Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur le calcul de la fonction dérivée en terminale S

La série 2 des exercices de maths en terminale S sur les dérivées et les intégrales.Tous ces exercices disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=x^2sin(\frac{1}{x})\,\,x\neq0 et f(0)=0.

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Corrigé de cet exercice

Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction vou est dérivable sur I et que pour tout x de I :

(vou)'(x)=u'(x)v'[u(x)].

Corrigé de cet exercice

Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur \mathbb{R}

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : \lim_{h\to\,0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 et \lim_{h\to\,0}\frac{sin(h)}{h}=0.

Corrigé de cet exercice

Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\frac{x}{1+\,|x\,\,|}.

1.Démontrer que f est bornée sur \mathbb{R}.

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de \mathbb{R} sur ]-1;1[.

 Corrigé de cet exercice

Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en \frac{\pi}{2} de la fonction f définie par : f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}} avec x\neq\frac{\pi}{2}.

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en \frac{\pi}{2}, déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0

f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}

Corrigé de cet exercice

Etude de fonctions numériques
Exercice n° 1 :

Etudier la fonction f définie sur  D

a.  f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.
c.  f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.
d.  f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.
e.  f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.

Exercice n° 2 :

La fonction  f est dérivable sur  \mathbb{R}, strictement croissante sur ] -\infty ; -1] et sur [0 ;  +\infty [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,  f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation  f(x)=1\,.

Exercice n° 3 :

Etudier la fonction f définie sur  D .

a.  f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.

Corrigé de cet exercice

Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Corrigé de cet exercice

Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour x\in\mathbb{R}-\,\{\,1\,\,\} par f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}.

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en -\infty;+\infty;1^-;1^+.

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en -\infty\,et+\infty.

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout x\in\mathbb{R}-\,\{\,1\,\,\} : f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}.

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse x_0=0.

Corrigé de cet exercice

Dérivation

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xsin(x)+cos(x).

On se propose d’étudier cette fonction sur [0;2\pi].

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur [0;2\pi].

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l’intervalle [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].

4.Démontrer que: \frac{5\pi}{6}<\alpha\,<\pi.

Corrigé de cet exercice

Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par  f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}.

On note C sa représentation graphique dans un repère (O,\vec{i},\vec{j}).

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Corrigé de cet exercice


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