Dérivée d'une fonction : exercices en terminale corrigés en PDF.

La dérivée d’une fonction à travers des exercices de maths en terminale corrigés.Tous ces énoncés disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Exercice 1 – Etude de fonctions numériques

Etudier la fonction f définie sur

a. $f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$
b. $f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.$
c. $f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.$
d. $f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.$
e. $f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.$

Exercice 2 :

La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante sur ] $-\infty$ ; -1] et sur [0 ; $+\infty$ [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus, $f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.$
Déterminer le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1\,.$

Exercice 3 :

Etudier la fonction f définie sur .

a. $f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$
b. $f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$
b. $f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$

Exercice 4 :

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a. .

b. $f(x)=\sqrt{x^2+5x-6}$ .

c. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ .

d. $f(x)=(3x+6)^{-2}$ .

e. $f(x)=\sqrt{3+cos^2 x}$ .

f. .

g. $f(x)=\frac{sin(3x)}{x}$ .

h. $f(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$ .

Exercice 5 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par :

• pour n=0, $f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}$

• pour $n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}$

On désignera par (Cn) la courbe représentative de dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de et construire dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a. désignantla fonction dérivée de , montrer que :

$f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}$

b. Etudier le sens de variation des fonctions et puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer et dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Exercice 6 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^2sin(\frac{1}{x}),\,x\neq0$ et

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Exercice 7 – Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction est dérivable sur I et que pour tout x de I :

Exercice 8 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur $\mathbb{R}$

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : $\lim_{h\to,0}\frac{cos(h)-1}{h}=0$ et $\lim_{h\to,0}\frac{sin(h)}{h}=0$ .

Exercice 9 – Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x}{1+,|x,,|}$ .

1.Démontrer que f est bornée sur $\mathbb{R}$ .

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur .

Exercice 10 – Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en $\frac{\pi}{2}$ de la fonction f définie par : $f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}$ avec $x\neq\frac{\pi}{2}$ .

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en $\frac{\pi}{2}$ , déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

$f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0$

$f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}$

Exercice 11 – Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation n’a pas de solution sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 12 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour $x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\}$ par $f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}$ .

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en $-\infty;+\infty;1^-;1^+$ .

2.Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en $-\infty\,et+\infty$ .

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\}$ : $f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}$ .

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse x_0=0 .

Exercice 13 – Dérivation

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par .

On se propose d’étudier cette fonction sur $[0;2\pi]$ .

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur $[0;2\pi]$ .

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$ .

4.Démontrer que: $\frac{5\pi}{6}<\alpha,<\pi$ .

Exercice 14 – Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ .

On note C sa représentation graphique dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Exercice 15 – Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

$f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}$
$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}$
$f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}$
$f(x)=,\sqrt{1-5x^2}$
$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}$

Exercice 16 – Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et $\theta$ tels que pour tout x de $\mathbb{R}$ :

$acosx+bsinx=Rcos(x-\theta,)$ .

Application :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ , l’équation .

Exercice 17 -Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Exercice 18 -Théorème de bijection

Démontrer que l’équation n’a pas de solution sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 19 -Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors $\frac{1}{g}$ est dérivable en a.

Exercice 20 – Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x$ .

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$ .La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation $y=-2x-\frac{1}{2}$ est asymptote oblique à Cf en $-\infty$ .

Voir Exercices 11 à 20...

Exercice 21 -Dérivée et dérivation

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a. .

b. $f(x)=\sqrt{x^2+5x-6}$ .

c. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ .

d. $f(x)=(3x+6)^{-2}$ .

e. $f(x)=\sqrt{3+cos^2 x}$ .

f. .

g. $f(x)=\frac{sin(3x)}{x}$ .

h. $f(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$ .

Exercice 22 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f_n définie sur $]-1;+\infty[$ par :

• pour n=0, $f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}$

• pour $n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}$

On désignera par (Cn) la courbe représentative de f_n dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de f_0 et construire C_0 dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a. f'_n désignant la fonction dérivée de f_n , montrer que :

$f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}$

b. Etudier le sens de variation des fonctions f_1 et f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer C_1 et C_2 dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Exercice 23 – Limite et dérivée

Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.

a. $\lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5)$ .

b. $\lim_{x\to +\infty} (2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2})$ .

c. $\lim_{x\to +\infty} (\frac{6x-1}{2x+5})$ .

d. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3})$ .

e. $\lim_{x\to \pi} (\frac{sinx}{x})$ .

f. $\lim_{x\to -3} (\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3})$ .

Exercice 24 – asymptotes

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .

a. $f(x)=\frac{2x-4}{x-3}$ .

b. $f(x)=\frac{4x^2-2x-1}{x^2-x-12}$ .

Exercice 25 – Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat

On considère l’application f de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par :

si $x\in [0;2[\,,\, f(x)=x^2(2-x)$ ;

et pour tout de $\mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x)$ .

1. Etudier la restriction f_0 de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de f_0 .

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de $\mathbb{Z}$ .

2. Démontrer que :

Si $x\in [2n;2n+2]\,,\, f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).$

3. Est-ce que f est continue sur $\mathbb{R}$ ?

4. Est-ce que f est dérivable sur $\mathbb{R}$ ?

Exercice 26 – Fonction et dérivée

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{-2e^{-3x}}$ .

1.Calculer f(0).

2.Etudier les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$ .

3.calculer la dérivée f ‘. En déduire le tableau de variations de f.

4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse $x_0=\frac{1}{3}ln2$ .

Voir Exercices 21 à 30...

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «dérivée d'une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.» au format PDF.

Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :

Q.C.M en 6ème Q.C.M en 5ème Q.C.M en 4ème Q.C.M en 3ème Q.C.M en 2de Q.C.M en 1ère Q.C.M en Terminale

D'autres utilitaires pour progresser en autonomie :

Chronomètre Horloge France Tables Multiplication Arrondir des décimaux Rapporteur et Angles Médiatrice Symétrie Axiale d'un triangle Symétrie Centrale d'un triangle Translation d'un triangle Rotation Homothétie Bissectrice Tracer droite parallèle Conversion Aires et Volumes Addition de deux relatifs Soustraction Relatifs Addition et soustraction de trois relatifs Produit Deux Relatifs Produit Trois Relatifs Quotient Relatifs Carré Entier Racine Carrée Théorème Pythagore Liste Diviseurs Décomposition Facteurs Premiers Calcul du PGCD PGCD Algorithme Euclide Test Nombre Premier Déterminer Fonction Linéaire Déterminer Fonction Affine Traceur Courbe Trigonométrie Angle Trigonométrie Longueur Périmètre d'un Cercle Aire d'un Disque Volume du Parallélépipède Rectangle Volume du cylindre Surface d'une Sphère et Volume d'une boule Volume d'une pyramide à base rectangulaire Section d'une pyramide Visualiser Section Cône en 2D Section d'un Cône Carte Mondiale Coordonnées Géographiques

Mathovore c'est 14 081 140 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.