Corrigé septembre 2023 : maths en France (septembre, jour 2)

Sommaire

De plus, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques de septembre 2023 en France métropolitaine et à La Réunion, posé le 12 septembre 2023, suivi de son corrigé détaillé sur une page dédiée. En outre, le premier exercice étudie un test de dépistage de la paratuberculose chez les vaches : arbre pondéré, valeur prédictive positive, loi binomiale sur un troupeau de 100 bêtes et taille minimale d’échantillon. Ensuite, le deuxième part de la courbe de la dérivée pour étudier \(f(x) = (2-\ln x)\ln x\) : lecture graphique, limites, variations, convexité et point d’inflexion. Par ailleurs, le troisième porte sur une suite définie par récurrence, avec un programme Python à compléter et une démonstration par récurrence. De plus, le dernier est un QCM de géométrie dans l’espace : plan, droite, produit scalaire et angle.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en France (septembre, jour 2).

Ensuite, vous préparez le bac de maths 2027 ? Par ailleurs, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Corrigé septembre 2023 : le sujet en un coup d’œil

Tout d’abord, ce corrigé septembre 2023 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en France (septembre, jour 2), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la dérivation et la fonction logarithme népérien. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine et La Réunion — 12 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.

On réalise une étude dans une région dont 0,4 % de la population de vaches est infectée.

Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.

Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de \(0{,}992\) ;
Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de \(0{,}984\).

On désigne par :

\(I\) l’évènement « la vache est atteinte par l’infection » ;
\(T\) l’évènement « la vache présente un test positif ».

On note \(\overline{I}\) l’évènement contraire de \(I\) et \(\overline{T}\) l’évènement contraire de \(T\).

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.

2. a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à \(10^{-3}\) près.

b. Montrer que la probabilité, à \(10^{-3}\) près, que la vache présente un test positif est environ égale à 0,020.

c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test. On donnera le résultat à \(10^{-3}\) près.

d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.

Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.

Partie B

3. Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de 100 vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à 0,02.

On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 100 vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement 3 vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.

c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait au plus 3 vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à \(10^{-3}\) près.

4. On choisit à présent un échantillon de \(n\) vaches dans cette région, \(n\) étant un entier naturel non nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x) = (2-\ln x) \times \ln x,\]

où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0~;~+\infty[\).

On note \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal et \(C^{\prime}\) la courbe représentative de la fonction \(f^{\prime}\), fonction dérivée de la fonction \(f\).

La courbe \(C^{\prime}\) est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale (T).

1. Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :

a. le coefficient directeur de la tangente à \(C\) au point d’abscisse 1.

b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe.

2. a. Calculer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

b. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\). Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Montrer que la courbe \(C\) coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.

4. a. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+\infty[\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2(1-\ln x)}{x}\).

b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

5. On note \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de \(f\) et on admet que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2(\ln x-2)}{x^{2}}\).

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe \(C\).

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_{n})\) définie par : \(u_{1}=\dfrac{1}{\text{e}}\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{\text{e}}(1+\dfrac{1}{n}) u_{n}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_{2}\) et \(u_{3}\). On détaillera les calculs.

2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel \(n\) donné, affiche le terme \(u_{n}\). Compléter les lignes \(L_{2}\) et \(L_{4}\) de ce programme.

L1  def suite(n):
L2    ..................
L3    for i in range(1, n):
L4      u=................
L5  return u

3. On admet que tous les termes de la suite \((u_{n})\) sont strictement positifs.

a. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(1+\dfrac{1}{n} \leq\, \text{e}\).

b. En déduire que la suite \((u_{n})\) est décroissante.

c. La suite \((u_{n})\) est-elle convergente ? Justifier votre réponse.

4. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : \(u_{n}=\dfrac{n}{\text{e}^{n}}\).

b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite \((u_{n})\).

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

les points \(\text{A}(-1~;~-2~;~3)\), \(\text{B}(1~;~-2~;~7)\) et \(\text{C}(1~;~0~;~2)\) ;
la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=2 \\ z=-4+3 t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\) ;
le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne : \(3 x+2 y+z-4=0\) ;
le plan \(\mathcal{Q}\) d’équation cartésienne : \(-6 x-4 y-2 z+7=0\).

1. Lequel des points suivants appartient au plan \(\mathcal{P}\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(R(1~;~-3~;~1)\)	\(S(1~;~2~;~-1)\)	\(T(1~;~0~;~1)\)	\(U(2~;~-1~;~1)\)

2. Le triangle ABC est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
équilatéral	rectangle isocèle	isocèle non rectangle	rectangle non isocèle

3. La droite \(\Delta\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
orthogonale au plan \(\mathcal{P}\)	sécante au plan \(\mathcal{P}\)	incluse dans le plan \(\mathcal{P}\)	strictement parallèle au plan \(\mathcal{P}\)

4. On donne le produit scalaire \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}}=20\).

Une mesure au degré près de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(34^{\circ}\)	\(120^{\circ}\)	\(90^{\circ}\)	\(0^{\circ}\)

5. L’intersection des plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
un plan	l’ensemble vide	une droite	réduite à un point

Corrigé septembre 2023 : conseils de révision

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.

Corrigé septembre 2023 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la dérivation, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en France (septembre, jour 2)

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