Convexité et points d'inflexion
Convexe n'est pas croissant.Niveau Tale · Analyse
Le signe de la dérivée seconde décide de la courbure. Positif, la courbe se creuse vers le haut et passe au-dessus de chacune de ses tangentes ; négatif, elle se creuse vers le bas et passe dessous. La confusion à écarter absolument est celle avec le sens de variation : une exponentielle décroissante descend tout en se creusant vers le haut.
Variation et courbure sont deux informations indépendantes, lues sur deux dérivées différentes. Un tableau complet les fournit toutes les deux. Cet entraînement travaille le calcul de la dérivée seconde, la lecture de la courbure et la localisation des changements de courbure.
Les compétences mises en jeu
- Obtenir la dérivée seconde d'une expression simple
- Lire la convexité dans le signe de cette dérivée
- Localiser un changement de courbure
- Placer la courbe par rapport à ses tangentes
Comment s'y prendre
- Courbure vers le hautDérivée seconde positive : la courbe surplombe chacune de ses tangentes.
- Courbure vers le basDérivée seconde négative : la courbe passe sous ses tangentes.
- Changement de courbureIl faut une annulation accompagnée d'un changement de signe.
- Deux repères immédiatsL'exponentielle se creuse vers le haut partout, le logarithme vers le bas.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Annoncer un changement de courbure sur une simple annulation.
- Prendre la convexité pour une information sur le sens de variation.
- Placer la courbe du mauvais côté de sa tangente.
Trois conseils pour progresser vite
Répétez la distinction : le sens de variation se lit sur f′, la courbure sur f″. Ce sont deux lectures indépendantes.
La famille « Les fonctions de référence » donne des repères immédiats sans aucun calcul.
Une annulation sans basculement du signe ne produit aucun point d'inflexion : ce point est régulièrement piégé en évaluation.