Bac maths 2025 Asie J1 : sujet et corrigé

Cette page propose le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Asie, posé le 11 juin 2025, suivi d’un corrigé détaillé de toutes les questions. Le premier exercice est un vrai-faux de géométrie dans l’espace : plan défini par trois points, parallélisme, angle par produit scalaire, projeté orthogonal et intersection d’une droite avec une sphère. Le deuxième suit le contrôle qualité d’une usine de jouets, avec un arbre pondéré, une loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le troisième modélise la quantité d’un médicament dans l’organisme par une suite arithmético-géométrique, puis sa moyenne au fil des prises à l’aide d’un programme Python. Le dernier étudie la fonction \(x \mapsto \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\) : limites, variations, intégrale et convexité.

Tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 1
Asie — 11 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

\(\alpha\) un réel quelconque ;
les points \(\text{A}(1~;~1~;~0)\), \(\text{B}(2~;~1~;~0)\) et \(\text{C}(\alpha~;~3~;~\alpha)\) ;
\((d)\) la droite dont une représentation paramétrique est : \(\{\begin{array}{l}x = 1 + t\\ y = 2t\\ z = -t\end{array}., \quad t \in \mathbb{R}\)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de \(\alpha\), les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est \(\vec{\jmath}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\).

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de \(\alpha\) telle que les droites \((AC)\) et \((d)\) soient parallèles.

Affirmation 3 : Une mesure de l’angle \(\widehat{\text{OAB}}\) est 135°.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((d)\) est le point \(\text{H}(1~;~2~;~2)\).

Affirmation 5 : La sphère de centre O et de rayon 1 rencontre la droite \((d)\) en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance \(r\) de \(\Omega\).

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s’intéresse à deux tests effectués par l’entreprise de jouets : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d’un grand nombre de vérifications, l’entreprise affirme que :

95 % des jouets réussissent le test de fabrication ;
Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité ;
1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

\(F\) l’évènement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;
\(S\) l’évènement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1. À partir des données de l’énoncé, donner les probabilités \(P(F)\) et \(P_F(S)\).

2. a. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l’énoncé.

b. Montrer que \(P_{\overline{F}}(\overline{S}) = 0{,}2\).

3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.

5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu’il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de \(n\) jouets, où \(n\) est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de \(n\) tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu’un jouet réussisse le test de fabrication est égale à \(0{,}95\).

Soit \(S_n\) la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que \(S_n\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p = 0{,}95\).

1. Exprimer l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(S_n\) en fonction de \(n\).

2. Dans cette question, on pose \(n = 150\).

a. Déterminer une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de \(P(S_{150} = 145)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

b. Déterminer la probabilité qu’au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à \(10^{-3}\) près.

3. Dans cette question, l’entier naturel non nul \(n\) n’est plus fixé.

Soit \(F_n\) la variable aléatoire définie par : \(F_n = \dfrac{S_n}{n}\). La variable aléatoire \(F_n\) représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de \(n\) jouets prélevés.

On note \(E(F_n)\) l’espérance et \(V(F_n)\) la variance de la variable aléatoire \(F_n\).

a. Montrer que \(E(F_n) = 0{,}95\) et que \(V(F_n) = \dfrac{0{,}0475}{n}\).

b. On s’intéresse à l’évènement \(I\) suivant : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de \(n\) jouets est strictement comprise entre 93 % et 97 % ».

En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur \(n\) de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l’évènement \(I\) est supérieure ou égale à \(0{,}96\).

Exercice 3 (5 points)

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 ml d’un médicament.

On introduit la suite \((u_n)\) telle que le terme \(u_n\) représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l’organisme immédiatement après \(n\) prises de médicament.

On a \(u_1 = 2\) et

pour tout entier naturel \(n\) strictement positif : \(u_{n+1} = 2 + 0{,}8u_n\).

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l’organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

1. Calculer la valeur \(u_2\).

2. Montrer par récurrence que :

\[u_n = 10 – 8 \times 0{,}8^{n-1} \text{ pour tout entier naturel } n \text{ strictement positif.}\]

3. Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\) et et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.

4. Soit \(N\) un entier naturel strictement positif, l’inéquation \(u_N \geq\, 10\) admet-elle des solutions ?

Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l’exercice.

5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l’organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL. Justifier votre démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s’intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l’organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite \((S_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) strictement positif par

\[S_n = \dfrac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}.\]

On admet que la suite \((S_n)\) est croissante.

1. Calculer \(S_2\).

2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) strictement positif,

\[u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n – 40 + 40 \times 0{,}8^n.\]

3. Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n\).

4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

1   def mystere(k):
2       n = 1
3       s = 2
4       while s < k:
5           n = n + 1
6           s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
7       return n

Dans le contexte de l’énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\]

et on appelle \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par \(g(x) = \text{e}^{\sqrt{x}}\).

a. Montrer que \(g^{\prime}(x) = f(x)\) pour tout \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

b. Pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\), calculer \(f^{\prime}(x)\) et montrer que :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} – 1)}{4x\sqrt{x}}.\]

2. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en 0.

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

b. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) en y faisant figurer les limites aux bornes de l’intervalle de définition.

c. Montrer que l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution sur l’intervalle \([1~;~+\infty[\) et donner une valeur approchée à \(10^{-1}\) près de cette solution.

4. On pose \(I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\,\text{d}x\).

a. Calculer \(I\).

b. Interpréter graphiquement le résultat.

5. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) et que :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}(x – 3\sqrt{x} + 3)}{8x^2\sqrt{x}}.\]

a. En posant \(X = \sqrt{x}\), montrer que \(x – 3\sqrt{x} + 3 \gt 0\) pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

b. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Affirmation 1 : fausse. On a \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}\alpha – 1\\2\\\alpha\end{pmatrix}\). La deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) vaut 2 alors que celle de \(\vec{\text{AB}}\) est nulle : ces vecteurs ne sont jamais colinéaires, donc A, B, C ne sont pas alignés et définissent bien un plan pour tout \(\alpha\). En revanche \(\vec{\jmath} \cdot \vec{\text{AC}} = 0 \times (\alpha – 1) + 1 \times 2 + 0 \times \alpha = 2 \neq 0\) : \(\vec{\jmath}\) n’est pas orthogonal à \(\vec{\text{AC}}\), il ne peut donc pas être normal au plan (ABC). La seconde partie de l’affirmation est fausse, donc l’affirmation l’est aussi.

Affirmation 2 : fausse. Un vecteur directeur de \((d)\) est \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). Les droites \((AC)\) et \((d)\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{\text{AC}}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe \(k\) tel que \(\vec{\text{AC}} = k\,\vec{u}\). La deuxième coordonnée donne \(2 = 2k\), donc \(k = 1\). Il faudrait alors \(\alpha – 1 = 1\), soit \(\alpha = 2\), et \(\alpha = -1\) : c’est contradictoire. Aucune valeur de \(\alpha\) ne convient.

Affirmation 3 : vraie. On utilise le produit scalaire avec \(\vec{\text{AO}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) : \(\vec{\text{AO}} \cdot \vec{\text{AB}} = -1\), \(\text{AO} = \sqrt{2}\) et \(\text{AB} = 1\). Donc

\[\cos\widehat{\text{OAB}} = \dfrac{\vec{\text{AO}} \cdot \vec{\text{AB}}}{\text{AO} \times \text{AB}} = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\]

et l’angle géométrique \(\widehat{\text{OAB}}\), compris entre 0° et 180°, mesure 135°.

Affirmation 4 : fausse. Le projeté orthogonal de A sur \((d)\) doit appartenir à \((d)\). Pour H, la première coordonnée impose \(1 + t = 1\), donc \(t = 0\), qui donne le point \((1~;~0~;~0)\) et non \((1~;~2~;~2)\) : H n’est pas sur \((d)\). (Le vrai projeté est le point de paramètre \(t\) tel que \(\vec{\text{AM}} \cdot \vec{u} = 0\) : \(t + 2(2t – 1) + t = 6t – 2 = 0\), donc \(t = \dfrac{1}{3}\) et le projeté est \((\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~-\dfrac{1}{3})\).)

Affirmation 5 : vraie. Le point \(M(1 + t~;~2t~;~-t)\) de \((d)\) est sur la sphère si et seulement si \(\text{OM}^2 = 1\) :

\[(1 + t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2 = 1 \iff 6t^2 + 2t + 1 = 1 \iff 2t(3t + 1) = 0 \iff t = 0 \text{ ou } t = -\dfrac{1}{3}.\]

Deux valeurs distinctes du paramètre donnent deux points distincts : \((1~;~0~;~0)\) et \((\dfrac{2}{3}~;~-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3})\). La sphère coupe bien \((d)\) en deux points.

Exercice 2 :

Partie A

1. « 95 % des jouets réussissent le test de fabrication » donne \(P(F) = 0{,}95\) ; « parmi ceux qui réussissent ce test, 98 % réussissent le test de sécurité » est une probabilité conditionnelle : \(P_F(S) = 0{,}98\).

2. a. Le premier niveau de l’arbre porte \(F\) (0,95) et \(\overline{F}\) (0,05). Après \(F\), on place \(S\) (0,98) et \(\overline{S}\) (0,02). Après \(\overline{F}\), les pondérations vers \(S\) et \(\overline{S}\) ne sont pas données directement : le « 1 % » de l’énoncé est la probabilité de l’intersection \(\overline{F} \cap \overline{S}\), pas une probabilité conditionnelle. On les calcule à la question suivante.

b. Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[P_{\overline{F}}(\overline{S}) = \dfrac{P(\overline{F} \cap \overline{S})}{P(\overline{F})} = \dfrac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}2.\]

\(P_{\overline{F}}(\overline{S}) = 0{,}2\), et donc \(P_{\overline{F}}(S) = 0{,}8\). L’arbre complet est le suivant :

3. \(P(F \cap S) = P(F) \times P_F(S) = 0{,}95 \times 0{,}98 = 0{,}931\). La probabilité que le jouet réussisse les deux tests est 0,931.

4. \(F\) et \(\overline{F}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[P(S) = P(F \cap S) + P(\overline{F} \cap S) = 0{,}931 + 0{,}05 \times 0{,}8 = 0{,}931 + 0{,}04 = 0{,}971.\]

\(P(S) = 0{,}971\), soit 0,97 arrondi au centième.

5. On cherche \(P_S(F)\) :

\[P_S(F) = \dfrac{P(F \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}931}{0{,}971} \approx 0{,}9588.\]

Sachant que le jouet a réussi le test de sécurité, la probabilité qu’il ait réussi le test de fabrication est d’environ 0,96.

Partie B

1. Pour une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), \(E = np\) et \(V = np(1 – p)\). \(E(S_n) = 0{,}95n\) et \(V(S_n) = n \times 0{,}95 \times 0{,}05 = 0{,}0475n\).

2. a. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(S_{150} = 145) = \binom\,{150}{145} \times 0{,}95^{145} \times 0{,}05^{5} \approx 0{,}109.\]

\(P(S_{150} = 145) \approx 0{,}109\) : dans un lot de 150 jouets, il y a environ 10,9 % de chances qu’exactement 145 jouets réussissent le test de fabrication.

b. 94 % de 150 jouets représentent \(0{,}94 \times 150 = 141\) jouets. On cherche \(P(S_{150} \geq\, 141) = 1 – P(S_{150} \leq\, 140)\). À la calculatrice : \(P(S_{150} \geq\, 141) \approx 0{,}781\).

3. a. Par propriété de l’espérance et de la variance (\(E(aX) = aE(X)\) et \(V(aX) = a^2V(X)\)) avec \(a = \dfrac{1}{n}\) :

\[E(F_n) = \dfrac{1}{n}E(S_n) = \dfrac{0{,}95n}{n} = 0{,}95 \qquad \text{et} \qquad V(F_n) = \dfrac{1}{n^2}V(S_n) = \dfrac{0{,}0475n}{n^2} = \dfrac{0{,}0475}{n}.\]

b. L’évènement \(I\) s’écrit \(0{,}93 \lt F_n \lt 0{,}97\), c’est-à-dire \(|F_n – 0{,}95| \lt 0{,}02\) : l’intervalle est centré sur l’espérance. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne \(P(|F_n – 0{,}95| \geq\, 0{,}02) \leq\, \dfrac{V(F_n)}{0{,}02^2}\), donc, en passant à l’évènement contraire :

\[P(I) \geq\, 1 – \dfrac{0{,}0475}{0{,}0004\,n} = 1 – \dfrac{118{,}75}{n}.\]

Il suffit donc que \(1 – \dfrac{118{,}75}{n} \geq\, 0{,}96\), soit \(\dfrac{118{,}75}{n} \leq\, 0{,}04\), soit \(n \geq\, \dfrac{118{,}75}{0{,}04} = 2\,968{,}75\). À partir d’un lot de 2 969 jouets, la probabilité de l’évènement \(I\) est supérieure ou égale à 0,96.

Exercice 3 :

Partie A

1. \(u_2 = 2 + 0{,}8 \times u_1 = 2 + 0{,}8 \times 2 = 3{,}6\). \(u_2 = 3{,}6\) : juste après la deuxième prise, il y a 3,6 mL de médicament dans l’organisme.

2. Notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n = 10 – 8 \times 0{,}8^{n-1}\) ».

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(10 – 8 \times 0{,}8^{0} = 10 – 8 = 2 = u_1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geq\, 1\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. Alors :

\[u_{n+1} = 2 + 0{,}8u_n = 2 + 0{,}8(10 – 8 \times 0{,}8^{n-1}) = 2 + 8 – 8 \times 0{,}8^{n} = 10 – 8 \times 0{,}8^{(n+1)-1}.\]

\(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. Par récurrence, \(u_n = 10 – 8 \times 0{,}8^{n-1}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).

3. Comme \(-1 \lt 0{,}8 \lt 1\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}8^{n-1} = 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 10\). À long terme, juste après chaque prise, la quantité de médicament dans l’organisme se stabilise autour de 10 mL.

4. Pour tout entier \(N \geq\, 1\), \(8 \times 0{,}8^{N-1} \gt 0\), donc \(u_N = 10 – 8 \times 0{,}8^{N-1} \lt 10\). L’inéquation \(u_N \geq\, 10\) n’a aucune solution : la quantité de médicament dans l’organisme reste toujours strictement inférieure à 10 mL, quel que soit le nombre de prises.

5. On résout \(u_n \gt 9\) pour \(n\) entier \(n \geq\, 1\) :

\[10 – 8 \times 0{,}8^{n-1} \gt 9 \iff 0{,}8^{n-1} \lt \dfrac{1}{8} \iff (n – 1)\ln(0{,}8) \lt \ln(\dfrac{1}{8}) \iff n – 1 \gt \dfrac{-\ln 8}{\ln(0{,}8)}.\]

On a utilisé la croissance de la fonction \(\ln\), puis on a divisé par \(\ln(0{,}8) \lt 0\), ce qui change le sens de l’inégalité. Comme \(\dfrac{-\ln 8}{\ln(0{,}8)} \approx 9{,}32\), il faut \(n – 1 \geq\, 10\), soit \(n \geq\, 11\). Vérification : \(u_{10} \approx 8{,}93\) et \(u_{11} \approx 9{,}14\). C’est à partir de la 11e prise que la quantité de médicament dépasse strictement 9 mL.

Partie B

1. \(S_2 = \dfrac{u_1 + u_2}{2} = \dfrac{2 + 3{,}6}{2} = 2{,}8\). \(S_2 = 2{,}8\).

2. On sépare la somme en deux :

\[u_1 + \dots + u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(10 – 8 \times 0{,}8^{k-1}) = 10n – 8(1 + 0{,}8 + \dots + 0{,}8^{n-1}).\]

La parenthèse est la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 1 : elle vaut \(\dfrac{1 – 0{,}8^n}{1 – 0{,}8} = 5(1 – 0{,}8^n)\). Donc :

\[u_1 + \dots + u_n = 10n – 40(1 – 0{,}8^n) = 10n – 40 + 40 \times 0{,}8^n.\]

3. En divisant par \(n\) : \(S_n = 10 – \dfrac{40}{n} + \dfrac{40 \times 0{,}8^n}{n}\). Or \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{40}{n} = 0\) et, comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}8^n = 0\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{40 \times 0{,}8^n}{n} = 0\). \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = 10\).

4. La variable s contient \(S_1 = u_1 = 2\) au départ, puis, à chaque tour, n augmente de 1 et s reçoit \(S_n = 10 – \dfrac{40}{n} + \dfrac{40 \times 0{,}8^n}{n}\) (formule de la question 2 divisée par \(n\)). La boucle s’arrête dès que \(S_n \geq\, k\). mystere(9) renvoie le plus petit nombre de prises \(n\) pour lequel la quantité moyenne de médicament présente dans l’organisme, calculée sur les \(n\) premières prises, atteint ou dépasse 9 mL. (Cette valeur existe car \(S_n\) tend vers 10.)

5. La suite \((u_n)\) est croissante : \(u_{n+1} – u_n = 8 \times 0{,}8^{n-1}(1 – 0{,}8) \gt 0\). D’après la partie A, \(u_n \leq\, u_{10} \approx 8{,}93 \lt 9\) pour tout \(n \leq\, 10\). Pour \(n \leq\, 10\), \(S_n\) est la moyenne de nombres tous strictement inférieurs à 9, donc \(S_n \lt 9\) : la boucle ne s’arrête pas avant \(n = 11\). On peut aussi le vérifier directement : \(S_{10} = 10 – 4 + 4 \times 0{,}8^{10} \approx 6{,}43 \lt 9\), et comme \((S_n)\) est croissante, \(S_n \lt 9\) pour tout \(n \leq\, 10\). La valeur renvoyée est donc strictement supérieure à 10 (le programme renvoie en fait 40).

Exercice 4 :

1. a. \(g = \text{e}^{u}\) avec \(u(x) = \sqrt{x}\), dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). Donc \(g^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)\,\text{e}^{u(x)} = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\). \(g^{\prime}(x) = f(x)\) pour tout \(x \gt 0\).

b. On écrit \(f = \dfrac{p}{q}\) avec \(p(x) = \text{e}^{\sqrt{x}}\), \(p^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\) (question a), \(q(x) = 2\sqrt{x}\), \(q^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\). Alors :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{p^{\prime}(x)q(x) – p(x)q^{\prime}(x)}{q(x)^2} = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}} – \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x} = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}(1 – \dfrac{1}{\sqrt{x}})}{4x}.\]

En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{x}\) : \(f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} – 1)}{4x\sqrt{x}}\).

2. a. Quand \(x \to 0^+\), \(\sqrt{x} \to 0\), donc \(\text{e}^{\sqrt{x}} \to \text{e}^0 = 1\), et \(2\sqrt{x} \to 0\) en restant positif. Par quotient, \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\).

b. La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x = 0\) (l’axe des ordonnées).

3. a. On pose \(X = \sqrt{x}\) : quand \(x \to +\infty\), \(X \to +\infty\) et \(f(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\text{e}^{X}}{X}\). Par croissance comparée, \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{X}}{X} = +\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

b. Pour \(x \gt 0\), \(\text{e}^{\sqrt{x}} \gt 0\) et \(4x\sqrt{x} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(\sqrt{x} – 1\). Comme la fonction racine carrée est strictement croissante, \(\sqrt{x} – 1 \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 1\), \(\sqrt{x} – 1 = 0\) pour \(x = 1\) et \(\sqrt{x} – 1 \gt 0\) pour \(x \gt 1\). \(f\) est strictement décroissante sur \(]0~;~1]\) et strictement croissante sur \([1~;~+\infty[\), avec un minimum \(f(1) = \dfrac{\text{e}}{2} \approx 1{,}36\).

\(x\)	0		1		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(-\)	0	\(+\)
variations de \(f\)	\|\| \(+\infty\)	décroissante	\(\dfrac{\text{e}}{2}\)	croissante	\(+\infty\)

c. Sur \([1~;~+\infty[\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(f(1) = \dfrac{\text{e}}{2} \approx 1{,}36 \lt 2\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). Comme 2 est compris entre \(\dfrac{\text{e}}{2}\) et \(+\infty\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([1~;~+\infty[\). Par balayage à la calculatrice : \(f(4{,}6) \approx 1{,}991 \lt 2\) et \(f(4{,}65) \approx 2{,}003 \gt 2\), donc \(4{,}6 \lt \alpha \lt 4{,}65\). \(\alpha \approx 4{,}6\) à \(10^{-1}\) près.

4. a. D’après la question 1.a, \(g\) est une primitive de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\). Donc :

\[I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\,\text{d}x = g(2) – g(1) = \text{e}^{\sqrt{2}} – \text{e} \approx 1{,}395.\]

\(I = \text{e}^{\sqrt{2}} – \text{e}\).

b. La fonction \(f\) est continue et positive sur \([1~;~2]\). \(I\) est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 1\) et \(x = 2\), soit environ 1,39 u.a.

5. a. Avec \(X = \sqrt{x}\), on a \(x = X^2\), donc \(x – 3\sqrt{x} + 3 = X^2 – 3X + 3\). Ce trinôme a pour discriminant \(\Delta = 9 – 12 = -3 \lt 0\) : il ne s’annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant, 1, qui est positif. Donc \(X^2 – 3X + 3 \gt 0\) pour tout réel \(X\), en particulier pour \(X = \sqrt{x}\). \(x – 3\sqrt{x} + 3 \gt 0\) pour tout \(x \gt 0\).

b. Pour \(x \gt 0\), \(\text{e}^{\sqrt{x}} \gt 0\), \(8x^2\sqrt{x} \gt 0\) et, d’après a, \(x – 3\sqrt{x} + 3 \gt 0\). Donc \(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) sur \(]0~;~+\infty[\). La fonction \(f\) est convexe sur \(]0~;~+\infty[\).

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