Exercices maths terminale S et ES

Dérivée : exercices Maths terminale corrigés en PDF.

Des exercices de maths en terminale S sur les dérivées.Tous ces exercices disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Exercice 1 – Etude de fonctions numériques

Etudier la fonction f définie sur  D

a.  f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.
c.  f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.
d.  f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.
e.  f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.

Exercice n° 2 :

La fonction  f est dérivable sur  \mathbb{R}, strictement croissante sur ] -\infty ; -1] et sur [0 ;  +\infty [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,  f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation  f(x)=1\,.

Exercice n° 3 :

Etudier la fonction f définie sur  D .

a.  f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.

Exercice n° 4 :

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice 2

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction  f_n définie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On Désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignantla fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 3 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=x^2sin(\frac{1}{x}),\,x\neq0 et f(0)=0.

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Exercice 4 – Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction vou est dérivable sur I et que pour tout x de I :

(vou)'(x)=u'(x)v'[u(x)].

Exercice 5 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur \mathbb{R}

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \mathbb{R} et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : \lim_{h\to,0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 et \lim_{h\to,0}\frac{sin(h)}{h}=0.

Exercice 6 – Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\frac{x}{1+,|x,,|}.

1.Démontrer que f est bornée sur \mathbb{R}.

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de \mathbb{R} sur ]-1;1[.

Exercice 7 – Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en \frac{\pi}{2} de la fonction f définie par : f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}} avec x\neq\frac{\pi}{2}.

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en \frac{\pi}{2}, déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0

f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}

Exercice 8 – Etude de fonctions numériques

Etudier la fonction f définie sur  D

a.  f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.
c.  f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.
d.  f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.
e.  f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.

Exercice 9

La fonction  f est dérivable sur  \mathbb{R}, strictement croissante sur ] -\infty ; -1] et sur [0 ;  +\infty [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus,  f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation  f(x)=1\,.

Exercice 10

Etudier la fonction f définie sur  D .

a.  f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.
b.  f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.

Exercice 11 – Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Exercice 12 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\} par f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}.

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en -\infty;+\infty;1^-;1^+.

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en -\infty\,et+\infty.

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout x\in\mathbb{R}-,\{,1,,\} : f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}.

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse x_0=0.

Exercice 13 – Dérivation

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xsin(x)+cos(x).

On se propose d’étudier cette fonction sur [0;2\pi].

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur [0;2\pi].

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l’intervalle [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].

4.Démontrer que: \frac{5\pi}{6}<\alpha,<\pi.

Exercice 14 – Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par  f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}.

On note C sa représentation graphique dans un repère (O,\vec{i},\vec{j}).

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Exercice 15 – Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  • f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}
  • f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}
  • f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}
  • f(x)=(x^3-2x+1)^3
  • f(x)=,\sqrt{1-5x^2}
  • f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}

Exercice 16 – Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et \theta tels que pour tout x de \mathbb{R} :

acosx+bsinx=Rcos(x-\theta,).

Application :

Résoudre dans \mathbb{R}, l’équation cosx+sinx=1.

Exercice 15 -Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Exercice 17 -Théorème de bijection

Démontrer que l’équation  x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Exercice 18 -Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors \frac{1}{g} est dérivable en a.

Exercice 19 – Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x.

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=-2x-\frac{1}{2} est asymptote oblique à Cf en -\infty.

Exercice 20 -Dérivée et dérivation

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice 21

pour tout entier naturel n, on considère la fonction  f_n définie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On Désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignant la fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 22 – Limite et dérivée

Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.

a.  \lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5) .

b.  \lim_{x\to +\infty} (2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}) .

c.  \lim_{x\to +\infty} (\frac{6x-1}{2x+5}) .

d.  \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}) .

e.  \lim_{x\to \pi} (\frac{sinx}{x}) .

f.  \lim_{x\to -3} (\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3}) .

Exercice 23 – asymptotes

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .

a.  f(x)=\frac{2x-4}{x-3} .

b.  f(x)=\frac{4x^2-2x-1}{x^2-x-12} .

Exercice 24 – Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat

On considere l’application f de  \mathbb{R} dans  \mathbb{R} definie par :

si  x\in [0;2[\,,\, f(x)=x^2(2-x) ;

et pour tout  x de  \mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x) .

1. Etudier la restriction  f_0 de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de  f_0 .

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de  \mathbb{Z} .

2. Démontrer que :

Si  x\in [2n;2n+2]\,,\, f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).

3. Est-ce que f est continue sur  \mathbb{R} ?

4. Est-ce que f est dérivable sur  \mathbb{R} ?

Exercice 25 – Fonction et dérivée

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^{-2e^{-3x}}.

1.Calculer f(0).

2.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.

3.calculer la dérivée f’.En déduire le tableau de variations de f.

4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse x_0=\frac{1}{3}ln2.

Corrigé de ces exercices sur la dérivée d’une fonction


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «dérivée : exercices Maths terminale corrigés en PDF.» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

.

D'autres exercices de maths en terminale corrigés en PDF :

  1. Logique et raisonnement par récurrence
  2. Les nombres complexes
  3. Les fonctions logarithmes
  4. La dérivation de fonctions
  5. Les fonctions exponentielles
  6. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
  7. Le produit scalaire
  8. Limites et asymptotes
  9. Les suites numériques
  10. Les équations différentielles
  11. Les intégrales et primitives
  12. Les barycentres
  13. Les probabilités


Des cours et exercices corrigés en terminale en vidéos


D'autres documents similaires Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 1 914 361 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 163 405 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

Mathovore

GRATUIT
VOIR