Bac 2023 Asie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, cette page reprend le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Asie, posé le 23 mars 2023, avec son corrigé détaillé rédigé question par question. Le premier exercice étudie la suite \(u_{n+1} = 0{,}9u_n + 60\) par récurrence, convergence monotone et une fonction Python de seuil, puis l’applique à un arboriculteur qui vend et replante des arbres dans un verger limité à 500 places. Le deuxième calcule dans un cube le volume du tétraèdre FMNP grâce à un triangle rectangle, un vecteur normal et un projeté orthogonal. Le troisième cherche le nombre de solutions de l’équation \(\ln(x) = kx\) selon le paramètre \(k\). Ensuite, le dernier est un QCM de probabilités sur une urne de quinze billes colorées et un jeu à mise de 10 euros.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Asie (jour 1).

De plus, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2023 Asie : organisation de l’épreuve

D’abord, ce bac 2023 Asie vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Asie (jour 1), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont le raisonnement par récurrence, l’algorithmique en Python, la géométrie dans l’espace et la fonction logarithme népérien. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
Asie — 23 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_0 = 400\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = 0{,}9u_n + 60.\]

1. a. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), on a l’inégalité

\[0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 600.\]

3. a. Montrer que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente.

b. Déterminer la limite de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\). Justifier.

4. On donne une fonction écrite en langage Python :

def mystere(seuil) :
    n=0
    u=400
    while u <= seuil :
        n = n+1
        u = 0.9*u+60
    return n

Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : mystere(500) ?

Partie B

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum 500 arbres.

Chaque année il vend 10 % des arbres de son verger et puis il replante 60 nouveaux arbres.

Le verger compte 400 arbres en 2023.

L’arboriculteur pense qu’il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Expliquer votre réponse.

Exercice 2 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH qui est représenté en annexe.

Dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}}~;~\vec{\text{AD}}~;~\vec{\text{AE}})\), on considère les points M, N et P de coordonnées :

\(\text{M}(1~;~1~;~\dfrac{3}{4})\), \(\text{N}(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1)\), \(\text{P}(1~;~0~;~-\dfrac{5}{4})\)

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre FMNP.

1. Donner les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{MN}}\) et \(\vec{\text{MP}}\).

2. Placer les points M, N et P sur la figure donnée en annexe qui sera à rendre avec la copie.

(annexe à rendre avec la copie)

3. Justifier que les points M, N et P ne sont pas alignés.

Dès lors les trois points définissent le plan (MNP).

4. a. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{MN}} \cdot \vec{\text{MP}}\), puis en déduire la nature du triangle MNP.

b. Calculer l’aire du triangle MNP.

5. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(5~;~-8~;~4)\) est un vecteur normal au plan (MNP).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (MNP) est \(5x – 8y + 4z = 0\).

6. On rappelle que le point F a pour coordonnées \(\text{F}(1~;~0~;~1)\).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\) orthogonale au plan (MNP) et passant par le point F.

7. On note L le projeté orthogonal du point F sur le plan (MNP).

Montrer que les coordonnées du point L sont : \(\text{L}(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35})\).

8. Montrer que \(\text{FL} = \dfrac{3\sqrt{105}}{35}\) puis calculer le volume du tétraèdre FMNP.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d^{\prime}une base} \times \text{hauteur associée à cette base}.\]

Exercice 3 (5 points)

Soit \(k\) un réel strictement positif.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l’équation

\[\ln(x) = kx\]

de paramètre \(k\).

1. Conjectures graphiques :

On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d’équation \(y = \ln(x)\), la droite d’équation \(y = x\) ainsi que la droite d’équation \(y = 0{,}2x\) :

À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation \(\ln(x) = kx\) pour \(k = 1\) puis pour \(k = 0{,}2\).

2. Étude du cas \(k = 1\) :

On considère la fonction \(f\), définie et dérivable sur \(]0~;~+\infty[\), par :

\[f(x) = \ln(x) – x.\]

On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).

a. Calculer \(f^{\prime}(x)\).

b. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

Dresser le tableau des variations de la fonction \(f\) en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a.

Les limites aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.

c. En déduire le nombre de solutions de l’équation \(\ln(x) = x\).

3. Étude du cas général :

\(k\) est un nombre réel strictement positif.

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(x) – kx.\]

On admet que le tableau des variations de la fonction \(g\) est le suivant :

a. Donner, en fonction du signe de \(g(\dfrac{1}{k})\), le nombre de solutions de l’équation \(g(x) = 0\).

b. Calculer \(g(\dfrac{1}{k})\) en fonction du réel \(k\).

c. Montrer que \(g(\dfrac{1}{k}) \gt 0\) équivaut à \(\ln(k) \lt -1\).

d. Déterminer l’ensemble des valeurs de \(k\) pour lesquelles l’équation \(\ln(x) = kx\) possède exactement deux solutions.

e. Donner, selon les valeurs de \(k\), le nombre de solutions de l’équation \(\ln(x) = kx\).

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Une urne contient 15 billes indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15.

La bille numérotée 1 est rouge.

Les billes numérotées 2 à 5 sont bleues.

Les autres billes sont vertes.

On choisit une bille au hasard dans l’urne.

On note \(R\) (respectivement \(B\) et \(V\)) l’évènement : « La bille tirée est rouge » (respectivement bleue et verte).

Question 1 :

Quelle est la probabilité que la bille tirée soit bleue ou numérotée d’un nombre pair ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac{7}{15}\)	\(\dfrac{9}{15}\)	\(\dfrac{11}{10}\)	Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

Question 2 :

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu’elle soit numérotée 7 ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{7}{15}\)	\(\dfrac{1}{10}\)	Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

Un jeu est mis en place. Pour pouvoir jouer, le joueur paie la somme de 10 euros appelée la mise.

Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l’urne.

Exercice 4 du bac 2023 Asie : questions 3 à 5

Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille.
Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.

On note \(G\) la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il remporte et sa mise de départ.

Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée 3, alors son gain algébrique est \(-1\) euro.

Question 3 :

Que vaut \(P(G = 5)\) ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{2}{15}\)	\(\dfrac{1}{3}\)	Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

Question 4 :

Quelle est la valeur de \(P_R(G = 0)\) ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(0\)	\(\dfrac{1}{15}\)	\(1\)	Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

Question 5 :

Que vaut \(P_{(G = -4)}(V)\) ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{4}{15}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

Comment réviser avec ce bac 2023 Asie

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur le raisonnement par récurrence ou l’algorithmique en Python. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article raisonnement par récurrence de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les pièges classiques

Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.
En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.

Bac 2023 Asie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, le raisonnement par récurrence, l’algorithmique en Python et la géométrie dans l’espace, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Asie (jour 1)

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