d’une équation
Démontrer que l’équation n’a pas de solution sur .
Etude d’une fonction
On considère la fonction f définie pour par .
On désigne par Cf sa représentation dans un repère.
1.Déterminer les limites de f en .
2.Démontrer que la droite d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en .
3.Calculer la fonction dérivée f’ .
Démontrer que pour tout : .
4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.
5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse .
Dérivation
On considère la fonction f définie sur par .
On se propose d’étudier cette fonction sur .
1.Calculer la dérivée f’.
2.En déduire le tableau de variation de f sur .
3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution dans l’intervalle .
4.Démontrer que: .
Détermination d’une fonction
On considère une fonction f définie sur par .
On note C sa représentation graphique dans un repère .
On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.
On sait que f ‘ (0)= – 6.
Déterminer les coefficients a, b et c.
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