En outre, Voici le sujet n° 2 du bac de maths 2024 de métropole, proposé en juin aux candidats de terminale qui suivent l’enseignement de spécialité, suivi de son corrigé intégral rédigé sur une page dédiée. Ensuite, l’épreuve dure quatre heures et comporte quatre exercices indépendants, notés sur 20 points.
Par ailleurs, le premier exercice mêle probabilités conditionnelles, arbre pondéré, loi binomiale, somme de variables aléatoires et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Puis le deuxième suit le taux de chlore d’une piscine, d’abord avec une suite récurrente étudiée par récurrence et un petit programme Python, puis avec une équation différentielle. Ensuite, le troisième relie une lecture graphique à l’étude d’une fonction avec logarithme : limites, dérivée, convexité, point d’inflexion, théorème des valeurs intermédiaires, puis une distance minimale entre un point et une courbe. De plus, le dernier propose quatre affirmations de géométrie dans l’espace : plan, points coplanaires, droites sécantes et projeté orthogonal.
Pour préparer l’examen dans de bonnes conditions, traite d’abord chaque exercice seul, en temps limité, puis compare ta copie avec la correction détaillée : chaque réponse y est justifiée et les résultats importants sont mis en évidence. Puis le sujet peut aussi être téléchargé en PDF pour s’entraîner sur papier.
L’essentiel : Corrigé du bac de maths 2024 en France, n° 2 et pour l’enseignement de spécialité : chaque question est résolue avec les calculs et la méthode attendue. Idéal pour réviser l’examen en se corrigeant ; corrigé gratuit en PDF.
Bac maths 2024 : organisation de l’épreuve
Tout d’abord, ce bac maths 2024 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en France, reproduit ici avec son énoncé complet. De plus, en effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 5, 6 et 4 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et le raisonnement par récurrence. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
FRANCE SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Sujet n° 2
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans
l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront
valorisées.
Exercice 1 (5 points)
La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen
de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à
la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non »
sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».
Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :
• 65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
• 98 % des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».
On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note \(R\) l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et \(Q\) l’événement « l’étudiant a répondu
« oui » à la question ».
Pour un événement \(A\) quelconque, on note \(P(A)\) sa probabilité et \(\,\overline{A}\) son événement contraire.
Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à \(10^{-3}\) près.
1. Préciser les valeurs des probabilités \(P(Q)\) et \(P_R(\,\overline{Q})\).
2. On note \(x\) la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
b. Montrer que \(x=0{,}9\).
Exercice 1 du bac maths 2024 : questions 3 à 6
3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On
suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire \(N\) qui suit la loi binomiale de
paramètres (20 ; 0,615).
La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65 % des étudiants soient
récompensés ?
5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires \(N_1,\,N_2,…,\,N_{10}\) modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par
chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi
binomiale de paramètres (20 ; 0,615).
Soit \(S\) la variable définie par \(S\,=\,N_1\,+\,N_2\,+\,…\,+\,N_{10}\).
Calculer l’espérance \(E(S)\) et la variance \(V(S)\) de la variable aléatoire \(S\).
6. On considère la variable aléatoire \(M=\dfrac{S}{10}\).
a. Que modélise cette variable aléatoire \(M\) dans le contexte de l’exercice ?
b. Justifier que \(E(M)\,=\,12{,}3\) et \(V(M)\,=\,0{,}47355\).
c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement
comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 80 % ».
Exercice 2 (5 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Alain possède une piscine qui contient 50 \(\text{m}^3\) d’eau. On rappelle que 1 \(\text{m}^3\) = 1000 L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en \(\text{mg.L}^{-1}\), est défini comme la masse de chlore par unité
de volume d’eau.
Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 \(\text{mg.L}^{-1}\).
Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît
peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à
0,01 \(\text{mg.L}^{-1}\). Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0,70 \(\text{mg.L}^{-1}\).
Partie A : étude d’un modèle discret.
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter
chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément
dans l’eau de la piscine.
1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,3 \(\text{mg.L}^{-1}\).
2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(v_n\) le taux de chlore, en \(\text{mg.L}^{-1}\), obtenu avec ce nouveau
protocole \(n\) jours après le mercredi 19 juin.
Ainsi \(v_0=0{,}7\).
On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}\,=\,0{,}92v_n\,+\,0{,}3\).
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\,\leq\,\,v_{n+1}\,\leq\,\,4\).
b. Montrer que la suite \((v_n)\) est convergente et calculer sa limite.
3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier
la réponse.
4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n\gt s\).
def alerte_chlore(s) :
n=0
v=0.7
while .......... :
n= ..........
v= ..........
return n
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ?
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie B : étude d’un modèle continu.
Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu
pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée \(x\) (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin),
\(f(x)\) représente le taux de chlore, en \(\text{mg.L}^{-1}\), dans la piscine.
On admet que la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y^{\prime}\,=\,-0{,}08y\,+\,\dfrac{q}{50}\), où \(q\) est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
1. Justifier que la fonction \(f\) est de la forme \(f(x)=Ce^{-0{,}08x}+\dfrac{q}{4}\) où \(C\) est une constante réelle.
2.
a. Exprimer en fonction de \(q\) la limite de \(f\) en \(+\infty\).
b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 \(\text{mg.L}^{-1}\).
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 \(\text{mg.L}^{-1}\).
Déterminer les valeurs de \(C\) et \(q\) afin que ces deux conditions soient respectées.
Exercice 3 (6 points)
On considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(]-2\,;\,+\infty[\).
Par ailleurs, on note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe \(C_f\) et sa tangente \(T\) au point \(B\) d’abscisse −1.
On précise que la droite \(T\) passe par le point \(A(0\,;\,-1)\).
Partie A : exploitation du graphique.
À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
1. Préciser \(f(-1)\) et \(f^{\prime}(-1)\).
2. La courbe \(C_f\) est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
3. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=0\) et donner une valeur arrondie à
\(10^{-1}\) près d’une solution.
Partie B : étude de la fonction f.
On considère que la fonction \(f\) est définie sur \(]-2\,;\,+\infty[\) par \(f(x)\,=\,x^2\,+\,2x\,-\,1\,+\,\ln(x\,+\,2)\), où
ln désigne la fonction logarithme népérien.
1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction \(f\) en −2.
Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que \(\lim_{x\to\,+\infty}f(x)=+\infty\).
2. Montrer que pour tout \(x\gt -2\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\).
3. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(]-2\,;\,+\infty[\) puis dresser son tableau de variations
complet.
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]-2\,;\,+\infty[\) et donner une
valeur arrondie de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
5. En déduire le signe de \(f(x)\) sur \(]-2\,;\,+\infty[\).
6. Montrer que \(C_f\) admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-2\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=\ln(x+2)\).
On note \(C_g\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;I,J)\), représentée ci-dessous :
Soit \(M\) un point de \(C_g\) d’abscisse \(x\).
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de \(x\) la distance \(JM\) est minimale.
On considère la fonction \(h\) définie sur \(]-2\,;\,+\infty[\) par \(h(x)=JM^2\).
1. Justifier que pour tout \(x\gt -2\), on a : \(h(x)\,=\,x^2\,+\,[\ln(x\,+\,2)\,-\,1]^2\).
2. On admet que la fonction \(h\) est dérivable sur \(]-2\,;\,+\infty[\) et on note \(h^{\prime}\) sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel \(x\gt -2\), \(h^{\prime}(x)\,=\dfrac{2\,f(x)}{x\,+\,2}\),
où \(f\) est la fonction étudiée en partie B.
a. Dresser le tableau de variations de \(h\) sur \(]-2\,;\,+\infty[\).
Les limites ne sont pas demandées.
b. En déduire que la valeur de \(x\) pour laquelle la distance \(JM\) est minimale est \(\alpha\) où \(\alpha\) est le
nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
3. On notera \(M_{\alpha}\) le point de \(C_g\) d’abscisse \(\alpha\).
a. Montrer que \(\ln(\alpha\,+\,2)\,=\,1\,-\,2\alpha\,-\,\alpha^2\).
b. En déduire que la tangente à \(C_g\) au point \(M_{\alpha}\) et la droite \((JM_{\alpha})\) sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont
perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à −1.
Exercice 4 (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit
être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\(A(2\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,4\,;\,3)\), \(C(4\,;\,4\,;\,1)\), \(D(0\,;\,0\,;\,4)\) et \(H(-1\,;\,1\,;\,2)\).
Affirmation 1 : les points \(A\), \(C\) et \(D\) définissent un plan \((P)\) d’équation \(8x\,-\,5y\,+\,4z\,-\,16\,=\,0\).
De plus, Affirmation 2 : les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
Affirmation 3 : les droites \((AC)\) et \((BH)\) sont sécantes.
On admet que le plan \((ABC)\) a pour équation cartésienne \(x\,-\,y\,+\,2z\,-\,2\,=\,0\).
Affirmation 4 : le point \(H\) est le projeté orthogonal du point \(D\) sur le plan \((ABC)\).
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en France (jour 2)
Comment réviser avec ce bac maths 2024
D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. Ensuite, en outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Par ailleurs, en complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les pièges classiques
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
- Pour l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifiez d’abord que l’intervalle est bien centré sur l’espérance, sinon la majoration ne s’applique pas telle quelle.
Bac maths 2024 : questions fréquentes
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais aussi le raisonnement par récurrence.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
