Dérivée d’une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
Mis à jour le 31 mars 2025
Exercice 1 – Etude de fonctions numériques
Etudier la fonction f définie sur
a.
b.
c.
d.
e.
Exercice 2 :
La fonction est dérivable sur
, strictement croissante sur ]
; -1] et sur [0 ;
[ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,
Déterminer le nombre de solutions de l’équation
Exercice 3 :
Etudier la fonction f définie sur .
a.
b.
b.
Exercice 4 :
Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .
a. .
b. .
c. .
d. .
e. .
f. .
g. .
h. .
Exercice 5 :
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction définie sur
par :
• pour n=0,
• pour
On désignera par (Cn) la courbe représentative de dans un repère orthonormal
ayant comme unité graphique 4 cm.
1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de et construire
dans le repère
.
2. Soit n un entier naturel non nul.
a. désignantla fonction dérivée de
, montrer que :
b. Etudier le sens de variation des fonctions et
puis dresser leur tableau de variation .
c. Tracer et
dans le repère
.
Exercice 6 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue
Considérons la fonction f définie sur par :
et
Montrer que :
1. f est continue en 0.
2. f est dérivable en 0.
3. f ‘ n’est pas continue en 0.
Exercice 7 – Dérivation d’une composée de fonctions
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).
Démontrer que la fonction est dérivable sur I et que pour tout x de I :
.
Exercice 8 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur
Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et préciser leur fonction dérivée.
On rappelle que : et
.
Exercice 9 – Les fonctions bijectives
Soit f la fonction définie sur par :
.
1.Démontrer que f est bornée sur .
2.Etudier la parité de f.
3.Etudier la dérivabilité de f en 0.
4.Démontrer que f définit une bijection de sur
.
Exercice 10 – Accroissement moyen
1.On se propose d’étudier la limite en de la fonction f définie par :
avec
.
Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.
En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en , déterminer la limite ci-dessus.
2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :
Exercice 11 – Résolution d’une équation
Démontrer que l’équation n’a pas de solution sur
.
Exercice 12 – Etude d’une fonction
On considère la fonction f définie pour par
.
On désigne par Cf sa représentation dans un repère.
1.Déterminer les limites de f en .
2.Démontrer que la droite d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en
.
3.Calculer la fonction dérivée f’ .
Démontrer que pour tout :
.
4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.
5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse .
Exercice 13 – Dérivation
On considère la fonction f définie sur par
.
On se propose d’étudier cette fonction sur .
1.Calculer la dérivée f’.
2.En déduire le tableau de variation de f sur .
3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution dans l’intervalle
.
4.Démontrer que: .
Exercice 14 – Détermination d’une fonction
On considère une fonction f définie sur par
.
On note C sa représentation graphique dans un repère .
On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.
On sait que f ‘ (0)= – 6.
Déterminer les coefficients a, b et c.
Exercice 15 – Dérivée de fonctions
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
Exercice 16 – Transformation de acos x + bsin x
Soient a et b deux nombres réels.
Démontrer qu’il existe deux réels R et tels que pour tout x de
:
.
Application :
Résoudre dans , l’équation
.
Exercice 17 -Théorème du point fixe
Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].
Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].
Exercice 18 -Théorème de bijection
Démontrer que l’équation n’a pas de solution sur
.
Exercice 19 -Exercice sur les règles opératoires
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.
Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :
1. f + g est dérivable en a.
2. fg est dérivable en a.
3. Si g est nulle au voisinage de a alors est dérivable en a.
Exercice 20 – Etude d’une fonction irrationnelle
On considère la fonction f définie sur par :
.
On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1.Etudier les limites de f en et en
.La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?
2.Démontrer que la droite d’équation
est asymptote oblique à Cf en
.
Exercice 21 -Dérivée et dérivation
Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .
a. .
b. .
c. .
d. .
e. .
f. .
g. .
h. .
Exercice 22 :
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction définie sur
par :
• pour n=0,
• pour
On désignera par (Cn) la courbe représentative de dans un repère orthonormal
ayant comme unité graphique 4 cm.
1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de et construire
dans le repère
.
2. Soit n un entier naturel non nul.
a. désignant la fonction dérivée de
, montrer que :
b. Etudier le sens de variation des fonctions et
puis dresser leur tableau de variation .
c. Tracer et
dans le repère
.
Exercice 23 – Limite et dérivée
Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.
a. .
b. .
c. .
d. .
e. .
f. .
Exercice 24 – asymptotes
Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .
a. .
b. .
Exercice 25 – Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat
On considère l’application f de dans
définie par :
si ;
et pour tout de
.
1. Etudier la restriction de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de
.
Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de .
2. Démontrer que :
Si
3. Est-ce que f est continue sur ?
4. Est-ce que f est dérivable sur ?
Exercice 26 – Fonction et dérivée
On considère la fonction f définie sur par
.
1.Calculer f(0).
2.Etudier les limites de f en et en
.
3.calculer la dérivée f ‘. En déduire le tableau de variations de f.
4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse .
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