En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac S de maths 2020 aux Antilles-Guyane (septembre).
Ensuite, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.
Bac 2020 Antilles : présentation de l’épreuve
D’abord, ce bac 2020 Antilles vous permet de retrouver le bac S de mathématiques 2020 aux Antilles-Guyane (septembre), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 6, 6, 4 et 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi normale, la fonction exponentielle et la géométrie dans l’espace. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.
BACCALAURÉAT S — SESSION 2020
Antilles-Guyane — 9 septembre 2020
Mathématiques — Durée : 4 heures
Exercice 1 (6 points)
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront arrondis au millième. Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture.
Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l’emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.
On se place un jour donné. En outre, on dispose des informations suivantes :
- la probabilité que Louise emmène Zoé le matin est \(0{,}55\) ;
- si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est \(0{,}7\) ;
- si Louise n’a pas emmené Zoé le matin, la probabilité qu’elle la ramène le soir est \(0{,}24\).
On note \(M\) et \(S\) les événements suivants :
- \(M\) : « Louise emmène Zoé le matin » ;
- \(S\) : « Louise ramène Zoé le soir ».
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
2. Calculer \(P(M \cap S)\). Traduire ce résultat par une phrase.
3. Démontrer que la probabilité de l’événement \(S\) est égale à \(0{,}493\).
4. On sait que Louise a ramené Zoé le soir.
Quelle est la probabilité que Louise l’ait emmenée le matin ?
Partie B
Le temps de trajet de Louise, en minute, entre son domicile et son travail, peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale d’espérance 28 et d’écart-type 5.
1. Calculer \(P(X \leq\, 25)\).
2. Calculer la probabilité que le temps de trajet soit compris entre 18 et 38 minutes.
3. Déterminer la durée \(d\) du trajet, arrondie à la minute, telle que \(P(X \geq\, d) = 0{,}1\).
4. Louise a maintenant trouvé un itinéraire plus rapide.
Désormais, le temps de trajet, en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire \(Y\) qui suit la loi normale d’espérance 26 et d’écart-type \(\sigma\).
On sait que \(P(Y \geq\, 30) = 0{,}1\).
Déterminer l’arrondi au centième de \(\sigma\).
Partie C
L’entreprise de Louise indique sur son site internet que 35 % de ses salariés pratiquent le covoiturage. Un sondage effectué au sein de l’entreprise montre que sur 254 salariés choisis au hasard, 82 pratiquent le covoiturage.
Ce sondage remet-il en cause l’information publiée par l’entreprise sur son site internet ?
Exercice 2 (6 points)
Commun à tous les candidats
La partie C est indépendante des parties A et B.
Partie A
La fonction \(g\) est définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par
\[g(x) = 1 – \text{e}^{-x}.\]
On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\).
1. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\).
2. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \([0\,;\,+\infty[\) et dresser son tableau de variations.
Partie B
Dans cette partie, \(k\) désigne un réel strictement positif.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x – 1)\text{e}^{-kx} + 1.\]
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I, J), on note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\). Cette courbe est représentée ci-dessous pour une certaine valeur de \(k\).
La tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A d’abscisse 1 coupe l’axe des ordonnées en un point noté B.
1. a. Démontrer que pour tout réel \(x\),
\[f^{\prime}(x) = \text{e}^{-kx}(-kx + k + 1).\]
b. Démontrer que l’ordonnée du point B est égale à \(g(k)\) où \(g\) est la fonction définie dans la partie A.
2. En utilisant la partie A, démontrer que le point B appartient au segment [OJ].
Partie C
Dans cette partie, on considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[h(x) = (x – 1)\text{e}^{-2x} + 1.\]
On admet que la fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Ensuite, on se place dans un repère orthonormé (O ; I, J).
On note \(\mathcal{C}_h\) la courbe représentative de la fonction \(h\) et \(d\) la droite d’équation \(y = x\).
La courbe \(\mathcal{C}_h\) et la droite \(d\) sont représentées sur l’ANNEXE 1 à rendre avec la copie.
On admet que la courbe \(\mathcal{C}_h\) est au-dessus de la droite \(d\) sur l’intervalle [0 ; 1].
Soit \(\mathcal{D}\) le domaine du plan délimité par la courbe \(\mathcal{C}_h\), la droite \(d\) et les droites verticales d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\). Soit \(\mathcal{A}\) l’aire de \(\mathcal{D}\) exprimée en unité d’aire.
1. Sur l’ANNEXE 1 à rendre avec la copie, hachurer le domaine \(\mathcal{D}\) et justifier que
\[\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 [h(x) – x]\, \text{d}x.\]
2. a. Démontrer que, pour tout réel \(x\),
\[h(x) – x = (1 – x)(1 – \text{e}^{-2x}).\]
b. On admet que, pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-2x} \geq\, 1 – 2x\).
Démontrer que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle [0 ; 1],
\[h(x) – x \leq\, 2x – 2x^2.\]
c. En déduire que \(\mathcal{A} \leq\, \dfrac{1}{3}\).
3. Soit \(H\) la fonction définie sur [0 ; 1] par
\[H(x) = \dfrac{1}{4}(1 – 2x)\text{e}^{-2x} + x.\]
On admet que la fonction \(H\) est une primitive de la fonction \(h\) sur [0 ; 1].
Déterminer la valeur exacte de \(\mathcal{A}\).
ANNEXE 1 (exercice 2, partie C) — à rendre avec la copie
Exercice 3 (4 points)
Commun à tous les candidats
Dans le cube ABCOEFGH ci-dessous et reproduit en ANNEXE 2 à rendre avec la copie, on a placé les points M et N milieux respectifs des segments [AB] et [BC].
![Cube ABCDEFGH en perspective, face ABCD en bas avec A à l'arrière gauche, B à l'avant gauche, C à l'avant droit et D à l'arrière droit, face EFGH au-dessus ; M est placé au milieu de [AB] et N au milieu de [BC], et les trois axes partent de A vers B, D et E](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-s-maths-2020-antilles-guyane-septembre-sujet-corrige-figure-3.png)
On se place dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).
1. Donner sans justifier les coordonnées des points H, M et N.
2. On admet que les droites (CD) et (MN) sont sécantes et on note K leur point d’intersection.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite (MN).
On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (CD) est
\[\begin{cases} x = t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
b. Déterminer les coordonnées du point K.
3. On admet que les points H, M, N définissent un plan et que la droite (CG) et le plan (HMN) sont sécants. On note L leur point d’intersection.
a. Vérifier que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (HMN).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (HMN).
c. En déduire les coordonnées du point L.
4. Sur l’ANNEXE 2 à rendre avec la copie, construire les points K et L puis la section du cube ABCDEFGH par le plan (HMN).
ANNEXE 2 (exercice 3) — à rendre avec la copie
![Annexe 2 : le même cube ABCDEFGH en perspective avec les points M, milieu de [AB], et N, milieu de [BC], sur lequel construire K, L et la section par le plan (HMN)](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-s-maths-2020-antilles-guyane-septembre-sujet-corrige-figure-4.png)
Exercice 4 (5 points) — Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Soit \((u_n)\) la suite définie par
\[u_0 = 4 \text{ et pour tout entier naturel } n,\ u_{n+1} = -\dfrac{2}{3}u_n + 1\]
et soit \((v_n)\) la suite définie par
\[\text{pour tout entier naturel } n,\ v_n = u_n – \dfrac{2}{3}.\]
Affirmation 1 : La suite \((v_n)\) est une suite géométrique.
2. Soit \((w_n)\) la suite définie par, pour tout entier naturel \(n\) non nul,
\[w_n = \dfrac{3 + \cos(n)}{n^2}.\]
Affirmation 2 : La suite \((w_n)\) converge vers 0.
3. On considère l’algorithme suivant :
U ← 5
N ← 0
Tant que U ⩽ 5000
U ← 3 × U − 8
N ← N + 1
Fin Tant que
Affirmation 3 : À la fin de l’exécution, la variable \(U\) contient la valeur 5 000.
4. On note \(\mathbb{C}\) l’ensemble des nombres complexes. On considère l’équation (E) d’inconnue \(z\) dans \(\mathbb{C}\)
\[(z – \text{i})(z^2 + z\sqrt{3} + 1) = 0.\]
Affirmation 4 : Toutes les solutions de l’équation (E) sont de module 1.
5. On considère les nombres complexes \(z_n\) définis par
\[z_0 = 2 \text{ et pour tout entier naturel } n,\ z_{n+1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_n.\]
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct \((\text{O}\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\).
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(M_n\) le point d’affixe \(z_n\).
Affirmation 5 : Pour tout entier naturel \(n\), le point O est le milieu du segment \([M_nM_{n+2}]\).
Exercice 4 (5 points) — Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On considère l’équation (E)
\[x^2 – 5y^2 = 1\]
où \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels.
Partie A
On suppose que \((x\,;\,y)\) est un couple solution de l’équation (E).
1. \(x\) et \(y\) peuvent-ils avoir la même parité ? Justifier.
2. Démontrer que \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.
3. Soit \(k\) un entier naturel.
Recopier et compléter le tableau suivant :
| Reste de la division euclidienne de \(k\) par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Reste de la division euclidienne de \(k^2\) par 5 |
4. En déduire que \(x \equiv 1\ [5]\) ou \(x \equiv 4\ [5]\).
Partie B
Soit \(A\) la matrice \(\begin{pmatrix} 9 20 \\ 4 9 \end{pmatrix}\).
On considère les suites \((x_n)\) et \((y_n)\) définies par
\[x_0 = 1 \text{ et } y_0 = 0, \text{ et pour tout entier naturel } n,\ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}\]
1. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(x_n\) et \(y_n\).
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \((x_n,\,y_n)\) est solution de l’équation (E).
3. a. Déterminer \(A^2\), puis en déduire \(x_2\) et \(y_2\).
b. Soit \(p\) un entier naturel.
Démontrer que si \(y_p\) est un multiple de 9 alors \(y_{p+2}\) est aussi un multiple de 9.
c. En déduire que \(y_{2020}\) est un multiple de 9.
Bac 2020 Antilles : méthode pour bien s’entraîner
Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi normale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.
Les erreurs qui coûtent des points
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avec une loi normale, vérifiez à la calculatrice que vous avez bien saisi l’écart-type et non la variance.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
Bac 2020 Antilles : questions fréquentes
Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi normale et la fonction exponentielle, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac S de maths 2020 aux Antilles-Guyane (septembre)
