Corrigé du bac S de maths 2012 en Amérique du Nord

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités conditionnelles, loi binomiale, espérance

Partie A

On choisit au hasard un membre du club. On note \(F\) l’événement « le membre est une femme » et \(T\) l’événement « le membre adhère à la section tennis ». D’après l’énoncé, \(P_F(T)=\dfrac14\), \(P_{\overline{F}}(T)=\dfrac13\) et \(P(T)=0{,}3\). On pose \(p=P(F)\).

1. On cherche \(p\) sachant que \(P(T)=0{,}3\).

Les événements \(F\) et \(\overline{F}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[P(T)=P(F\cap T)+P(\overline{F}\cap T)=p\times \frac14+(1-p)\times \frac13=\frac13-\frac{p}{12}.\]

Comme \(P(T)=\dfrac{3}{10}\) :

\[\frac13-\frac{p}{12}=\frac{3}{10}\iff \frac{p}{12}=\frac13-\frac{3}{10}=\frac{1}{30}\iff p=\frac{12}{30}=\frac25.\]

La probabilité que le membre choisi soit une femme est \(P(F)=\dfrac25=0{,}4\).

2. On cherche la probabilité qu’un membre adhérant à la section tennis soit une femme, c’est-à-dire \(P_T(F)\).

\[P_T(F)=\frac{P(F\cap T)}{P(T)}=\frac{\frac25\times \frac14}{\frac{3}{10}}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}}=\frac13.\]

\(P_T(F)=\dfrac13\).

Partie B

1. a) On choisit 4 membres au hasard, les choix étant assimilés à des tirages indépendants. On cherche la probabilité qu’exactement 2 d’entre eux adhèrent à la section tennis.

Soit \(N\) le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les 4. On répète 4 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues dont le succès « adhérer au tennis » a pour probabilité \(0{,}3\). Donc \(N\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(4\,;\,0{,}3)\) et :

\[P(N=2)=\binom\,42\times 0{,}3^2\times 0{,}7^2=6\times 0{,}09\times 0{,}49=0{,}2646.\]

La probabilité cherchée vaut \(0{,}2646\).

b) On choisit maintenant \(n\) membres ; on exprime la probabilité \(p_n\) qu’au moins l’un d’eux adhère à la section tennis.

Cette fois \(N\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}3)\). L’événement contraire de « \(N\geq\,1\) » est « \(N=0\) », donc :

\[p_n=1-P(N=0)=1-0{,}7^n.\]

\(p_n=1-0{,}7^n\).

c) On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(p_n\geq\,0{,}99\).

\[1-0{,}7^n\geq\,0{,}99\iff 0{,}7^n\leq\,0{,}01\iff n\ln(0{,}7)\leq\,\ln(0{,}01)\]

(la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\)). Comme \(\ln(0{,}7)\lt 0\), en divisant on change le sens de l’inégalité :

\[n\geq\,\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}7)}\approx12{,}91.\]

Vérification : \(p_{12}\approx0{,}9862\) et \(p_{13}\approx0{,}9903\). Il faut choisir au moins 13 membres.

2. a) L’urne contient 100 jetons dont 10 gagnants ; on en tire deux simultanément. D’après la règle du jeu, le gain algébrique \(X\) vaut \(35\) € si les deux jetons sont gagnants, \(15\) € si un seul l’est et \(-5\) € si aucun ne l’est. On détermine la loi de \(X\).

Il y a \(\dbinom{100}{2}=4950\) tirages possibles, tous équiprobables.

• Deux jetons gagnants : \(\dbinom{10}{2}=45\) tirages, donc \(P(X=35)=\dfrac{45}{4950}=\dfrac{1}{110}\).
• Aucun jeton gagnant : \(\dbinom{90}{2}=4005\) tirages, donc \(P(X=-5)=\dfrac{4005}{4950}=\dfrac{89}{110}\).
• Un seul jeton gagnant : \(10\times 90=900\) tirages, donc \(P(X=15)=\dfrac{900}{4950}=\dfrac{2}{11}=\dfrac{20}{110}\).

On vérifie que \(\dfrac{1}{110}+\dfrac{89}{110}+\dfrac{20}{110}=1\).

\(x_i\)	\(-5\)	\(15\)	\(35\)
\(P(X=x_i)\)	\(\dfrac{89}{110}\)	\(\dfrac{2}{11}\)	\(\dfrac{1}{110}\)

b) On calcule l’espérance de \(X\) et on l’interprète.

\[E(X)=-5\times \frac{89}{110}+15\times \frac{20}{110}+35\times \frac{1}{110}=\frac{-445+300+35}{110}=\frac{-110}{110}=-1.\]

\(E(X)=-1\) : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 1 € par partie ; le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 2 :

Fonction logarithme, asymptote, algorithme

Partie A : restitution organisée des connaissances

On admet que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty\) et on démontre que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).

Pour \(x\gt 0\), posons \(X=\ln x\), de sorte que \(x=\mathrm{e}^X\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) tend aussi vers \(+\infty\). Alors :

\[\frac{\ln x}{x}=\frac{X}{\mathrm{e}^X}=\frac{1}{\dfrac{\mathrm{e}^X}{X}}.\]

Comme \(\dfrac{\mathrm{e}^X}{X}\) tend vers \(+\infty\) quand \(X\to+\infty\), son inverse tend vers 0. Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).

Partie B

On étudie la fonction \(f\) définie sur \([1\,;+\infty[\) par \(f(x)=x-\dfrac{\ln x}{x}\), de courbe \(\mathcal{C}\), et la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y=x\).

1. On étudie \(g(x)=x^2-1+\ln x\) sur \([1\,;+\infty[\) pour en déduire son signe.

\(g\) est dérivable sur \([1\,;+\infty[\) et \(g^{\prime}(x)=2x+\dfrac1x\gt 0\) (somme de deux nombres strictement positifs). Donc \(g\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\), et \(g(1)=1-1+\ln1=0\).

\(x\)	\(1\)		\(+\infty\)
\(g^{\prime}(x)\)		\(+\)
\(g(x)\)	\(0\)	croissante ↗

Le minimum de \(g\) sur \([1\,;+\infty[\) est \(g(1)=0\). Donc \(g(x)\geq\,0\) pour tout \(x\geq\,1\) (et \(g(x)=0\) seulement pour \(x=1\)).

2. a) On calcule \(f^{\prime}(x)\) et on l’exprime à l’aide de \(g\).

\(f\) est dérivable sur \([1\,;+\infty[\). La dérivée de \(\dfrac{\ln x}{x}\) est \(\dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\). Donc :

\[f^{\prime}(x)=1-\frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}.\]

b) Sens de variation de \(f\) : comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(g(x)\), donc positif, nul seulement en \(x=1\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).

c) On montre que \(\mathcal{D}\) est asymptote à \(\mathcal{C}\).

Pour tout \(x\geq\,1\), \(f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}\). D’après la partie A, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=0\). La droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y=x\) est asymptote oblique à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

d) Position relative de \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) : pour \(x\geq\,1\), \(\ln x\geq\,0\) et \(x\gt 0\), donc \(f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}\leq\,0\), avec égalité seulement pour \(x=1\). La courbe \(\mathcal{C}\) est en dessous de \(\mathcal{D}\) ; elles ont un seul point commun, le point de coordonnées \((1\,;1)\).

3. a) Pour un entier \(k\geq\,2\), on note \(M_k\) et \(N_k\) les points d’abscisse \(k\) de \(\mathcal{C}\) et de \(\mathcal{D}\). On calcule la distance \(M_kN_k\).

Ces deux points ont la même abscisse et \(\mathcal{C}\) est sous \(\mathcal{D}\), donc :

\[M_kN_k=y_{N_k}-y_{M_k}=k-f(k)=\frac{\ln k}{k}.\]

b) On écrit un algorithme qui affiche le plus petit entier \(k\geq\,2\) tel que \(M_kN_k\leq\,0{,}01\). On part de \(k=2\) et on augmente \(k\) de 1 tant que la distance est strictement supérieure à \(0{,}01\) :

Variables : k entier
Début
  k prend la valeur 2
  Tant que ln(k)/k > 0,01 faire
    k prend la valeur k + 1
  Fin Tant que
  Afficher k
Fin

Cet algorithme s’arrête bien, car \(\dfrac{\ln k}{k}\) tend vers 0. En le programmant, on obtient \(k=648\) : en effet \(\dfrac{\ln 647}{647}\approx0{,}010004\) alors que \(\dfrac{\ln 648}{648}\approx0{,}009991\).

Exercice 3 :

Fonction définie par sa dérivée, intégration par parties, suite d’intégrales

Partie A

La fonction \(f\) est définie et dérivable sur \([0\,;1]\), avec \(f(0)=0\) et \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\).

1. Sens de variation : pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\gt 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\).

2. On considère \(g\) définie sur \([0\,;\dfrac{\pi}{4}]\) par \(g(x)=f(\tan x)\).

a) Pour \(x\in[0\,;\dfrac{\pi}{4}]\), \(\tan x\in[0\,;1]\), donc \(g\) est bien définie ; elle est dérivable comme composée de fonctions dérivables. Avec \(\tan^{\prime}(x)=1+\tan^2x\) :

\[g^{\prime}(x)=\tan^{\prime}(x)\times f^{\prime}(\tan x)=(1+\tan^2x)\times \frac{1}{1+\tan^2x}=1.\]

\(g^{\prime}(x)=1\) sur \([0\,;\dfrac{\pi}{4}]\).

b) On en déduit \(g\) puis \(f(1)\). Une fonction de dérivée 1 sur un intervalle est de la forme \(g(x)=x+c\) avec \(c\) réel. Or \(g(0)=f(\tan0)=f(0)=0\), donc \(c=0\) et \(g(x)=x\). Enfin :

\[f(1)=f(\tan\frac{\pi}{4})=g(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}.\]

3. Encadrement : \(f\) est croissante sur \([0\,;1]\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=\dfrac{\pi}{4}\), donc pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(0\leq\, f(x)\leq\,\dfrac{\pi}{4}\).

Partie B

On pose \(I_0=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) et, pour \(n\geq\,1\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^nf(x)\,\mathrm{d}x\).

1. On calcule \(I_0\) par une intégration par parties. On pose \(u(x)=f(x)\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), \(v^{\prime}(x)=1\), \(v(x)=x\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;1]\). Alors :

\[I_0=\Big[x f(x)\Big]_0^1-\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=f(1)-[\frac12\ln(1+x^2)]_0^1=\frac{\pi}{4}-\frac12\ln2.\]

\(I_0=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\ln 2}{2}\approx0{,}439\).

2. a) Signe de \(I_n\) : pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(x^n\geq\,0\) et \(f(x)\geq\,0\), donc \(x^nf(x)\geq\,0\). Par positivité de l’intégrale (bornes dans le bon ordre), \(I_n\geq\,0\).

b) Majoration : pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(f(x)\leq\,\dfrac{\pi}{4}\) et \(x^n\geq\,0\), donc \(x^nf(x)\leq\,\dfrac{\pi}{4}x^n\). Par croissance de l’intégrale :

\[I_n\leq\,\frac{\pi}{4}\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1=\frac{\pi}{4(n+1)}.\]

c) Limite : pour tout \(n\), \(0\leq\, I_n\leq\,\dfrac{\pi}{4(n+1)}\), et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\pi}{4(n+1)}=0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0\).

Exercice 4 :

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité : nombres complexes

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec u,\vec v)\), l’application \(f\) associe au point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=z^2\). On note \(\Omega\) le point d’affixe 1.

1. Ensemble \(\Gamma_1\) des points invariants (\(f(M)=M\)) :

\[z^2=z\iff z(z-1)=0\iff z=0\ \text{ou}\ z=1.\]

\(\Gamma_1=\{O\,;\Omega\}\).

2. Soit \(A\) le point d’affixe \(a=\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2\).

a) Forme exponentielle : \(|a|=\sqrt{2+2}=2\) et \(a=2(\dfrac{\sqrt2}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt2}{2})\), donc \(a=2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\).

b) On cherche les antécédents de \(A\), c’est-à-dire les \(z\) tels que \(z^2=a\). Posons \(z=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) avec \(r\gt 0\) ; alors \(z^2=r^2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\). Il faut \(r^2=2\), soit \(r=\sqrt2\), et \(2\theta=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\), soit \(\theta=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\) avec \(k\) entier. On obtient deux points distincts :

\[z_1=\sqrt2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/8}\quad\text{et}\quad z_2=\sqrt2\,\mathrm{e}^{7\mathrm{i}\pi/8}=-z_1.\]

3. Ensemble \(\Gamma_2\) des points \(M\) dont l’image \(M^{\prime}\) est sur l’axe des imaginaires purs. Avec \(z=x+\mathrm{i}y\) (\(x,y\) réels), \(z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy\). Donc :

\[z^2\in\mathrm{i}\mathbb{R}\iff x^2-y^2=0\iff(x-y)(x+y)=0\iff y=x\ \text{ou}\ y=-x.\]

\(\Gamma_2\) est la réunion des deux droites d’équations \(y=x\) et \(y=-x\).

4. On cherche l’ensemble \(\Gamma_3\) des points \(M\neq\Omega\) tels que le triangle \(\Omega MM^{\prime}\) soit rectangle isocèle direct en \(\Omega\).

a) Cela signifie que \(M^{\prime}\) est l’image de \(M\) par la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), d’écriture complexe \(z^{\prime}-1=\mathrm{i}(z-1)\). Comme \(z^{\prime}=z^2\) :

\[z^2-1=\mathrm{i}(z-1)\iff z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}=0.\]

b) On développe : \((z-1)(z+1-\mathrm{i})=z^2+z-\mathrm{i}z-z-1+\mathrm{i}=z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}\). Donc \(z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}=(z-1)(z+1-\mathrm{i})\).

c) Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : les solutions sont \(z=1\) et \(z=-1+\mathrm{i}\). Comme \(M\neq\Omega\), on écarte \(z=1\). \(\Gamma_3\) est réduit au point d’affixe \(-1+\mathrm{i}\). (Vérification : \((-1+\mathrm{i})^2=-2\mathrm{i}\) et \(\mathrm{i}(-2+\mathrm{i})+1=-2\mathrm{i}\).)

5. Soit \(M\) d’affixe \(z\) différente de 0 et de 1 (alors \(M^{\prime}\neq O\)).

a) Une mesure de l’angle \((\vec{OM},\vec{OM^{\prime}})\) est :

\[\arg(\frac{z^{\prime}}{z})=\arg(\frac{z^2}{z})=\arg(z)\quad[2\pi].\]

b) \(O\), \(M\) et \(M^{\prime}\) sont alignés si et seulement si \((\vec{OM},\vec{OM^{\prime}})=0\ [\pi]\), c’est-à-dire \(\arg(z)=0\ [\pi]\), autrement dit \(z\) est un réel non nul. L’ensemble \(\Gamma_4\) cherché est l’axe des réels privé des points \(O\) et \(\Omega\).

Exercice 4 :

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité : similitude et arithmétique

On considère la transformation \(s\) qui, à tout point \(M\) d’affixe \(z\), associe le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=5\mathrm{i}z+6\mathrm{i}+4\). On note \(E\) l’ensemble des points de coordonnées entières \((x\,;y)\) avec \(-3\leq\, x\leq\,5\) et \(-3\leq\, y\leq\,5\).

Partie A

1. Nature de \(s\) : l’écriture est de la forme \(z^{\prime}=az+b\) avec \(a=5\mathrm{i}\) non réel, donc \(s\) est une similitude directe de rapport \(|a|=5\) et d’angle \(\arg(5\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}\). Son centre \(\Omega\) a pour affixe :

\[\omega=\frac{b}{1-a}=\frac{4+6\mathrm{i}}{1-5\mathrm{i}}=\frac{(4+6\mathrm{i})(1+5\mathrm{i})}{26}=\frac{-26+26\mathrm{i}}{26}=-1+\mathrm{i}.\]

\(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1+\mathrm{i})\), de rapport 5 et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

2. Coordonnées de \(M^{\prime}\) : \(x^{\prime}+\mathrm{i}y^{\prime}=5\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)+6\mathrm{i}+4=(-5y+4)+\mathrm{i}(5x+6)\), donc

\[x^{\prime}=-5y+4\qquad\text{et}\qquad y^{\prime}=5x+6.\]

Partie B

1. a) On résout dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \(4x+3y=5\). Le couple \((5\,;-5)\) est solution : \(20-15=5\). Si \((x\,;y)\) est solution, par soustraction \(4(x-5)=3(-5-y)\). Ainsi 3 divise \(4(x-5)\) ; comme 3 et 4 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne que 3 divise \(x-5\) : \(x=5+3k\), \(k\in\mathbb{Z}\). En reportant, \(4\times 3k=3(-5-y)\), d’où \(y=-5-4k\). Réciproquement, \(4(5+3k)+3(-5-4k)=5\).

Les solutions sont les couples \((5+3k\,;-5-4k)\), \(k\in\mathbb{Z}\).

b) On cherche les points \(M\) de \(E\) dont l’image \(M^{\prime}\) appartient à la droite d’équation \(-3x+4y=37\).

\[-3x^{\prime}+4y^{\prime}=37\iff -3(-5y+4)+4(5x+6)=37\iff 20x+15y=25\iff 4x+3y=5.\]

D’après a), \(x=5+3k\) et \(y=-5-4k\). La condition \(-3\leq\,5+3k\leq\,5\) donne \(k\in\{-2\,;-1\,;0\}\) et \(-3\leq\,-5-4k\leq\,5\) donne \(-\dfrac52\leq\, k\leq\,-\dfrac12\), soit \(k\in\{-2\,;-1\}\). Donc \(k=-1\) ou \(k=-2\).

Il y a deux points : \((2\,;-1)\) et \((-1\,;3)\).

2. On cherche les points \(M\) de \(E\) tels que \(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=20\).

a) \(x^{\prime}+y^{\prime}=-5y+4+5x+6=5(x-y+2)\) : \(x^{\prime}+y^{\prime}\) est un multiple de 5.

b) \((x^{\prime}+y^{\prime})-(x^{\prime}-y^{\prime})=2y^{\prime}\) est pair, donc \(x^{\prime}+y^{\prime}\) et \(x^{\prime}-y^{\prime}\) ont la même parité. Si \(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=(x^{\prime}-y^{\prime})(x^{\prime}+y^{\prime})\) est pair, ces deux facteurs ne peuvent pas être tous deux impairs (leur produit serait impair) ; ayant la même parité, ils sont tous les deux pairs.

c) Supposons \(x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=20\). Ce nombre est pair, donc d’après b) on peut écrire \(x^{\prime}-y^{\prime}=2d\) et \(x^{\prime}+y^{\prime}=2d^{\prime}\) avec \(d,d^{\prime}\) entiers, et \(4dd^{\prime}=20\), soit \(dd^{\prime}=5\). Comme 5 est premier, \((d\,;d^{\prime})\) vaut \((1\,;5)\), \((5\,;1)\), \((-1\,;-5)\) ou \((-5\,;-1)\).

De plus, \(x^{\prime}+y^{\prime}=2d^{\prime}\) est un multiple de 5 (question a), donc \(d^{\prime}=\pm5\). Il reste deux cas :

• \(x^{\prime}-y^{\prime}=2\) et \(x^{\prime}+y^{\prime}=10\) : \(x^{\prime}=6\), \(y^{\prime}=4\). Alors \(-5y+4=6\) donne \(y=-\dfrac25\), non entier : pas de point de \(E\).
• \(x^{\prime}-y^{\prime}=-2\) et \(x^{\prime}+y^{\prime}=-10\) : \(x^{\prime}=-6\), \(y^{\prime}=-4\). Alors \(-5y+4=-6\) donne \(y=2\), et \(5x+6=-4\) donne \(x=-2\) ; le point \((-2\,;2)\) appartient bien à \(E\).

Vérification : pour \(M(-2\,;2)\), \(x^{\prime}=-6\), \(y^{\prime}=-4\) et \(36-16=20\).

Un seul point de \(E\) convient : \(M(-2\,;2)\).