Sujet Asie 2025 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Asie, donné le 12 juin 2025, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice part de l’épidémie de chikungunya à La Réunion : arbre pondéré, formule des probabilités totales, fiabilité d’un test de dépistage selon la proportion de malades, puis taille minimale d’un échantillon avec une loi binomiale. Le deuxième étudie une suite arithmético-géométrique, puis une seconde suite qui en dépend, avec un programme Python à corriger, une récurrence et un passage à la limite par encadrement. Ensuite, le troisième est un vrai-faux de géométrie dans l’espace (droite orthogonale à un plan, angle par produit scalaire, intersection de deux plans, projeté orthogonal). Par ailleurs, le dernier modélise la température d’une réaction chimique par une fonction exponentielle, jusqu’au calcul d’une température moyenne par intégration par parties.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Asie (jour 2).

En outre, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet Asie 2025 : ce que contient le sujet

D’abord, ce sujet Asie 2025 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Asie (jour 2), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, les suites arithmético-géométriques et l’algorithmique en Python. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
Asie — 12 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à \(10^{-3}\) dans cet exercice.

« Le virus du chikungunya, transmis à l’homme par la piqûre du moustique tigre provoque chez les patients des douleurs articulaires aiguës qui peuvent être persistantes. En 2005, une importante épidémie de chikungunya a touché les îles de l’Océan Indien et notamment l’île de La Réunion, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés. En 2007, la maladie a fait son apparition en Europe, puis fin 2013, aux Antilles et a atteint le continent américain en 2014 ».

(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus.

Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu’un individu atteint par le virus ait un test positif est de \(0{,}999\) ;
la probabilité qu’un individu non atteint par le virus ait un test positif est de \(0{,}005\).

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

\(M\) l’évènement : « l’individu choisi est atteint du chikungunya ».
\(T\) l’évènement : « le test de l’individu choisi est positif ».

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à \(0{,}95\).

Partie A : Étude d’un exemple

1. Donner les probabilités \(P_{M}(T)\) et \(P_{\overline{M}}(T)\).

« En mars 2005, l’épidémie s’est propagée rapidement dans l’ile de La Réunion, avec une flambée importante entre fin avril et début juin puis une persistance de la transmission virale durant l’hiver austral. Au total, 270 000 personnes ont été infectées pour une population totale de 750 000 individus ».

(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Fin 2005, le laboratoire a effectué un test de dépistage massif de la population de l’île de La Réunion.

Dans cette partie, la population cible est donc la population de l’ile de La Réunion.

2. Donner la valeur exacte de \(P(M)\).

3. Recopier et compléter l’arbre pondéré donné ci-dessous.

4. Calculer la probabilité qu’un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.

5. Calculer la probabilité qu’un individu ait un test positif.

6. Calculer la probabilité qu’un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.

7. Peut-on estimer que ce test est fiable ? Argumenter.

Partie B : Dépistage sur une population cible

Dans cette partie, on note \(p\) la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible.

On cherche ici à tester la fiabilité du test de ce laboratoire en fonction de \(p\).

1. Recopier, en l’adaptant, l’arbre pondéré de la question A3 en tenant compte des nouvelles données.

2. Exprimer la probabilité \(P(T)\) en fonction de \(p\).

3. Montrer que \(P_{T}(M) = \dfrac{999 p}{994 p+5}\).

4. Pour quelles valeurs de \(p\) peut-on considérer que ce test est fiable ?

Partie C : Étude sur un échantillon

Pendant l’épidémie, on admet que la probabilité d’être atteint du chikungunya sur l’ile de La Réunion est de 0,36.

On considère un échantillon de \(n\) individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. En outre, on désigne par \(X\) la variable aléatoire dénombrant le nombre d’individus infectés dans cet échantillon parmi les \(n\) tirés au sort.

On admet que \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0{,}36\).

Déterminer à partir de combien d’individus \(n\) la probabilité de l’évènement « au moins un des \(n\) habitants de cet échantillon est atteint par le virus » est supérieure à \(0{,}99\). Expliquer la démarche.

Exercice 2 (5 points)

Partie A

Soit \((u_{n})\) la suite définie par \(u_{0}=30\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10\).

Soit \((v_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n}=u_{n}-20\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_{1}\) et \(u_{2}\).

2. Démontrer que la suite \((v_{n})\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

3. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\) entier naturel.

4. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}=20+10(\dfrac{1}{2})^{n}\).

5. Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\). Justifier la réponse.

Partie B

Soit \((w_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\begin{cases} w_{0}=45 \\ w_{n+1}=\dfrac{1}{2} w_{n}+\dfrac{1}{2} u_{n}+7 \end{cases}\]

1. Montrer que \(w_{1} = 44{,}5\).

On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme \(w_{n}\) pour une valeur de \(n\) donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite.

1  def suite(n):
2      U=30
3      W=45
4      for i in range (1,n+1):
5          U=U/2+10
6          W=W/2+U/2+7
7      return W

2. L’exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme \(w_{1}\). Comment modifier la fonction suite afin que l’exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme \(w_{n}\) ?

3. a. Montrer, par récurrence sur \(n\), que pour tout entier naturel \(n\) on a :

\[w_{n}=10 n(\dfrac{1}{2})^{n}+11(\dfrac{1}{2})^{n}+ 34\]

b. On admet que pour tout entier naturel \(n \geq\, 4\), on a : \(0 \leq\, 10 n(\dfrac{1}{2})^{n} \leq\, \dfrac{10}{n}\).

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite \((w_{n})\) ?

Exercice 3 (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

les points \(\text{C}(3~;~0~;~0)\), \(\text{D}(0~;~2~;~0)\), \(\text{H}(-6~;~2~;~2)\) et \(\text{J}(\dfrac{-54}{13}~;~\dfrac{62}{13}~;~0)\) ;
le plan \(P\) d’équation cartésienne \(2 x+3 y+ 6 z-6 = 0\) ;
le plan \(P^{\prime}\) d’équation cartésienne \(x – 2 y + 3 z – 3 = 0\) ;
la droite \((d)\) dont une représentation paramétrique est : \(\begin{cases}x=- 8+\frac{1}{3} t \\ y = -1+\frac{1}{2} t \\ z=-4+t\end{cases}, \enskip t \in \mathbb{R}\)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : La droite \((d)\) est orthogonale au plan \(P\) et coupe ce plan en H.

Ensuite, Affirmation 2 : La mesure en degré de l’angle \(\widehat{\mathrm{DCH}}\), arrondie à \(10^{-1}\), est \(17{,}3^{\circ}\).

Affirmation 3 : Les plans \(P\) et \(P^{\prime}\) sont sécants et leur intersection est la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est : \(\begin{cases}x=3-3t \\ y=0 \\ z=t\end{cases}, \enskip t \in \mathbb{R}\).

Affirmation 4 : Le point J est le projeté orthogonal du point H sur la droite (CD).

Exercice 4 (5 points)

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l’évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

L’objectif de cet exercice est d’étudier cette modélisation.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute.

Dans tout l’exercice, on se place sur l’intervalle de temps \([0~;~10]\).

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température en fonction du temps sur l’intervalle \([0~;~10]\).

1. Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l’instant \(t = 0\).

On appelle \(f\) la fonction température représentée par la courbe ci-dessus.

Par ailleurs, on précise que la fonction \(f\) est définie et dérivable sur l’intervalle \([0~;~10]\).

On admet que la fonction \(f\) peut s’écrire sous la forme \(f(t) = (at + b)\text{e}^{-0{,}5 t}\) où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles.

2. On admet que la valeur exacte de \(f(0)\) est 40. En déduire la valeur de \(b\).

3. On admet que \(f\) vérifie l’équation différentielle \((\mathrm{E}) : y^{\prime}+ 0{,}5 y= 60 \text{e}^{-0{,}5 t}\). Déterminer la valeur de \(a\).

Partie B : Étude de la fonction \(f\)

On admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0~;~10]\) par

\[f(t) = (60 t+ 40)\text{e}^{-0{,}5 t}\]

1. Montrer que pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0~;~10]\), on a : \(f^{\prime}(t)=(40-30 t) \text{e}^{-0{,}5 t}\).

2. a. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0~;~10]\).

Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.

b. Montrer que l’équation \(f(t) = 40\) admet une unique solution \(\alpha\) strictement positive sur l’intervalle \(]0~;~10]\).

c. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.

3. On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps \(t_{1}\) et \(t_{2}\), exprimés en minute, par

\[\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)\,\mathrm{d} t\]

a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que

\[\int_{0}^{4} f(t) \, \mathrm{d}t=320-\dfrac{800}{\text{e}^{2}}\]

b. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.

Bien travailler ce sujet Asie 2025

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.

Sujet Asie 2025 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et les suites arithmético-géométriques, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Asie (jour 2)

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