Bac : sujet de maths 2021 et corrigé

Sommaire

Ensuite, B A C C A L A U R É AT G É N É R A L
SESSION 2021
MATHÉMATIQUES
Série : S
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures. – COEFFICIENT : 7

Par ailleurs, l’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
De plus, le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Bac : organisation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce bac reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les nombres complexes, la géométrie dans l’espace, la dérivation et les probabilités conditionnelles. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

Exercice 1 : (5 points)

1. On considère l’équation ayant pour inconnue le nombre
complexe .
a. Démontrer que, pour tout nombre complexe ,

b. Résoudre l’équation ().
c. Écrire les solutions de l’équation () sous forme exponentielle.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ .
Soit A, B, C et D les quatre points d’affixes respectives
$z_A=1+i\sqrt{3};z_B=2;z_C=1-i\sqrt{3};z_D=1$
Ces quatre points sont représentés dans la figure ci-dessous.
2. Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Justifier.
3. Soit M le point d’affixe $z_M=\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}$ .
a. Démontrer que les points A,M et B sont alignés.
b. Démontrer que le triangle DMB est rectangle.

Exercice 2 ; (5 points)

Le phaéton à bec rouge est un oiseau des régions intertropicales.
1. Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement pollué, sa durée de vie,
en année, est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale
d’espérance inconnue et d’écart-type = 0,95.
a. On considère la variable aléatoire définie par $Y=\frac{X-\mu}{0,95}$ ..
Donner sans justification la loi suivie par la variable .
b. On sait que $P(X\geq\,\,4)=0,146$ .
Démontrer que la valeur de arrondie à l’unité est 3.

2. Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement sain, sa durée de vie,
en année, est modélisée par une variable aléatoire .
Les courbes des fonctions de densité associées aux lois de et de sont
représentées sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
a. Quelle est la courbe de la fonction de densité associée à ? Justifier.
b. Sur l’ANNEXE à rendre avec la copie, hachurer la zone du plan correspondant
à $P(Z\geq\,\,4)$ .

On admettra par la suite que $P(Z\geq\,\,4)=0,677$ .
3. Une étude statistique portant sur une région donnée, a permis d’établir que 30 %
des phaétons à bec rouge vivent dans un environnement pollué ; les autres vivent
dans un environnement sain.
On choisit au hasard un phaéton à bec rouge vivant dans la région donnée.
On considère les événements suivants :
• : « le phaéton à bec rouge choisi vit dans un environnement sain » ;
• : « le phaéton à bec rouge choisi a une durée de vie d’au moins 4 ans ».
a. Compléter l’arbre pondéré illustrant la situation sur l’ANNEXE à rendre avec la
copie.
b. Déterminer P(V). Arrondir le résultat au millième.
c. Sachant que le phaéton à bec rouge a une durée de vie d’au moins 4 ans,
quelle est la probabilité qu’il vive dans un environnement sain ? Arrondir le
résultat au millième.

Exercice 3 : (5 points)

Partie A

Soit g la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ , par
$g(x)=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{4}{(1+e^x)^2}$
On admet que la fonction g est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note g’ sa fonction dérivée.
1. Déterminer les limites de g en $+\infty$ et en $-\infty$ .
2. On admet que la fonction g’ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et que g'(0) = 0.
Déterminer le signe de la fonction g’ sur $\mathbb{R}$ .
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g et calculer le minimum de la
fonction g sur $\mathbb{R}$ .

Partie B

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=3-\frac{2}{1+e^x}$
On désigne par la courbe représentative de dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$
représentée dans la figure ci-dessous.
Soit A le point de coordonnées $A(-\frac{1}{2};3)$ .
1. Démontrer que le point B(0 ; 2) appartient à .
2. Soit un réel quelconque.
On note M le point de la courbe de coordonnées .
Démontrer que .
3. On admet que la distance AM est minimale si et seulement si est minimal.
Déterminer les coordonnées du point de la courbe tel que la distance AM est
minimale.
4. On admet que la fonction f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note f ‘ sa fonction dérivée.
a. Calculer pour tout réel .
b. Soit T la tangente à la courbe au point B.
Démontrer que l’équation réduite de T est $y=\frac{x}{2}+2$ .
5. Démontrer que la droite T est perpendiculaire à la droite (AB).

Exercice 4 : (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Affirmation 1 :

L’équation admet exactement deux solutions réelles.
2. On considère la suite définie par
et, pour tout entier naturel , +1 = 2 − 5 + 6
Affirmation 2 : Pour tout entier naturel n, $u_n=3\times 2^n+5n-1$ .
3. On considère la suite définie, pour tout entier naturel n, par $u_n=n^2+\frac{1}{2}$ .
Affirmation 3 : La suite est géométrique.
4. Dans un repère de l’espace, soit d la droite passant par le point A(−3; 7; −12) et de
vecteur directeur $\vec{u}$ (1; −2; 5).
Soit d’ la droite ayant pour représentation paramétrique

Affirmation 4 : Les droites d et d’ sont confondues.
5. On considère un cube ABCDEFGH. L’espace est muni du repère orthonormé
$(A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$ .

Affirmation 5 : Il y a exactement deux positions du point M sur la droite (AG) telles
que les droites (MB) et (MD) soient orthogonales.

ANNEXE : À RENDRE AVEC LA COPIE
Exercice 2 question 2

Exercice 2 question 3

Vous consultez ici le bac, avec l’énoncé intégral des exercices.

Comment réviser avec ce bac

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les nombres complexes ou la géométrie dans l’espace. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article nombres complexes de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les pièges classiques

Avec les nombres complexes, ne confondez pas module et argument, et donnez l’argument dans l’intervalle demandé.
En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.

Questions fréquentes sur ce bac

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les nombres complexes, la géométrie dans l’espace et la dérivation, mais aussi les probabilités conditionnelles.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

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