Dérivée d’une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

exercices maths terminale
Des exercices de maths en terminale sur les dérivées. Tous ces exercices disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Exercice 1 – Etude de fonctions numériques

Etudier la fonction f définie sur  D

a.  f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.
c.  f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.
d.  f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.
e.  f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.

Exercice 2 :

La fonction  f est dérivable sur  \mathbb{R}, strictement croissante sur ] -\infty ; -1] et sur [0 ;  +\infty [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,  f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation  f(x)=1\,.

Exercice 3 :

Etudier la fonction f définie sur  D .

a.  f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.

Exercice 4 :

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice 5 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction  f_n définie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignantla fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 6 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=x^2sin(\frac{1}{x}),\,x\neq0 et f(0)=0.

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Exercice 7 – Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction vou est dérivable sur I et que pour tout x de I :

(vou)'(x)=u'(x)v'[u(x)].

Exercice 8 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur \mathbb{R}

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : \lim_{h\to,0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 et \lim_{h\to,0}\frac{sin(h)}{h}=0.

Exercice 9 – Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\frac{x}{1+,|x,,|}.

1.Démontrer que f est bornée sur \mathbb{R}.

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de \mathbb{R} sur ]-1;1[.

Exercice 10 – Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en \frac{\pi}{2} de la fonction f définie par : f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}} avec x\neq\frac{\pi}{2}.

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en \frac{\pi}{2}, déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0

f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}

Exercice 11 – Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Exercice 12 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\} par f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}.

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en -\infty;+\infty;1^-;1^+.

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en -\infty\,et+\infty.

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\} : f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}.

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse x_0=0.

Exercice 13 – Dérivation

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xsin(x)+cos(x).

On se propose d’étudier cette fonction sur [0;2\pi].

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur [0;2\pi].

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l’intervalle [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].

4.Démontrer que: \frac{5\pi}{6}<\alpha,<\pi.

Exercice 14 – Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par  f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}.

On note C sa représentation graphique dans un repère (O,\vec{i},\vec{j}).

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Exercice 15 – Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  • f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}
  • f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}
  • f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}
  • f(x)=(x^3-2x+1)^3
  • f(x)=,\sqrt{1-5x^2}
  • f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}

Exercice 16 – Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et \theta tels que pour tout x de \mathbb{R} :

acosx+bsinx=Rcos(x-\theta,).

Application :

Résoudre dans \mathbb{R}, l’équation cosx+sinx=1.

Exercice 17 -Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Exercice 18 -Théorème de bijection

Démontrer que l’équation  x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Exercice 19 -Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors \frac{1}{g} est dérivable en a.

Exercice 20 – Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x.

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=-2x-\frac{1}{2} est asymptote oblique à Cf en -\infty.

Exercice 21 -Dérivée et dérivation

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice 22 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction  f_n définie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignant la fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 23 – Limite et dérivée

Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.

a.  \lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5) .

b.  \lim_{x\to +\infty} (2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}) .

c.  \lim_{x\to +\infty} (\frac{6x-1}{2x+5}) .

d.  \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}) .

e.  \lim_{x\to \pi} (\frac{sinx}{x}) .

f.  \lim_{x\to -3} (\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3}) .

Exercice 24 – asymptotes

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .

a.  f(x)=\frac{2x-4}{x-3} .

b.  f(x)=\frac{4x^2-2x-1}{x^2-x-12} .

Exercice 25 – Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat

On considère l’application f de  \mathbb{R} dans  \mathbb{R} définie par :

si  x\in [0;2[\,,\, f(x)=x^2(2-x) ;

et pour tout  x de  \mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x) .

1. Etudier la restriction  f_0 de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de  f_0 .

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de  \mathbb{Z} .

2. Démontrer que :

Si  x\in [2n;2n+2]\,,\, f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).

3. Est-ce que f est continue sur  \mathbb{R} ?

4. Est-ce que f est dérivable sur  \mathbb{R} ?

Exercice 26 – Fonction et dérivée

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^{-2e^{-3x}}.

1.Calculer f(0).

2.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.

3.calculer la dérivée f ‘. En déduire le tableau de variations de f.

4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse x_0=\frac{1}{3}ln2.

Corrigé des exercices de maths.

4.4/5 - (19 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «dérivée d'une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathovore sur Google Play Store.    Application Mathovore sur Apple Store.     Suivez-nous sur YouTube.

D'autres fiches similaires à dérivée d'une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

Des documents similaires à dérivée d'une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours et exercices de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définitions, propriétés et théorèmes) en vous exerçant sur des milliers de documents disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.

  • 77
    Fonctions et variations : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.Des exercices de maths en 1ère sur les fonctions numériques et le sens de variation d'une fonction. Calculer l'image ou l'antécédent et créer le tableau de variation. Exercice 1 - Sens de variation d'une fonction composée Donner une décomposition de la fonction  définie par   qui permette d’en déduire son sens de variation sur…
  • 71
    Logarithmes : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.Des exercices de maths en terminale sur les fonctions logarithmes, vous pouvez également consulter et réviser avec les exercices corrigés en terminale en PDF. Exercice 1 • Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 : • Exprimer en fonction de ln 2 et ln 5 : Exercice 2…
  • 69
    Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.Des exercices sur la dérivée d'une fonction et de l'interprétation graphique du nombre dérivée en 1ère dont toute la correction est détaillée. Exercice 1 : Dériver la fonction f dans les cas suivants : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Exercice 2 : Determiner…


Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à dérivée d'une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

  1. Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale en PDF.
  2. Triangle et quadrilatère : exercices de maths en 6ème corrigés en PDF.
  3. Nombres décimaux : exercices de maths en 6ème corrigés en PDF.
  4. Les 4 opérations avec l’addition, la soustraction, la multiplication et la division : cours de maths en 6ème
  5. Limites et asymptotes : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 566 953 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.