Par ailleurs, Voici le sujet n° 2 de l’épreuve de spécialité mathématiques donnée en Asie Pacifique lors de la session du bac 2024, suivi d’un corrigé complet rédigé sur une page dédiée. Par ailleurs, de plus, les quatre exercices indépendants couvrent une large part du programme de terminale et constituent un excellent entraînement en conditions réelles, sur une durée de quatre heures.
En outre, le premier exercice mêle l’étude de fonction avec un logarithme, la dérivée seconde, une fonction auxiliaire et une suite récurrente étudiée par récurrence. Ensuite, le deuxième repose sur des probabilités conditionnelles : un arbre pondéré, une suite géométrique, une recherche de seuil et un court programme Python. Par ailleurs, le troisième propose quatre affirmations à justifier (théorème des gendarmes, convexité lue sur une courbe, dénombrement, équation différentielle). De plus, de plus, le dernier relève de la géométrie dans l’espace : équation de plan, projeté orthogonal, représentation paramétrique, produit scalaire et rapport d’aires.
Pour progresser, cherchez chaque question seul et rédigez vos justifications comme le jour de l’examen, puis comparez avec la correction détaillée : les calculs y sont menés pas à pas et chaque résultat est mis en évidence.
L’essentiel : Corrigé du bac de maths Asie Pacifique 2024, n° 2 : chaque question est résolue avec les calculs et la méthode attendue. Idéal pour réviser l’examen en se corrigeant ; corrigé gratuit en PDF.
Bac 2024 Asie : organisation de l’épreuve
Avant tout, précisons que ce bac 2024 Asie reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Asie-Pacifique dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5,5, 5,5, 4 et 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction logarithme népérien, la dérivation, le raisonnement par récurrence et les probabilités conditionnelles. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
ASIE PACIFIQUE -SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Sujet n° 2
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 16
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
En outre, l’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Également, le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Tous les exercices doivent être traités.
Ainsi, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Ensuite, les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.
Exercice 1 : (5,5 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x^2-x\ln(x)\).
De plus, on admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0;+\infty[\).
Par ailleurs, on note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \(f^{\prime\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f^{\prime}\).
Partie A : Étude de la fonction f
1. De même, déterminer les limites de la fonction \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
2. En outre, pour tout réel \(x\) strictement positif, calculer \(f^{\prime}(x)\).
3. Également, montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif :
\(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2x-1}{x}\)
4. Étudier les variations de la fonction \(f^{\prime}\) sur \(]0;+\infty[\), puis dresser le tableau des
variations de la fonction \(f^{\prime}\) sur \(]0;+\infty[\).
Ainsi, on veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction \(f^{\prime}\) sur \(]0;+\infty[\).
Ensuite, les limites de la fonction \(f^{\prime}\) aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Par ailleurs, montrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation f(x) = x.
On considère dans cette partie la fonction \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x-\ln(x)\).
De même, on admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\), on note \(g^{\prime}\) sa dérivée.
1. En outre, pour tout réel strictement positif, calculer \(g^{\prime}(x)\), puis dresser le tableau des variations de
la fonction \(g\).
Également, les limites de la fonction \(g\) aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. Ainsi, on admet que 1 est l’unique solution de l’équation \(g(x)=1\).
Ensuite, résoudre, sur l’intervalle \(]0;+\infty[\), l’équation \(f(x)=x\).
Partie C : Étude d’une suite récurrente
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=\dfrac{1}{2}\) et pour tout entier naturel \(n\),
\(u_{n+1}=f(u_n)=u_n^2-u_n\ln(u_n)\).
1. Par ailleurs, montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\),
\(\dfrac{1}{2}\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 1\).
2. De même, justifier que la suite \((u_n)\) converge.
En outre, on appelle \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\) et on admet que \(\ell\) vérifie l’égalité \(f(\ell)=\ell\).
3. Également, déterminer la valeur de \(\ell\).
Exercice 2 : (5,5 points)
Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s’intéresse aux
chances de victoire de ses prochaines parties.
Ainsi, elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70% des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d’après elle, la probabilité qu’elle gagne la suivante
est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
Ensuite, on s’appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Par ailleurs, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit les événements suivants :
• \(G_n\) : « Léa gagne la \(n\)-ième partie de la journée » ;
• \(D_n\) : « Léa perd la \(n\)-ième partie de la journée ».
De même, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(g_n\) la probabilité de l’événement \(G_n\).
En outre, on a donc \(g_1=0{,}5\).
1. Également, quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle \(P_{G_1}(D_2)\) ?
2. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour
les deux premières parties de la journée :
Exercice 2 du bac 2024 Asie : questions 3 à 9
3. Ainsi, calculer \(g_2\).
4. Ensuite, soit \(n\) un entier naturel non nul.
a. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour
les \(n\)-ième et (\(n\) + 1)-ième parties de la journée.
b. Par ailleurs, justifier que pour tout entier naturel non nul, \(g_{n+1}=0{,}5g_n+0{,}2\).
5. De même, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(v_n=g_n-0{,}4\).
a. En outre, montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(g_n=0{,}1\times 0{,}5^{n-1}+0{,}4\).
6. Étudier les variations de la suite \((g_n)\).
7. Donner, en justifiant, la limite de la suite \((g_n)\).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier \(n\) tel que \(g_n-0{,}4\leq\, 0{,}001\).
9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage
Python, afin qu’elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite \((g_n)\) sont
tous inférieurs ou égaux à \(0{,}4+e\), où \(e\) est un nombre réel strictement positif.
1 def seuil(e): 2 g=0.5 3 n=1 4 while...: 5 g=0.5g+0.2 6 n=... 7 return (n)
Exercice 3 : (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Soit \((u_n)\) une suite définie pour tout entier naturel \(n\) et vérifiant la relation suivante :
pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{1}{2}\lt u_n\leq\, \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}\).
Affirmation 1 :
\(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{1}{2}\).
2. Soit \(h\) une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−4 ; 4].
La représentation graphique \(C_{h^{\prime}}\) de sa fonction dérivée \(h^{\prime}\) est donnée ci-dessous.
Affirmation 2 : La fonction \(h\) est convexe sur [−1 ; 3].
3. Le code d’un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de
deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).
Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.
4. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x\ln(x)\).
Affirmation 4 : La fonction \(f\) est une solution sur \(]0;+\infty[\) de l’équation différentielle
\(xy^{\prime}-y=x\).
Exercice 4 : (5 points)
Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère le plan \((P)\) d’équation :
\((P):2x+2y-3z+1=0\)
On considère les trois points A, B et C de coordonnées :
A(1 ; 0 ; 1), B(2 ; − 1 ; 1) et C( − 4 ; − 6 ; 5) .
Le but de cet exercice est d’étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté
orthogonal dans un plan.
Partie A
1. Pour chacun des points A, B et C, vérifier s’il appartient au plan \((P)\).
2. Montrer que le point \(C^{\prime}(0\,;\,-2\,;\,-1)\) est le projeté orthogonal du point C sur le plan \((P)\).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
4. On admet l’existence d’un unique point H vérifiant les deux conditions :
\(\begin{cases} H\in(AB) \\ (AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales.} \end{cases}\)
Déterminer les coordonnées du point H.
Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\vec{HC}\) sont :
\(\vec{HC}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2}\\-\dfrac{11}{2}\\4\end{pmatrix}\)
1. Calculer la valeur exacte de \(\|\vec{HC}\|\).
2. Soit \(S\) l’aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de \(S\).
Partie C
On admet que \(HC^{\prime}=\sqrt{\dfrac{17}{2}}\).
1. Soit \(\alpha=\widehat{CHC^{\prime}}\).
Déterminer la valeur de \(\cos(\alpha)\).
2.
a. Montrer que les droites \((C^{\prime}H)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires.
b. Calculer \(S^{\prime}\) l’aire du triangle \(ABC^{\prime}\), on donnera la valeur exacte.
c. Donner une relation entre \(S\), \(S^{\prime}\) et \(\cos(\alpha)\).
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Asie-Pacifique (sujet 2)
Comment réviser avec ce bac 2024 Asie
Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction logarithme népérien ou la dérivation. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Puis en complément, l’article fonction logarithme de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les pièges classiques
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
- Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Questions fréquentes sur ce bac 2024 Asie
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction logarithme népérien, la dérivation et le raisonnement par récurrence, mais aussi les probabilités conditionnelles.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
