Bac 2022 Liban : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2022 de Mayotte, du Liban et de Madagascar (centres étrangers, groupe 1), posé le 18 mai 2022, suivi d’un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. On y suit d’abord les forfaits JUNIOR et SENIOR d’une station de ski et leur option coupe-file : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, puis loi binomiale sur 30 skieurs. Ensuite, un QCM mêle un récipient d’eau qui s’évapore, des propriétés du logarithme, des asymptotes, une tangente et un point d’inflexion. Par ailleurs, le troisième exercice étudie \(1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}\) et la suite récurrente associée, avec une fonction Python de seuil. De plus, le dernier construit dans l’espace trois plans médiateurs pour trouver le centre et le rayon d’une sphère.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 1).

Ensuite, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2022 Liban : présentation de l’épreuve

D’abord, ce bac 2022 Liban vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 à Mayotte et au Liban (jour 1), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 6 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et la convexité. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 1 (jour 1)
Centres étrangers groupe 1 (Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mayotte, Mozambique et Ukraine) — 18 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 6 points (le total sera ramené sur 20 points). (Chaque exercice est noté sur 7 points au Liban.)

La clarté et la précision de l’argumentation ainsi que la qualité de la rédaction sont notées sur 2 points.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (6 points)

Principaux domaines abordés : Probabilités

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’âge du skieur :

un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ;
un forfait SENIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l’option coupe-file qui permet d’écourter le temps d’attente aux remontées mécaniques.

On admet que :

20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ;
parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l’option coupe-file ;
parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l’option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements :

\(J\) : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
\(C\) : « le skieur choisit l’option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité \(P(J\cap C)\).

3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l’option coupe-file est égale à \(0{,}112\).

4. Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est égale à 0,112.

On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l’échantillon ayant choisi l’option coupe-file.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

Donner les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité qu’au moins un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

3. Calculer la probabilité qu’au plus un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le résultat à \(10^{-3}\).

4. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\).

Exercice 2 (6 points)

Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction logarithme.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. Un récipient contenant initialement 1 litre d’eau est laissé au soleil.

Toutes les heures, le volume d’eau diminue de 15 %.

Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
2 heures	8 heures	9 heures	13 heures

2. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=4\ln(3x)\).

Pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f(2x)=f(x)+\ln(24)\)	\(f(2x)=f(x)+\ln(16)\)	\(f(2x)=\ln(2)+f(x)\)	\(f(2x)=2f(x)\)

3. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}.\]

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal. La courbe \(\mathcal{C}_g\) admet :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
une asymptote verticale et une asymptote horizontale.	une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.	aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.	aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

Exercice 2 du bac 2022 Liban : questions 4 à 7

Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction \(h\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\) par :

\[h(x)=x^2[1+2\ln(x)].\]

On note \(\mathcal{C}_h\) la courbe représentative de \(h\) dans un repère du plan.

Ensuite, on admet que \(h\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\).

On note \(h^{\prime}\) sa dérivée et \(h^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,2]\), on a :

\[h^{\prime}(x)=4x(1+\ln(x)).\]

4. Sur l’intervalle \(]\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2]\), la fonction \(h\) s’annule :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
exactement 0 fois.	exactement 1 fois.	exactement 2 fois.	exactement 3 fois.

5. Une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_h\) au point d’abscisse \(\sqrt{\text{e}}\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(y=(6\text{e}^{\frac{1}{2}})\cdot x\)	\(y=(6\sqrt{\text{e}})\cdot x+2\text{e}\)	\(y=6\text{e}^{\frac{x}{2}}\)	\(y=(6\text{e}^{\frac{1}{2}})\cdot x-4\text{e}\)

6. Sur l’intervalle \(]0\,;\,2]\), le nombre de points d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_h\) est égal à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
0	1	2	3

7. (Question posée uniquement au Liban.) On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par

\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\quad\text{et}\quad u_0=6.\]

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
la suite \((u_n)\) est strictement croissante.	la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.	la suite \((u_n)\) n’est pas monotone.	la suite \((u_n)\) est constante.

Exercice 3 (6 points)

Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction exponentielle.

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :

\[f(x)=1+x-\text{e}^{0{,}5x-2}.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f^{\prime}\) sa dérivée.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

b. Démontrer que, pour tout réel \(x\) non nul, \(f(x)=1+0{,}5x(2-\dfrac{\text{e}^{0{,}5x}}{0{,}5x}\times \text{e}^{-2})\).

En déduire la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. a. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).

b. Démontrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(f^{\prime}(x)\lt 0\) est l’intervalle \(]4+2\ln(2)\,;\,+\infty[\).

3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). On fera figurer la valeur exacte de l’image de \(4+2\ln(2)\) par \(f\).

4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur l’intervalle \([-1\,;\,0]\).

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f\) est la fonction définie à la partie A.

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. On notera \(\ell\) la limite.

2. a. On rappelle que \(f\) vérifie la relation \(\ell=f(\ell)\).

Démontrer que \(\ell=4\).

b. On considère la fonction valeur écrite ci-dessous dans le langage Python :

def valeur (a) :
    u = 0
    n = 0
    while u <= a:
        u=1 + u - exp(0.5*u - 2)
        n = n+1
    return n

L’instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 4 (6 points)

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points A\((5\,;\,0\,;\,-1)\), B\((1\,;\,4\,;\,-1)\), C\((1\,;\,0\,;\,3)\), D\((5\,;\,4\,;\,3)\) et E\((10\,;\,9\,;\,8)\).

1. a. Soit R le milieu du segment [AB].

Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur \(\vec{\text{AB}}\).

b. Soit \(\mathcal{P}_1\) le plan passant par le point R et dont \(\vec{\text{AB}}\) est un vecteur normal. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}_1\) est :

\[x-y-1=0.\]

c. Démontrer que le point E appartient au plan \(\mathcal{P}_1\) et que EA = EB.

2. On considère le plan \(\mathcal{P}_2\) d’équation cartésienne \(x-z-2=0\).

a. Justifier que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.

b. On note \(\Delta\) la droite d’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{array}.\quad(t\in\mathbb{R}).\]

3. On considère le plan \(\mathcal{P}_3\) d’équation cartésienne \(y+z-3=0\).

Justifier que la droite \(\Delta\) est sécante au plan \(\mathcal{P}_3\) en un point \(\Omega\) dont on déterminera les coordonnées.

Si S et T sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points M de l’espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\) et \(\mathcal{P}_3\) sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].

4. a. Justifier que \(\Omega\text{A}=\Omega\text{B}=\Omega\text{C}=\Omega\text{D}\).

b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Bac 2022 Liban : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Questions fréquentes sur ce bac 2022 Liban

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 à Mayotte et au Liban (jour 1)

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