Cette série de 26 exercices fait le tour des outils d’analyse de terminale. Les premiers énoncés proposent des études complètes de fonctions : polynômes, fonctions rationnelles, racines carrées, fonctions trigonométriques et exponentielles, avec calcul de la fonction dérivée, étude de son signe, tableau de variations, limites aux bornes et recherche d’asymptotes horizontales, verticales ou obliques. D’autres exercices entraînent au calcul rapide de dérivées de fonctions composées et à la tangente en un point.
Une seconde partie vise le raisonnement : théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection pour dénombrer les solutions d’une équation, point fixe, taux d’accroissement pour lever une forme indéterminée, démonstrations de cours (dérivée d’une composée, de sinus et cosinus, d’un produit ou d’un inverse) et une fonction périodique non dérivable en certains points. Pour réussir la dérivée en terminale, il faut savoir enchaîner calcul, justification et interprétation graphique : ces énoncés s’y prêtent bien.
Cherche chaque exercice au brouillon, puis confronte ta rédaction au corrigé détaillé de ces exercices sur la dérivation. La fiche peut aussi être imprimée au format PDF pour un travail sur papier.
L’essentiel : Pour s’entraîner sur « Dérivée d’une fonction » en Terminale, la fiche propose 26 exercices progressifs : etude de fonctions numériques, un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue et dérivation d’une composée de fonctions. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice 1 – Etude de fonctions numériques (dérivée en terminale)
Etudier la fonction f définie sur \(D\).
a. \(f(x)=-5x^2+10x+4\), \(D=\mathbb{R}\).
b. \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x-5}\), \(D=\mathbb{R}\setminus\{5\}\).
c. \(f(x)=\dfrac{-7}{x+2}\), \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
d. \(f(x)=\sqrt{-2x+5}\), \(D=]-\infty\,;\,\dfrac{5}{2}]\).
e. \(f(x)=\tan(4x)\), \(D=]-\dfrac{\pi}{8}\,;\,\dfrac{\pi}{8}[\).
Exercice 2 :
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), strictement croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([0\,;\,+\infty[\) et strictement décroissante sur \([-1\,;\,0]\).
De plus, \(f(-3)=0\), \(f(-1)=3\) et \(f(0)=1\).
Déterminer le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=1\).
Exercice 3 (dérivée en terminale)
Etudier la fonction f définie sur \(D\).
a. \(f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+1\), \(D=\mathbb{R}\).
b. \(f(x)=-\dfrac{3x+1}{x^2-x+1}\), \(D=\mathbb{R}\).
c. \(f(x)=(1-\sin x)\sin x\), \(D=\mathbb{R}\).
Exercice 4 :
Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction.
• Calculer sa dérivée.
a. \(f(x)=(x^2-5)^4\).
b. \(f(x)=\sqrt{x^2+5x-6}\).
c. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
d. \(f(x)=(3x+6)^{-2}\).
e. \(f(x)=\sqrt{3+\cos^2 x}\).
f. \(f(x)=\sin(3x)\cos(2x)\).
g. \(f(x)=\dfrac{\sin(3x)}{x}\).
h. \(f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-4}\).
Exercice 5 (dérivée en terminale)
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(]-1\,;\,+\infty[\) par :
• pour n = 0, \(f_0(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^3}}\) ;
• pour \(n\geq\, 1\), \(f_n(x)=\dfrac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}}\).
On désignera par \((C_n)\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\) ayant comme unité graphique 4 cm.
1. Déterminer les limites de \(f_0\) aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de \(f_0\) et construire \(C_0\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
2. Soit n un entier naturel non nul.
a. \(f_n^{\prime}\) désignant la fonction dérivée de \(f_n\), montrer que :
\(f_n^{\prime}(x)=\dfrac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)\sqrt{1+x^3}}\)
b. Etudier le sens de variation des fonctions \(f_1\) et \(f_2\) puis dresser leur tableau de variation.
c. Tracer \(C_1\) et \(C_2\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
Exercice 6 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue
Considérons la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=x^2\sin(\dfrac{1}{x})\) si \(x\neq 0\) et \(f(0)=0\).
Montrer que :
1. f est continue en 0.
2. f est dérivable en 0.
3. f ‘ n’est pas continue en 0.
Exercice 7 – Dérivation d’une composée de fonctions (dérivée en terminale)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).
Démontrer que la fonction \(v\circ u\) est dérivable sur I et que pour tout x de I :
\((v\circ u)^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\,v^{\prime}(u(x))\).
Exercice 8 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur \(\mathbb{R}\)
Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et préciser leur fonction dérivée.
On rappelle que : \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}=0\) et \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h}=1\).
Exercice 9 – Les fonctions bijectives (dérivée en terminale)
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}\).
1. Démontrer que f est bornée sur \(\mathbb{R}\).
2. Etudier la parité de f.
3. Etudier la dérivabilité de f en 0.
4. Démontrer que f définit une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1\,;\,1[\).
Exercice 10 – Accroissement moyen
1. On se propose d’étudier la limite en \(\dfrac{\pi}{2}\) de la fonction f définie par : \(f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}\) avec \(x\neq\dfrac{\pi}{2}\).
Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.
En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en \(\dfrac{\pi}{2}\), déterminer la limite ci-dessus.
2. Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :
\(f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\) en \(a=0\) ;
\(f(x)=\dfrac{\tan x-1}{x-\frac{\pi}{4}}\) en \(a=\dfrac{\pi}{4}\).
Exercice 11 – Résolution d’une équation (dérivée en terminale)
Démontrer que l’équation \(x^4+x^3-x+1=0\) n’a pas de solution sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 12 – Etude d’une fonction
On considère la fonction f définie pour \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=x+3+\dfrac{9}{x-1}\).
On désigne par Cf sa représentation dans un repère.
1. Déterminer les limites de f en \(-\infty\), en \(+\infty\), en \(1^-\) et en \(1^+\).
2. Démontrer que la droite \(\Delta\) d’équation y = x + 3 est une asymptote oblique à Cf en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
3. Calculer la fonction dérivée f ‘.
Démontrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) : \(f^{\prime}(x)=\dfrac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}\).
4. En déduire le tableau de variations de la fonction f.
5. Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse \(x_0=0\).
Exercice 13 – Dérivation (dérivée en terminale)
On considère la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\sin(x)+\cos(x)\).
On se propose d’étudier cette fonction sur \([0\,;\,2\pi]\).
1. Calculer la dérivée f ‘.
2. En déduire le tableau de variation de f sur \([0\,;\,2\pi]\).
3. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}]\).
4. Démontrer que : \(\dfrac{5\pi}{6}\lt\alpha\lt\pi\).
Exercice 14 – Détermination d’une fonction
On considère une fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\).
De même, on note C sa représentation graphique dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
On sait que la courbe C passe par le point A(0 ; 1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.
Après cela, on sait que f ‘(0) = −6.
Déterminer les coefficients a, b et c.
Exercice 15 – Dérivée de fonctions (dérivée en terminale)
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
- \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}-\dfrac{1}{x+4}\)
- \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-9}\)
- \(f(x)=x^5-2x+\dfrac{3}{x}\)
- \(f(x)=(x^3-2x+1)^3\)
- \(f(x)=\sqrt{1-5x^2}\)
- \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}\)
Exercice 16 – Transformation de a cos x + b sin x
Soient a et b deux nombres réels.
Démontrer qu’il existe deux réels R et \(\theta\) tels que pour tout x de \(\mathbb{R}\) :
\(a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\theta)\).
Application :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x+\sin x=1\).
Exercice 17 – Théorème du point fixe (dérivée en terminale)
Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l’intervalle [0 ; 1].
Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].
Exercice 18 – Théorème de bijection
Démontrer que l’équation \(x^4+x^3-x+1=0\) n’a pas de solution sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 19 – Exercice sur les règles opératoires (dérivée en terminale)
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de I.
Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :
1. f + g est dérivable en a.
2. fg est dérivable en a.
3. Si g ne s’annule pas au voisinage de a, alors \(\dfrac{1}{g}\) est dérivable en a.
Exercice 20 – Etude d’une fonction irrationnelle
On considère la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x\).
On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1. Etudier les limites de f en \(-\infty\) et en \(+\infty\). La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales ?
2. Démontrer que la droite \(\Delta\) d’équation \(y=-2x-\dfrac{1}{2}\) est asymptote oblique à Cf en \(-\infty\).
Exercice 21 – Dérivée et dérivation
Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction.
• Calculer sa dérivée.
a. \(f(x)=(x^2-5)^4\).
b. \(f(x)=\sqrt{x^2+5x-6}\).
c. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
d. \(f(x)=(3x+6)^{-2}\).
e. \(f(x)=\sqrt{3+\cos^2 x}\).
f. \(f(x)=\sin(3x)\cos(2x)\).
g. \(f(x)=\dfrac{\sin(3x)}{x}\).
h. \(f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-4}\).
Exercice 22 :
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(]-1\,;\,+\infty[\) par :
• pour n = 0, \(f_0(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^3}}\) ;
• pour \(n\geq\, 1\), \(f_n(x)=\dfrac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}}\).
On désignera par \((C_n)\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\) ayant comme unité graphique 4 cm.
1. Déterminer les limites de \(f_0\) aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de \(f_0\) et construire \(C_0\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
2. Soit n un entier naturel non nul.
a. \(f_n^{\prime}\) désignant la fonction dérivée de \(f_n\), montrer que :
\(f_n^{\prime}(x)=\dfrac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)\sqrt{1+x^3}}\)
b. Etudier le sens de variation des fonctions \(f_1\) et \(f_2\) puis dresser leur tableau de variation.
c. Tracer \(C_1\) et \(C_2\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
Exercice 23 – Limite et dérivée
Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.
a. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5)\).
b. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} (2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2})\).
c. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{6x-1}{2x+5}\).
d. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3})\).
e. \(\displaystyle\lim_{x\to \pi} \dfrac{\sin x}{x}\).
f. \(\displaystyle\lim_{x\to -3} \dfrac{1-\sqrt{x+4}}{x+3}\).
Exercice 24 – asymptotes
Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptotes à la courbe représentative de la fonction f et indiquer leur équation.
a. \(f(x)=\dfrac{2x-4}{x-3}\).
b. \(f(x)=\dfrac{4x^2-2x-1}{x^2-x-12}\).
Exercice 25 – Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat
On considère l’application f de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :
si \(x\in [0\,;\,2[\), \(f(x)=x^2(2-x)\) ;
et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(f(x+2)=f(x)\).
1. Etudier la restriction \(f_0\) de f à l’intervalle [0 ; 2] et construire la courbe représentative de \(f_0\).
Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n ; 2n + 2] où n est élément de \(\mathbb{Z}\) ?
2. Démontrer que :
si \(x\in [2n\,;\,2n+2]\), \(f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x)\).
3. Est-ce que f est continue sur \(\mathbb{R}\) ?
4. Est-ce que f est dérivable sur \(\mathbb{R}\) ?
Exercice 26 – Fonction et dérivée
On considère la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{-2e^{-3x}}\).
1. Calculer f(0).
2. Etudier les limites de f en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
3. Calculer la dérivée f ‘. En déduire le tableau de variations de f.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse \(x_0=\dfrac{1}{3}\ln 2\).
Dérivée en terminale : nos conseils pour progresser
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, dérivée en terminale en terminale demande surtout de la régularité.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec intégrales et primitives : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
