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Dérivée d’une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.


La dérivée d’une fonction à travers des exercices de maths en terminale corrigés.Tous ces énoncés disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Exercice 1 – Etude de fonctions numériques

Etudier la fonction f définie sur  D

a.  f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.
c.  f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.
d.  f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.
e.  f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.

Exercice 2 :

La fonction  f est dérivable sur  \mathbb{R}, strictement croissante sur ] -\infty ; -1] et sur [0 ;  +\infty [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,  f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation  f(x)=1\,.

Exercice 3 :

Etudier la fonction f définie sur  D .

a.  f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.

Exercice 4 :

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice 5 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction  f_n définie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignantla fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 6 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=x^2sin(\frac{1}{x}),\,x\neq0 et f(0)=0.

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Exercice 7 – Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction vou est dérivable sur I et que pour tout x de I :

(vou)'(x)=u'(x)v'[u(x)].

Exercice 8 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur \mathbb{R}

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : \lim_{h\to,0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 et \lim_{h\to,0}\frac{sin(h)}{h}=0.

Exercice 9 – Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\frac{x}{1+,|x,,|}.

1.Démontrer que f est bornée sur \mathbb{R}.

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de \mathbb{R} sur ]-1;1[.

Exercice 10 – Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en \frac{\pi}{2} de la fonction f définie par : f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}} avec x\neq\frac{\pi}{2}.

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en \frac{\pi}{2}, déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0

f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}

Exercice 11 – Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Exercice 12 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\} par f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}.

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en -\infty;+\infty;1^-;1^+.

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en -\infty\,et+\infty.

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\} : f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}.

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse x_0=0.

Exercice 13 – Dérivation

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xsin(x)+cos(x).

On se propose d’étudier cette fonction sur [0;2\pi].

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur [0;2\pi].

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l’intervalle [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].

4.Démontrer que: \frac{5\pi}{6}<\alpha,<\pi.

Exercice 14 – Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par  f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}.

On note C sa représentation graphique dans un repère (O,\vec{i},\vec{j}).

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Exercice 15 – Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  • f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}
  • f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}
  • f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}
  • f(x)=(x^3-2x+1)^3
  • f(x)=,\sqrt{1-5x^2}
  • f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}

Exercice 16 – Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et \theta tels que pour tout x de \mathbb{R} :

acosx+bsinx=Rcos(x-\theta,).

Application :

Résoudre dans \mathbb{R}, l’équation cosx+sinx=1.

Exercice 17 -Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Exercice 18 -Théorème de bijection

Démontrer que l’équation  x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Exercice 19 -Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors \frac{1}{g} est dérivable en a.

Exercice 20 – Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x.

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=-2x-\frac{1}{2} est asymptote oblique à Cf en -\infty.

Exercice 21 -Dérivée et dérivation

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice 22 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction  f_n définie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignant la fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 23 – Limite et dérivée

Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.

a.  \lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5) .

b.  \lim_{x\to +\infty} (2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}) .

c.  \lim_{x\to +\infty} (\frac{6x-1}{2x+5}) .

d.  \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}) .

e.  \lim_{x\to \pi} (\frac{sinx}{x}) .

f.  \lim_{x\to -3} (\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3}) .

Exercice 24 – asymptotes

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .

a.  f(x)=\frac{2x-4}{x-3} .

b.  f(x)=\frac{4x^2-2x-1}{x^2-x-12} .

Exercice 25 – Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat

On considère l’application f de  \mathbb{R} dans  \mathbb{R} définie par :

si  x\in [0;2[\,,\, f(x)=x^2(2-x) ;

et pour tout  x de  \mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x) .

1. Etudier la restriction  f_0 de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de  f_0 .

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de  \mathbb{Z} .

2. Démontrer que :

Si  x\in [2n;2n+2]\,,\, f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).

3. Est-ce que f est continue sur  \mathbb{R} ?

4. Est-ce que f est dérivable sur  \mathbb{R} ?

Exercice 26 – Fonction et dérivée

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^{-2e^{-3x}}.

1.Calculer f(0).

2.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.

3.calculer la dérivée f ‘. En déduire le tableau de variations de f.

4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse x_0=\frac{1}{3}ln2.

Corrigé des exercices de maths.

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