Bac de maths 2026 en Amérique du Nord (jour 2) : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 2
Amérique du Nord — 21 mai 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

Un supermarché dispose d’un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

Il a été constaté que :

• 91 % du stock de tomates est commercialisable ;
• 60 % du stock de tomates provient du fournisseur A ;
• parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de 95 %.

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :

• \(A\) l’évènement « La tomate provient du fournisseur A » ;
• \(B\) l’évènement « La tomate provient du fournisseur B » ;
• \(C\) l’évènement « La tomate est commercialisable ».

Pour un évènement quelconque \(E\), on note \(P(E)\) la probabilité de \(E\).

Partie A

1. Recopier l’arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

2. a. Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A.

b. Démontrer que \(P_B(C) = 0{,}85\).

c. La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois moins de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ?

Partie B

On rappelle que 9 % des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

1. On prend 15 tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de 15 tomates.

a. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

b. Déterminer la probabilité qu’exactement deux tomates soient non commercialisables.

On donnera la valeur arrondie au millième.

c. Déterminer la probabilité qu’au plus deux tomates soient non commercialisables.

On donnera la valeur arrondie au millième.

2. On constitue désormais un échantillon de \(n\) tomates, toujours dans les mêmes conditions, où \(n\) désigne un entier naturel non nul.

On note \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et \(F_n\) la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de \(n\) tomates.

On a donc \(F_n = \dfrac{X_n}{n}\).

On admet que la variable aléatoire \(X_n\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}09\).

a. Calculer l’espérance \(E(F_n)\) et exprimer la variance \(V(F_n)\) en fonction de \(n\).

b. Démontrer que \(P(0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{n}\).

c. Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 500 tomates. Il s’aperçoit que 55 tomates ne sont pas commercialisables.

Est-ce conforme à ce qu’il pouvait attendre ? Justifier la réponse.

Exercice 2 (6 points)

Partie A : étude du sens de variation d’une fonction

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\]

1. Résoudre l’équation \(f(x) = x\).

2. a. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Vérifier que, pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\).

b. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Partie B : étude de la convergence d’une suite récurrente

La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\).

2. En déduire que la suite \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

3. Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la partie B.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose :

\[v_n = \dfrac{u_n^2}{3 – u_n^2}\]

On admet que la suite \((v_n)\) est bien définie.

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 4 dont on précisera le premier terme.

b. En déduire une expression de \(v_n\) en fonction de \(n\) puis que \(u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}\) pour tout entier naturel \(n\).

c. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Partie C : étude de la convergence de la somme de termes

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(S_n = u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2\).

1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les \(p\) premiers termes de la suite \((S_n)\).

from math import*

def termes(p) :
    u = ...
    S=0
    L= [ ]
    for i in range(p) :
        S=...
        u= ...
        L.append(S)
    return L

Remarque : on rappelle qu’en langage Python,

• la commande L= [ ] crée une liste vide ;
• la commande L.append(S) ajoute, à la fin de la liste L, l’élément supplémentaire S.

2. On rappelle que, pour tout entier naturel \(k\), on a \(1 \leq\, u_k \leq\, \sqrt{3}\).

Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(n \leq\, S_n \leq\, 3n\).

3. En déduire les limites respectives de \(S_n\) et de \(\dfrac{S_n}{n^2}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 3 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\).

On considère :

• les points \(\text{A}(4\,;2\,;2)\), \(\text{B}(5\,;-2\,;3)\) et \(\text{C}(1\,;1\,;1)\) ;
• la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est donnée par \(\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{array}.\) avec \(t \in \mathbb{R}\) ;
• le plan \(\mathcal{P}\) contenant le point A et perpendiculaire à la droite \(\Delta\).

1. Vérifier que la droite \(\Delta\) contient le point \(\text{C}(1\,;1\,;1)\) mais pas le point A.

2. a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est \(2x + y + 2z – 14 = 0\).

b. Vérifier que le plan \(\mathcal{P}\) contient le point B mais pas le point C.

3. On considère le point \(\text{D}(3\,;2\,;3)\).

a. Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan \(\mathcal{P}\).

b. Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

c. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}}\).

d. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac{1}{3} \times B \times h\) où \(B\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur relative à cette base.

4. On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

a. Vérifier que les coordonnées du point H sont \((\dfrac{73}{29}\,;\dfrac{-4}{29}\,;\dfrac{51}{29})\).

b. Démontrer que l’aire du triangle ABC est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\).

c. En déduire la distance du point D au plan (ABC).

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\) par

\[f(x) = x(\ln x)^2.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\). On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. Pour tout réel \(x \gt 0\), on pose \(g(x) = x\ln x\).

a. Démontrer que pour tout réel \(x \gt 0\), on a \(f(x) = 4(g(\sqrt{x}))^2\).

b. En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).

3. Dans cette question, on étudie les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\).

a. Démontrer que sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\), \(f^{\prime}(x) = (\ln x)(2 + \ln x)\).

b. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\).

c. Donner la valeur exacte du maximum de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;1]\).

4. On considère l’équation \(f(x) = 2\).

a. Justifier que, sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\), cette équation admet une unique solution.

On note \(\alpha\) cette solution.

b. Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude 0,1.

5. Soit \(a\) un nombre réel appartenant à l’intervalle \(]0\,;1]\).

a. Donner une interprétation géométrique de \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\).

b. À l’aide d’une intégration par parties, justifier que :

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 – \displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x.\]

c. En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]

d. Déterminer la limite de \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\) quand \(a\) tend vers 0.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. On lit \(P(A) = 0{,}6\), donc \(P(B) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4\). La phrase « parmi les tomates provenant de A, 95 % sont commercialisables » donne une probabilité conditionnelle : \(P_A(C) = 0{,}95\), d’où \(P_A(\overline{C}) = 0{,}05\).

L’arbre complété porte : 0,6 sur la branche vers \(A\), 0,4 sur la branche vers \(B\), 0,95 sur \(A \to C\) et 0,05 sur \(A \to \overline{C}\). Les branches issues de \(B\) ne sont pas demandées ; on les obtient au 2. b.

2. a. On suit le chemin \(A\) puis \(C\) :

\[P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}6 \times 0{,}95 = 0{,}57.\]

La probabilité cherchée est 0,57.

b. L’énoncé donne \(P(C) = 0{,}91\). Comme \(A\) et \(B\) forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne :

\[P(C) = P(A \cap C) + P(B) \times P_B(C), \quad \text{soit} \quad 0{,}91 = 0{,}57 + 0{,}4 \times P_B(C).\]

On en tire \(0{,}4 \times P_B(C) = 0{,}34\), donc \(P_B(C) = \dfrac{0{,}34}{0{,}4} = 0{,}85\).

c. On sait que la tomate n’est pas commercialisable : il faut comparer \(P_{\overline{C}}(A)\) et \(P_{\overline{C}}(B)\). D’abord \(P(\overline{C}) = 1 – 0{,}91 = 0{,}09\), puis :

\[P(A \cap \overline{C}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03 \qquad P(B \cap \overline{C}) = 0{,}4 \times 0{,}15 = 0{,}06.\]

\[P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{0{,}03}{0{,}09} = \dfrac{1}{3} \qquad P_{\overline{C}}(B) = \dfrac{0{,}06}{0{,}09} = \dfrac{2}{3}.\]

On a bien \(P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{1}{2} P_{\overline{C}}(B)\) : une tomate abîmée a deux fois moins de chances de venir de A que de B. Le responsable a raison.

Partie B

1. a. On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, l’épreuve « prendre une tomate » dont le succès « la tomate n’est pas commercialisable » a une probabilité de 0,09 ; \(X\) compte les succès. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 15\) et \(p = 0{,}09\).

b. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X = 2) = \binom\,{15}{2} \times 0{,}09^2 \times 0{,}91^{13} = 105 \times 0{,}0081 \times 0{,}91^{13} \approx 0{,}250.\]

La probabilité qu’exactement deux tomates soient non commercialisables est d’environ 0,250.

c. « Au plus deux » signifie \(X \leq\, 2\) :

\[P(X \leq\, 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0{,}2430 + 0{,}3605 + 0{,}2496 \approx 0{,}853.\]

La probabilité qu’au plus deux tomates soient non commercialisables est d’environ 0,853 (fonction de répartition de la calculatrice).

2. a. Pour la loi binomiale, \(E(X_n) = np = 0{,}09n\) et \(V(X_n) = np(1-p) = 0{,}09 \times 0{,}91 \times n = 0{,}0819n\). Comme \(F_n = \dfrac{1}{n}X_n\), on utilise \(E(aX) = aE(X)\) et \(V(aX) = a^2V(X)\) :

\[E(F_n) = \dfrac{1}{n} \times 0{,}09n = 0{,}09 \qquad V(F_n) = \dfrac{1}{n^2} \times 0{,}0819n = \dfrac{0{,}0819}{n}.\]

Donc \(E(F_n) = 0{,}09\) et \(V(F_n) = \dfrac{0{,}0819}{n}\).

b. L’intervalle \(]0{,}04\,;0{,}14[\) est centré sur \(E(F_n) = 0{,}09\) avec un rayon de 0,05 :

\[0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14 \iff |F_n – 0{,}09| \lt 0{,}05.\]

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(F_n\) avec \(\delta = 0{,}05\) donne :

\[P(|F_n – 0{,}09| \geq\, 0{,}05) \leq\, \dfrac{V(F_n)}{0{,}05^2} = \dfrac{0{,}0819}{0{,}0025\,n} = \dfrac{32{,}76}{n}.\]

En passant à l’évènement contraire :

\[P(0{,}04 \lt F_n \lt 0{,}14) = 1 – P(|F_n – 0{,}09| \geq\, 0{,}05) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{n}.\]

c. Pour \(n = 500\), la minoration donne \(P(0{,}04 \lt F_{500} \lt 0{,}14) \geq\, 1 – \dfrac{32{,}76}{500} = 0{,}93448\). Il y a donc au moins 93,4 % de chances que la fréquence observée tombe entre 0,04 et 0,14.

La fréquence observée est \(\dfrac{55}{500} = 0{,}11\), qui appartient bien à \(]0{,}04\,;0{,}14[\). Le résultat est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.

Exercice 2 :

Partie A : étude du sens de variation d’une fonction

1. Pour tout réel \(x\), on met \(x\) en facteur :

\[f(x) = x \iff \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}} – x = 0 \iff x(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} – 1) = 0.\]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

• soit \(x = 0\) ;
• soit \(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} = 1\), c’est-à-dire \(\sqrt{1+x^2} = 2\), soit \(1 + x^2 = 4\) (les deux membres étant positifs), donc \(x^2 = 3\), c’est-à-dire \(x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\).

L’ensemble des solutions est \(\{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}\).

2. a. On dérive un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = 2x\), \(u^{\prime}(x) = 2\), \(v(x) = \sqrt{1+x^2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{2\sqrt{1+x^2} – 2x \times \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}.\]

On réduit le numérateur au même dénominateur \(\sqrt{1+x^2}\) :

\[2\sqrt{1+x^2} – \dfrac{2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2(1+x^2) – 2x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}}.\]

Donc \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\) pour tout réel \(x\).

b. Pour tout réel \(x\), \(1 + x^2 \gt 0\) et \(\sqrt{1+x^2} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Partie B : étude de la convergence d’une suite récurrente

1. On note \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\) ».

Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\). On a bien \(1 \leq\, 1 \leq\, \sqrt{2} \lt \sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve donc l’ordre (et les inégalités strictes) :

\[f(1) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \lt f(\sqrt{3}).\]

Or \(f(1) = \sqrt{2} \geq\, 1\), \(f(u_n) = u_{n+1}\), \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\) et \(f(\sqrt{3}) = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \sqrt{3}\) (on savait déjà que \(\sqrt{3}\) est un point fixe). On obtient \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \lt \sqrt{3}\) : \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt \sqrt{3}\).

2. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n \leq\, u_{n+1}\)) et majorée par \(\sqrt{3}\) : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\), et en passant à la limite dans \(1 \leq\, u_n \lt \sqrt{3}\), on a \(1 \leq\, \ell \leq\, \sqrt{3}\).

La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (car dérivable). En passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\), on obtient \(\ell = f(\ell)\) : \(\ell\) est une solution de l’équation résolue en A.1, donc \(\ell \in \{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}\). La seule de ces valeurs supérieure ou égale à 1 est \(\sqrt{3}\). Donc \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{3}\).

3. a. Premier terme : \(v_0 = \dfrac{1}{3 – 1} = \dfrac{1}{2}\). On calcule \(u_{n+1}^2 = \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}\), puis :

\[3 – u_{n+1}^2 = \dfrac{3(1+u_n^2) – 4u_n^2}{1+u_n^2} = \dfrac{3 – u_n^2}{1+u_n^2}.\]

En faisant le quotient, les dénominateurs \(1 + u_n^2\) se simplifient :

\[v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}^2}{3 – u_{n+1}^2} = \dfrac{4u_n^2}{3 – u_n^2} = 4v_n.\]

La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 4 et de premier terme \(v_0 = 0{,}5\).

b. On en déduit, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = 0{,}5 \times 4^n\).

Pour exprimer \(u_n\), on isole \(u_n^2\) dans la définition de \(v_n\) (avec \(3 – u_n^2 \gt 0\)) :

\[v_n(3 – u_n^2) = u_n^2 \iff 3v_n = u_n^2(1 + v_n) \iff u_n^2 = \dfrac{3v_n}{1 + v_n}.\]

Comme \(u_n \geq\, 1 \gt 0\), on prend la racine positive et on remplace \(v_n\) :

\[u_n = \sqrt{\dfrac{3 \times 0{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}} = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}.\]

c. On divise numérateur et dénominateur par \(4^n\) :

\[u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5}{\dfrac{1}{4^n} + 0{,}5}}.\]

Comme \(4 \gt 1\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} 4^n = +\infty\), donc \(\dfrac{1}{4^n} \to 0\) et la fraction tend vers \(\dfrac{1{,}5}{0{,}5} = 3\). La fonction racine carrée étant continue en 3, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}\) : on retrouve le résultat du 2.

Partie C : étude de la convergence de la somme de termes

1. La variable u part de \(u_0 = 1\). À chaque tour, on ajoute d’abord \(u^2\) à la somme (ce qui fournit \(S_1\), puis \(S_2\), etc.), puis on passe au terme suivant avec \(u_{k+1} = \dfrac{2u_k}{\sqrt{1+u_k^2}}\) ; la fonction sqrt vient du module math.

from math import*

def termes(p) :
    u = 1
    S=0
    L= [ ]
    for i in range(p) :
        S=S+u**2
        u= 2*u/sqrt(1+u**2)
        L.append(S)
    return L

Par exemple, termes(3) renvoie environ [1, 3.0, 5.667], c’est-à-dire \(S_1 = 1\), \(S_2 = 1 + 2 = 3\) et \(S_3 = 3 + \dfrac{8}{3}\).

2. Pour tout entier naturel \(k\), \(1 \leq\, u_k \leq\, \sqrt{3}\) ; ces nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc \(1 \leq\, u_k^2 \leq\, 3\). En additionnant ces \(n\) encadrements pour \(k\) allant de 0 à \(n – 1\) :

\[n \times 1 \leq\, u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2 \leq\, n \times 3.\]

Donc \(n \leq\, S_n \leq\, 3n\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.

3. Comme \(S_n \geq\, n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty\), le théorème de comparaison donne \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty\).

En divisant l’encadrement par \(n^2 \gt 0\) : \(\dfrac{1}{n} \leq\, \dfrac{S_n}{n^2} \leq\, \dfrac{3}{n}\). Les deux bornes tendent vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n^2} = 0\).

Exercice 3 :

1. Pour \(t = 0\), la représentation donne \((1\,;1\,;1)\) : C appartient à \(\Delta\). Pour A\((4\,;2\,;2)\), il faudrait un même \(t\) vérifiant \(4 = 1 + 2t\), \(2 = 1 + t\) et \(2 = 1 + 2t\). La première équation donne \(t = 1{,}5\) et la deuxième \(t = 1\) : c’est impossible, donc A n’appartient pas à \(\Delta\).

2. a. Le plan \(\mathcal{P}\) est perpendiculaire à \(\Delta\), donc un vecteur directeur de \(\Delta\), \(\vec{u}(2\,;1\,;2)\), est normal à \(\mathcal{P}\). Une équation de \(\mathcal{P}\) est de la forme \(2x + y + 2z + d = 0\). Le point A est dans \(\mathcal{P}\) : \(8 + 2 + 4 + d = 0\), d’où \(d = -14\). Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x + y + 2z – 14 = 0\).

b. Pour B : \(2 \times 5 + (-2) + 2 \times 3 – 14 = 10 – 2 + 6 – 14 = 0\), donc B appartient à \(\mathcal{P}\). Pour C : \(2 + 1 + 2 – 14 = -9 \neq 0\), donc C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\).

3. a. Deux conditions sont à vérifier.

• D est dans \(\mathcal{P}\) : \(2 \times 3 + 2 + 2 \times 3 – 14 = 6 + 2 + 6 – 14 = 0\).
• La droite (CD) est orthogonale à \(\mathcal{P}\) : \(\vec{\text{CD}}(3 – 1\,;2 – 1\,;3 – 1) = (2\,;1\,;2)\), qui est exactement le vecteur normal \(\vec{u}\).

D est donc le point du plan \(\mathcal{P}\) tel que (CD) soit perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) : D est le projeté orthogonal de C sur \(\mathcal{P}\). (On peut aussi remarquer que D est le point de \(\Delta\) de paramètre \(t = 1\) : \(\Delta\) est la perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) passant par C.)

b. Les points A, B et D sont dans \(\mathcal{P}\). Ils ne sont pas alignés, car \(\vec{\text{AB}}(1\,;-4\,;1)\) et \(\vec{\text{AD}}(-1\,;0\,;1)\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AD}}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{\text{AB}}\)). Le plan (ABD) est donc le plan \(\mathcal{P}\). Comme C n’appartient pas à \(\mathcal{P}\), les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

c. Dans le repère orthonormé :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}} = 1 \times (-1) + (-4) \times 0 + 1 \times 1 = 0.\]

Donc \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AD}} = 0\) : le triangle ABD est rectangle en A.

d. On prend pour base le triangle ABD, rectangle en A, avec \(\text{AB} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) et \(\text{AD} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\) :

\[\mathcal{A}_{\text{ABD}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = 3.\]

La hauteur relative à cette base est la distance de C au plan (ABD) \(= \mathcal{P}\), c’est-à-dire \(\text{CD} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = 3\), puisque D est le projeté orthogonal de C sur ce plan.

\[V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3 = 3.\]

Le volume du tétraèdre ABCD est 3 unités de volume.

4. a. On note \(\text{H}(\dfrac{73}{29}\,;\dfrac{-4}{29}\,;\dfrac{51}{29})\) et on vérifie les deux propriétés qui caractérisent le projeté orthogonal de A sur (BC).

• H est sur (BC) : \(\vec{\text{BC}}(-4\,;3\,;-2)\) et \(\vec{\text{BH}}(\dfrac{73 – 145}{29}\,;\dfrac{-4 + 58}{29}\,;\dfrac{51 – 87}{29}) = (\dfrac{-72}{29}\,;\dfrac{54}{29}\,;\dfrac{-36}{29}) = \dfrac{18}{29}\vec{\text{BC}}\) : les vecteurs sont colinéaires.
• (AH) est orthogonale à (BC) : \(\vec{\text{AH}}(\dfrac{-43}{29}\,;\dfrac{-62}{29}\,;\dfrac{-7}{29})\) et \(\vec{\text{AH}} \cdot \vec{\text{BC}} = \dfrac{172 – 186 + 14}{29} = 0\).

H est bien le projeté orthogonal de A sur (BC).

b. [AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. On calcule :

\[\text{BC}^2 = 16 + 9 + 4 = 29 \qquad \text{AH}^2 = \dfrac{43^2 + 62^2 + 7^2}{29^2} = \dfrac{1849 + 3844 + 49}{841} = \dfrac{5742}{841} = \dfrac{198}{29}.\]

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{29 \times \dfrac{198}{29}} = \dfrac{\sqrt{198}}{2} = \dfrac{\sqrt{9 \times 22}}{2} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}.\]

L’aire du triangle ABC est bien \(\dfrac{3\sqrt{22}}{2}\) unités d’aire.

c. On exprime le volume du même tétraèdre en prenant cette fois ABC pour base ; la hauteur associée est la distance \(d\) de D au plan (ABC) :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \times d = \dfrac{\sqrt{22}}{2}\,d = 3 \iff d = \dfrac{6}{\sqrt{22}} = \dfrac{6\sqrt{22}}{22} = \dfrac{3\sqrt{22}}{11}.\]

La distance du point D au plan (ABC) est \(\dfrac{3\sqrt{22}}{11} \approx 1{,}28\).

Exercice 4 :

1. Quand \(x \to +\infty\), \(\ln x \to +\infty\), donc \((\ln x)^2 \to +\infty\), et \(x \to +\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. a. Pour \(x \gt 0\), \(\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln x\), donc \(g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2}\ln x\). En élevant au carré, avec \((\sqrt{x})^2 = x\) :

\[4(g(\sqrt{x}))^2 = 4 \times x \times \dfrac{1}{4}(\ln x)^2 = x(\ln x)^2 = f(x).\]

b. En 0 (par valeurs supérieures), \(f(x)\) est une forme indéterminée « \(0 \times \infty\) ». Avec l’écriture du a : \(\sqrt{x} \to 0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{X \to 0} X\ln X = 0\). Par composition, \(g(\sqrt{x}) \to 0\), puis \(4(g(\sqrt{x}))^2 \to 0\). Donc \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).

3. a. \(f\) est le produit de \(u(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\), avec \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x\) (dérivée de \(w^2\) : \(2w^{\prime}w\)). Ainsi :

\[f^{\prime}(x) = (\ln x)^2 + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = (\ln x)(2 + \ln x).\]

b. On étudie le signe de chaque facteur :

• \(\ln x \gt 0 \iff x \gt 1\), et \(\ln 1 = 0\) ;
• \(2 + \ln x \gt 0 \iff \ln x \gt -2 \iff x \gt \text{e}^{-2}\), et \(2 + \ln(\text{e}^{-2}) = 0\).

Valeurs utiles : \(f(\text{e}^{-2}) = \text{e}^{-2} \times (-2)^2 = 4\text{e}^{-2}\) et \(f(1) = 0\).

\(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\text{e}^{-2}]\), strictement décroissante sur \([\text{e}^{-2}\,;1]\) et strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).

c. Sur \(]0\,;1]\), \(f\) monte jusqu’en \(\text{e}^{-2}\) puis redescend jusqu’à 0 : son maximum est atteint en \(\text{e}^{-2}\) et vaut \(4\text{e}^{-2}\) (environ 0,54).

4. a. On sépare l’intervalle en deux.

• Sur \(]0\,;1]\) : \(f(x) \leq\, 4\text{e}^{-2} \approx 0{,}54 \lt 2\), donc l’équation \(f(x) = 2\) n’a aucune solution.
• Sur \([1\,;+\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(f(1) = 0 \lt 2\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution sur cet intervalle.

Au total, l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;+\infty[\), et \(\alpha \gt 1\).

b. À la calculatrice : \(f(2{,}4) \approx 1{,}839 \lt 2\) et \(f(2{,}5) \approx 2{,}099 \gt 2\). Par stricte croissance de \(f\) sur \([1\,;+\infty[\), \(2{,}4 \lt \alpha \lt 2{,}5\) (on trouve \(\alpha \approx 2{,}46\)).

5. a. Sur \([a\,;1]\), \(f(x) = x(\ln x)^2 \geq\, 0\) et \(f\) est continue. L’intégrale \(\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x\) est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = 1\).

b. On intègre par parties en posant \(u^{\prime}(x) = x\) et \(v(x) = (\ln x)^2\), soit \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([a\,;1]\).

\[\displaystyle\int_a^1 x(\ln x)^2\,\text{d}x = [\dfrac{x^2}{2}(\ln x)^2]_a^1 – \displaystyle\int_a^1 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{2\ln x}{x}\,\text{d}x.\]

Le crochet vaut \(\dfrac{1}{2} \times 0 – \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2\) car \(\ln 1 = 0\), et l’intégrande se simplifie en \(x\ln x\). D’où :

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 – \displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x.\]

c. Nouvelle intégration par parties avec \(u^{\prime}(x) = x\), \(v(x) = \ln x\), donc \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\) :

\[\displaystyle\int_a^1 x\ln x\,\text{d}x = [\dfrac{x^2}{2}\ln x]_a^1 – \displaystyle\int_a^1 \dfrac{x}{2}\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}\ln a – [\dfrac{x^2}{4}]_a^1 = -\dfrac{a^2}{2}\ln a – \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^2}{4}.\]

En reportant dans le résultat du b (attention au signe moins devant l’intégrale) :

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]

d. On fait apparaître \(a\ln a\), dont la limite en 0 est connue (croissances comparées : \(\lim\limits_{a \to 0} a\ln a = 0\)) :

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = -\dfrac{1}{2}(a\ln a)^2 + \dfrac{a}{2} \times a\ln a + \dfrac{1}{4} – \dfrac{a^2}{4}.\]

Quand \(a \to 0\) : \((a\ln a)^2 \to 0\), \(\dfrac{a}{2} \times a\ln a \to 0 \times 0 = 0\) et \(\dfrac{a^2}{4} \to 0\). Par somme :

\[\lim\limits_{a \to 0} \displaystyle\int_a^1 f(x)\,\text{d}x = \dfrac{1}{4}.\]

La limite vaut \(\dfrac{1}{4}\) : l’aire sous la courbe entre 0 et 1, bien que le domaine touche le bord de l’ensemble de définition, est finie et égale à un quart d’unité d’aire.

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