Corrigé du bac S de maths 2012 en Amérique du Nord à télécharger en PDF

Corrigé Nord 2012 : ce que contient la correction

Avant tout, ce corrigé Nord 2012 reprend le bac S de mathématiques 2012 en Amérique du Nord et détaille la démarche attendue à chaque question. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et l’espérance d’une variable aléatoire. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 : réponses détaillées du corrigé Nord 2012

Probabilités conditionnelles, loi binomiale, espérance

Partie A

On choisit au hasard un membre du club. On note \(F\) l’événement « le membre est une femme » et \(T\) l’événement « le membre adhère à la section tennis ». D’après l’énoncé, \(P_F(T)=\dfrac14\), \(P_{\overline{F}}(T)=\dfrac13\) et \(P(T)=0{,}3\). On pose \(p=P(F)\).

1. On cherche \(p\) sachant que \(P(T)=0{,}3\).

Les événements \(F\) et \(\overline{F}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[P(T)=P(F\cap T)+P(\overline{F}\cap T)=p\times \frac14+(1-p)\times \frac13=\frac13-\frac{p}{12}.\]

Comme \(P(T)=\dfrac{3}{10}\) :

\[\frac13-\frac{p}{12}=\frac{3}{10}\iff \frac{p}{12}=\frac13-\frac{3}{10}=\frac{1}{30}\iff p=\frac{12}{30}=\frac25.\]

La probabilité que le membre choisi soit une femme est \(P(F)=\dfrac25=0{,}4\).

2. On cherche la probabilité qu’un membre adhérant à la section tennis soit une femme, c’est-à-dire \(P_T(F)\).

\[P_T(F)=\frac{P(F\cap T)}{P(T)}=\frac{\frac25\times \frac14}{\frac{3}{10}}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}}=\frac13.\]

\(P_T(F)=\dfrac13\).

Partie B

1. a) On choisit 4 membres au hasard, les choix étant assimilés à des tirages indépendants. On cherche la probabilité qu’exactement 2 d’entre eux adhèrent à la section tennis.

Soit \(N\) le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les 4. On répète 4 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues dont le succès « adhérer au tennis » a pour probabilité \(0{,}3\). Donc \(N\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(4\,;\,0{,}3)\) et :

\[P(N=2)=\binom\,42\times 0{,}3^2\times 0{,}7^2=6\times 0{,}09\times 0{,}49=0{,}2646.\]

La probabilité cherchée vaut \(0{,}2646\).

b) On choisit maintenant \(n\) membres ; on exprime la probabilité \(p_n\) qu’au moins l’un d’eux adhère à la section tennis.

Cette fois \(N\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}3)\). L’événement contraire de « \(N\geq\,1\) » est « \(N=0\) », donc :

\[p_n=1-P(N=0)=1-0{,}7^n.\]

\(p_n=1-0{,}7^n\).

c) On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(p_n\geq\,0{,}99\).

\[1-0{,}7^n\geq\,0{,}99\iff 0{,}7^n\leq\,0{,}01\iff n\ln(0{,}7)\leq\,\ln(0{,}01)\]

(la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\)). Comme \(\ln(0{,}7)\lt 0\), en divisant on change le sens de l’inégalité :

\[n\geq\,\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}7)}\approx12{,}91.\]

Vérification : \(p_{12}\approx0{,}9862\) et \(p_{13}\approx0{,}9903\). Il faut choisir au moins 13 membres.

2. a) L’urne contient 100 jetons dont 10 gagnants ; on en tire deux simultanément. D’après la règle du jeu, le gain algébrique \(X\) vaut \(35\) € si les deux jetons sont gagnants, \(15\) € si un seul l’est et \(-5\) € si aucun ne l’est. On détermine la loi de \(X\).

Il y a \(\dbinom{100}{2}=4950\) tirages possibles, tous équiprobables.

• Deux jetons gagnants : \(\dbinom{10}{2}=45\) tirages, donc \(P(X=35)=\dfrac{45}{4950}=\dfrac{1}{110}\).
• Aucun jeton gagnant : \(\dbinom{90}{2}=4005\) tirages, donc \(P(X=-5)=\dfrac{4005}{4950}=\dfrac{89}{110}\).
• Un seul jeton gagnant : \(10\times 90=900\) tirages, donc \(P(X=15)=\dfrac{900}{4950}=\dfrac{2}{11}=\dfrac{20}{110}\).

On vérifie que \(\dfrac{1}{110}+\dfrac{89}{110}+\dfrac{20}{110}=1\).

\(x_i\)	\(-5\)	\(15\)	\(35\)
\(P(X=x_i)\)	\(\dfrac{89}{110}\)	\(\dfrac{2}{11}\)	\(\dfrac{1}{110}\)

b) On calcule l’espérance de \(X\) et on l’interprète.

\[E(X)=-5\times \frac{89}{110}+15\times \frac{20}{110}+35\times \frac{1}{110}=\frac{-445+300+35}{110}=\frac{-110}{110}=-1.\]

\(E(X)=-1\) : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 1 € par partie ; le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 2 :

Fonction logarithme, asymptote, algorithme

Partie A : restitution organisée des connaissances

On admet que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty\) et on démontre que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).

Pour \(x\gt 0\), posons \(X=\ln x\), de sorte que \(x=\mathrm{e}^X\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) tend aussi vers \(+\infty\). Alors :

\[\frac{\ln x}{x}=\frac{X}{\mathrm{e}^X}=\frac{1}{\dfrac{\mathrm{e}^X}{X}}.\]

Comme \(\dfrac{\mathrm{e}^X}{X}\) tend vers \(+\infty\) quand \(X\to+\infty\), son inverse tend vers 0. Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).

Partie B

On étudie la fonction \(f\) définie sur \([1\,;+\infty[\) par \(f(x)=x-\dfrac{\ln x}{x}\), de courbe \(\mathcal{C}\), et la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y=x\).

1. On étudie \(g(x)=x^2-1+\ln x\) sur \([1\,;+\infty[\) pour en déduire son signe.

\(g\) est dérivable sur \([1\,;+\infty[\) et \(g^{\prime}(x)=2x+\dfrac1x\gt 0\) (somme de deux nombres strictement positifs). Donc \(g\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\), et \(g(1)=1-1+\ln1=0\).

\(x\)	\(1\)		\(+\infty\)
\(g^{\prime}(x)\)		\(+\)
\(g(x)\)	\(0\)	croissante ↗

Le minimum de \(g\) sur \([1\,;+\infty[\) est \(g(1)=0\). Donc \(g(x)\geq\,0\) pour tout \(x\geq\,1\) (et \(g(x)=0\) seulement pour \(x=1\)).

2. a) On calcule \(f^{\prime}(x)\) et on l’exprime à l’aide de \(g\).

\(f\) est dérivable sur \([1\,;+\infty[\). La dérivée de \(\dfrac{\ln x}{x}\) est \(\dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\). Donc :

\[f^{\prime}(x)=1-\frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}.\]

b) Sens de variation de \(f\) : comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(g(x)\), donc positif, nul seulement en \(x=1\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).

c) On montre que \(\mathcal{D}\) est asymptote à \(\mathcal{C}\).

Pour tout \(x\geq\,1\), \(f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}\). D’après la partie A, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=0\). La droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y=x\) est asymptote oblique à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

d) Position relative de \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) : pour \(x\geq\,1\), \(\ln x\geq\,0\) et \(x\gt 0\), donc \(f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}\leq\,0\), avec égalité seulement pour \(x=1\). La courbe \(\mathcal{C}\) est en dessous de \(\mathcal{D}\) ; elles ont un seul point commun, le point de coordonnées \((1\,;1)\).

Exercice 2 du corrigé Nord 2012, partie B : question 3

3. a) Pour un entier \(k\geq\,2\), on note \(M_k\) et \(N_k\) les points d’abscisse \(k\) de \(\mathcal{C}\) et de \(\mathcal{D}\). On calcule la distance \(M_kN_k\).

Ces deux points ont la même abscisse et \(\mathcal{C}\) est sous \(\mathcal{D}\), donc :

\[M_kN_k=y_{N_k}-y_{M_k}=k-f(k)=\frac{\ln k}{k}.\]

b) On écrit un algorithme qui affiche le plus petit entier \(k\geq\,2\) tel que \(M_kN_k\leq\,0{,}01\). On part de \(k=2\) et on augmente \(k\) de 1 tant que la distance est strictement supérieure à \(0{,}01\) :

Variables : k entier
Début
  k prend la valeur 2
  Tant que ln(k)/k > 0,01 faire
    k prend la valeur k + 1
  Fin Tant que
  Afficher k
Fin

Cet algorithme s’arrête bien, car \(\dfrac{\ln k}{k}\) tend vers 0. En le programmant, on obtient \(k=648\) : en effet \(\dfrac{\ln 647}{647}\approx0{,}010004\) alors que \(\dfrac{\ln 648}{648}\approx0{,}009991\).

Exercice 3 : réponses détaillées du corrigé Nord 2012

Fonction définie par sa dérivée, intégration par parties, suite d’intégrales

Partie A

La fonction \(f\) est définie et dérivable sur \([0\,;1]\), avec \(f(0)=0\) et \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\).

1. Sens de variation : pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\gt 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\).

2. On considère \(g\) définie sur \([0\,;\dfrac{\pi}{4}]\) par \(g(x)=f(\tan x)\).

a) Pour \(x\in[0\,;\dfrac{\pi}{4}]\), \(\tan x\in[0\,;1]\), donc \(g\) est bien définie ; elle est dérivable comme composée de fonctions dérivables. Avec \(\tan^{\prime}(x)=1+\tan^2x\) :

\[g^{\prime}(x)=\tan^{\prime}(x)\times f^{\prime}(\tan x)=(1+\tan^2x)\times \frac{1}{1+\tan^2x}=1.\]

\(g^{\prime}(x)=1\) sur \([0\,;\dfrac{\pi}{4}]\).

b) On en déduit \(g\) puis \(f(1)\). Une fonction de dérivée 1 sur un intervalle est de la forme \(g(x)=x+c\) avec \(c\) réel. Or \(g(0)=f(\tan0)=f(0)=0\), donc \(c=0\) et \(g(x)=x\). Enfin :

\[f(1)=f(\tan\frac{\pi}{4})=g(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}.\]

3. Encadrement : \(f\) est croissante sur \([0\,;1]\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=\dfrac{\pi}{4}\), donc pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(0\leq\, f(x)\leq\,\dfrac{\pi}{4}\).

Partie B

On pose \(I_0=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) et, pour \(n\geq\,1\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^nf(x)\,\mathrm{d}x\).

1. On calcule \(I_0\) par une intégration par parties. On pose \(u(x)=f(x)\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), \(v^{\prime}(x)=1\), \(v(x)=x\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;1]\). Alors :

\[I_0=\Big[x f(x)\Big]_0^1-\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=f(1)-[\frac12\ln(1+x^2)]_0^1=\frac{\pi}{4}-\frac12\ln2.\]

\(I_0=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\ln 2}{2}\approx0{,}439\).

2. a) Signe de \(I_n\) : pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(x^n\geq\,0\) et \(f(x)\geq\,0\), donc \(x^nf(x)\geq\,0\). Par positivité de l’intégrale (bornes dans le bon ordre), \(I_n\geq\,0\).

b) Majoration : pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(f(x)\leq\,\dfrac{\pi}{4}\) et \(x^n\geq\,0\), donc \(x^nf(x)\leq\,\dfrac{\pi}{4}x^n\). Par croissance de l’intégrale :

\[I_n\leq\,\frac{\pi}{4}\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1=\frac{\pi}{4(n+1)}.\]

c) Limite : pour tout \(n\), \(0\leq\, I_n\leq\,\dfrac{\pi}{4(n+1)}\), et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\pi}{4(n+1)}=0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0\).

Exercice 4 :

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité : nombres complexes

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec u,\vec v)\), l’application \(f\) associe au point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=z^2\). On note \(\Omega\) le point d’affixe 1.

1. Ensemble \(\Gamma_1\) des points invariants (\(f(M)=M\)) :

\[z^2=z\iff z(z-1)=0\iff z=0\ \text{ou}\ z=1.\]

\(\Gamma_1=\{O\,;\Omega\}\).

2. Soit \(A\) le point d’affixe \(a=\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2\).

a) Forme exponentielle : \(|a|=\sqrt{2+2}=2\) et \(a=2(\dfrac{\sqrt2}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt2}{2})\), donc \(a=2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\).

b) On cherche les antécédents de \(A\), c’est-à-dire les \(z\) tels que \(z^2=a\). Posons \(z=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) avec \(r\gt 0\) ; alors \(z^2=r^2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\). Il faut \(r^2=2\), soit \(r=\sqrt2\), et \(2\theta=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\), soit \(\theta=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\) avec \(k\) entier. On obtient deux points distincts :

\[z_1=\sqrt2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/8}\quad\text{et}\quad z_2=\sqrt2\,\mathrm{e}^{7\mathrm{i}\pi/8}=-z_1.\]

3. Ensemble \(\Gamma_2\) des points \(M\) dont l’image \(M^{\prime}\) est sur l’axe des imaginaires purs. Avec \(z=x+\mathrm{i}y\) (\(x,y\) réels), \(z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy\). Donc :

\[z^2\in\mathrm{i}\mathbb{R}\iff x^2-y^2=0\iff(x-y)(x+y)=0\iff y=x\ \text{ou}\ y=-x.\]

\(\Gamma_2\) est la réunion des deux droites d’équations \(y=x\) et \(y=-x\).

4. On cherche l’ensemble \(\Gamma_3\) des points \(M\neq\Omega\) tels que le triangle \(\Omega MM^{\prime}\) soit rectangle isocèle direct en \(\Omega\).

a) Cela signifie que \(M^{\prime}\) est l’image de \(M\) par la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), d’écriture complexe \(z^{\prime}-1=\mathrm{i}(z-1)\). Comme \(z^{\prime}=z^2\) :

\[z^2-1=\mathrm{i}(z-1)\iff z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}=0.\]

b) On développe : \((z-1)(z+1-\mathrm{i})=z^2+z-\mathrm{i}z-z-1+\mathrm{i}=z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}\). Donc \(z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}=(z-1)(z+1-\mathrm{i})\).

Exercice 4 du corrigé Nord 2012 : question 5

c) Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : les solutions sont \(z=1\) et \(z=-1+\mathrm{i}\). Comme \(M\neq\Omega\), on écarte \(z=1\). \(\Gamma_3\) est réduit au point d’affixe \(-1+\mathrm{i}\). (Vérification : \((-1+\mathrm{i})^2=-2\mathrm{i}\) et \(\mathrm{i}(-2+\mathrm{i})+1=-2\mathrm{i}\).)

5. Soit \(M\) d’affixe \(z\) différente de 0 et de 1 (alors \(M^{\prime}\neq O\)).

a) Une mesure de l’angle \((\vec{OM},\vec{OM^{\prime}})\) est :

\[\arg(\frac{z^{\prime}}{z})=\arg(\frac{z^2}{z})=\arg(z)\quad[2\pi].\]

b) \(O\), \(M\) et \(M^{\prime}\) sont alignés si et seulement si \((\vec{OM},\vec{OM^{\prime}})=0\ [\pi]\), c’est-à-dire \(\arg(z)=0\ [\pi]\), autrement dit \(z\) est un réel non nul. L’ensemble \(\Gamma_4\) cherché est l’axe des réels privé des points \(O\) et \(\Omega\).

Exercice 4 :

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité : similitude et arithmétique

On considère la transformation \(s\) qui, à tout point \(M\) d’affixe \(z\), associe le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=5\mathrm{i}z+6\mathrm{i}+4\). On note \(E\) l’ensemble des points de coordonnées entières \((x\,;y)\) avec \(-3\leq\, x\leq\,5\) et \(-3\leq\, y\leq\,5\).

Partie A

1. Nature de \(s\) : l’écriture est de la forme \(z^{\prime}=az+b\) avec \(a=5\mathrm{i}\) non réel, donc \(s\) est une similitude directe de rapport \(|a|=5\) et d’angle \(\arg(5\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}\). Son centre \(\Omega\) a pour affixe :

\[\omega=\frac{b}{1-a}=\frac{4+6\mathrm{i}}{1-5\mathrm{i}}=\frac{(4+6\mathrm{i})(1+5\mathrm{i})}{26}=\frac{-26+26\mathrm{i}}{26}=-1+\mathrm{i}.\]

\(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1+\mathrm{i})\), de rapport 5 et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

2. Coordonnées de \(M^{\prime}\) : \(x^{\prime}+\mathrm{i}y^{\prime}=5\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)+6\mathrm{i}+4=(-5y+4)+\mathrm{i}(5x+6)\), donc

\[x^{\prime}=-5y+4\qquad\text{et}\qquad y^{\prime}=5x+6.\]

Partie B

1. a) On résout dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \(4x+3y=5\). Le couple \((5\,;-5)\) est solution : \(20-15=5\). Si \((x\,;y)\) est solution, par soustraction \(4(x-5)=3(-5-y)\). Ainsi 3 divise \(4(x-5)\) ; comme 3 et 4 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne que 3 divise \(x-5\) : \(x=5+3k\), \(k\in\mathbb{Z}\). En reportant, \(4\times 3k=3(-5-y)\), d’où \(y=-5-4k\). Réciproquement, \(4(5+3k)+3(-5-4k)=5\).

Les solutions sont les couples \((5+3k\,;-5-4k)\), \(k\in\mathbb{Z}\).

b) On cherche les points \(M\) de \(E\) dont l’image \(M^{\prime}\) appartient à la droite d’équation \(-3x+4y=37\).

\[-3x^{\prime}+4y^{\prime}=37\iff -3(-5y+4)+4(5x+6)=37\iff 20x+15y=25\iff 4x+3y=5.\]

D’après a), \(x=5+3k\) et \(y=-5-4k\). La condition \(-3\leq\,5+3k\leq\,5\) donne \(k\in\{-2\,;-1\,;0\}\) et \(-3\leq\,-5-4k\leq\,5\) donne \(-\dfrac52\leq\, k\leq\,-\dfrac12\), soit \(k\in\{-2\,;-1\}\). Donc \(k=-1\) ou \(k=-2\).

Il y a deux points : \((2\,;-1)\) et \((-1\,;3)\).

2. On cherche les points \(M\) de \(E\) tels que \(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=20\).

a) \(x^{\prime}+y^{\prime}=-5y+4+5x+6=5(x-y+2)\) : \(x^{\prime}+y^{\prime}\) est un multiple de 5.

b) \((x^{\prime}+y^{\prime})-(x^{\prime}-y^{\prime})=2y^{\prime}\) est pair, donc \(x^{\prime}+y^{\prime}\) et \(x^{\prime}-y^{\prime}\) ont la même parité. Si \(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=(x^{\prime}-y^{\prime})(x^{\prime}+y^{\prime})\) est pair, ces deux facteurs ne peuvent pas être tous deux impairs (leur produit serait impair) ; ayant la même parité, ils sont tous les deux pairs.

c) Supposons \(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=20\). Ce nombre est pair, donc d’après b) on peut écrire \(x^{\prime}-y^{\prime}=2d\) et \(x^{\prime}+y^{\prime}=2d^{\prime}\) avec \(d,d^{\prime}\) entiers, et \(4dd^{\prime}=20\), soit \(dd^{\prime}=5\). Comme 5 est premier, \((d\,;d^{\prime})\) vaut \((1\,;5)\), \((5\,;1)\), \((-1\,;-5)\) ou \((-5\,;-1)\).

De plus, \(x^{\prime}+y^{\prime}=2d^{\prime}\) est un multiple de 5 (question a), donc \(d^{\prime}=\pm5\). Il reste deux cas :

• \(x^{\prime}-y^{\prime}=2\) et \(x^{\prime}+y^{\prime}=10\) : \(x^{\prime}=6\), \(y^{\prime}=4\). Alors \(-5y+4=6\) donne \(y=-\dfrac25\), non entier : pas de point de \(E\).
• \(x^{\prime}-y^{\prime}=-2\) et \(x^{\prime}+y^{\prime}=-10\) : \(x^{\prime}=-6\), \(y^{\prime}=-4\). Alors \(-5y+4=-6\) donne \(y=2\), et \(5x+6=-4\) donne \(x=-2\) ; le point \((-2\,;2)\) appartient bien à \(E\).

Vérification : pour \(M(-2\,;2)\), \(x^{\prime}=-6\), \(y^{\prime}=-4\) et \(36-16=20\).

Un seul point de \(E\) convient : \(M(-2\,;2)\).

Corrigé Nord 2012 : méthode pour bien s’entraîner

D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les erreurs qui coûtent des points

• En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
• Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
• Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Corrigé Nord 2012 : questions fréquentes

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi l’espérance d’une variable aléatoire.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.