Terminale — chapitre 4 sur 12

Dérivation : composées et convexité

Q: Comment dériver une fonction composée ?

(g u)' = u'× g' u : par exemple (ln u)' = u'u, (e^u)' = u'e^u, (cos u)' = -u'sin u.

Q: À quoi sert la convexité ?

À démontrer des inégalités : par exemple e^x≥1+x car l'exponentielle est convexe et y = 1+x est sa tangente en 0.

Une fonction est convexe sur $I$ quand sa courbe est au-dessus de ses tangentes, ce qui équivaut à $f''\ge0$.

Courbe de $f(x) = x^3-3x$ : déplace $A$ ; la tangente est en dessous de la courbe sur la partie convexe ($x>0$), au-dessus sur la partie concave.

Théorème — dérivée d'une composée

$(g\circ u)' = u'\times g'\circ u$. Cas particuliers : $$(u^n)' = nu'u^{n-1}\qquad(\sqrt u)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}\qquad(e^u)' = u'e^u\qquad(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\qquad(\cos u)' = -u'\sin u\qquad(\sin u)' = u'\cos u.$$

Définition — convexité

$f$ dérivable sur $I$ est convexe si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, concave si elle est en dessous. Autrement dit, $f$ est convexe si $f'$ est croissante.

Théorème — caractérisation par $f''$

Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ : $f$ convexe $\iff f''\ge0$ sur $I$ ; $f$ concave $\iff f''\le0$.

Définition — point d'inflexion

Point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Exemple

$f(x) = x^3$ : $f''(x) = 6x$ ; concave sur $]-\infty\,;0]$, convexe sur $[0\,;+\infty[$, inflexion en $0$. $\exp$ est convexe sur $\mathbb R$, $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$.

Inégalités par convexité

$e^x\ge1+x$ pour tout $x$ (courbe au-dessus de la tangente en $0$) ; $\ln x\le x-1$ pour $x>0$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment dériver une fonction composée ?

$(g\circ u)' = u'\times g'\circ u$ : par exemple $(\ln u)' = \dfrac{u'}u$, $(e^u)' = u'e^u$, $(\cos u)' = -u'\sin u$.

Comment savoir si une fonction est convexe ?

Une fonction dérivable deux fois est convexe sur un intervalle ssi $f''\ge0$ (sa courbe est au-dessus de ses tangentes) ; concave ssi $f''\le0$.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f''$ s'annule en changeant de signe.

À quoi sert la convexité ?

À démontrer des inégalités : par exemple $e^x\ge1+x$ car l'exponentielle est convexe et $y = 1+x$ est sa tangente en $0$.

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