Corrigé septembre 2022 : maths en France (septembre, jour 2)

Sommaire

De plus, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques de septembre 2022 en Métropole et aux Antilles-Guyane (jour 2, épreuve du 9 septembre 2022), suivi de son corrigé détaillé question par question. En outre, le premier exercice se passe dans le magasin de location de vélos d’Hugo : arbre pondéré avec une probabilité inconnue, probabilité conditionnelle, loi du prix de location et loi binomiale sur 30 clients. Ensuite, le deuxième est un QCM de six questions sur des suites couplées, un programme Python, la convexité lue sur la courbe de f’ et une primitive. Par ailleurs, le troisième étudie la fonction \(x \mapsto x – x\ln x\), une suite récurrente qui converge vers 1 et une famille de fonctions \(f_k\). Le dernier calcule dans l’espace la distance entre deux droites non coplanaires, puis le volume d’un tétraèdre.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en France (septembre, jour 2).

En outre, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Corrigé septembre 2022 : ce que contient le sujet

D’abord, ce corrigé septembre 2022 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en France (septembre, jour 2), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’algorithmique en Python et la convexité. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Jour 2
Métropole, Antilles-Guyane — 9 septembre 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : probabilités

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain.

Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.

On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :

Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4 ;
Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7 ;
La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58.

Ensuite, on appelle \(\alpha\) la probabilité que le client loue un vélo de route, avec \(0 \leq\, \alpha \leq\, 1\).

On considère les évènements suivants :

\(R\) : « le client loue un vélo de route » ;
\(E\) : « le client loue un vélo électrique » ;
\(\overline{R}\) et \(\overline{E}\), évènements contraires de \(R\) et \(E\).

On modélise cette situation aléatoire à l’aide de l’arbre reproduit ci-dessous :

Si \(F\) désigne un évènement quelconque, on notera \(p(F)\) la probabilité de \(F\).

1. Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.

Exercice 1 du corrigé septembre 2022 : questions 2 à 6

2. a. Montrer que \(p(E) = 0{,}7 – 0{,}3\alpha\).

b. En déduire que : \(\alpha = 0{,}4\).

3. On sait que le client a loué un vélo électrique.

Déterminer la probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.

4. Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?

5. Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de 25 euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de 35 euros.

Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de 15 euros.

On appelle \(X\) la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée.

a. Donner la loi de probabilité de \(X\). On présentera les résultats sous forme d’un tableau.

b. Calculer l’espérance mathématique de \(X\) et interpréter ce résultat.

6. Lorsqu’on choisit 30 clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On note \(Y\) la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.

On rappelle que la probabilité de l’événement \(E\) est : \(p(E) = 0{,}58\).

a. Justifier que \(Y\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

c. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définie par \(a_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 1\) et \(b_n = a_n – 2\).

On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\((a_n)\) est arithmétique	\((b_n)\) est géométrique	\((a_n)\) est géométrique	\((b_n)\) est arithmétique

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par :

\[u_0 = 2,\quad v_0 = 1 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n : \{\begin{array}{l} u_{n+1} = u_n + 3v_n \\ v_{n+1} = u_n + v_n. \end{array}.\]

2. On peut affirmer que :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\{\begin{array}{l} u_2 = 5 \\ v_2 = 3 \end{array}.\)	\(u_2^2 – 3v_2^2 = -2^2\)	\(\dfrac{u_2}{v_2} = 1{,}75\)	\(5u_1 = 3v_1\)

Exercice 2 du corrigé septembre 2022 : questions 3 à 6

3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :

def valeurs() :
  u = 2
  v = 1
  for k in range(1,11)
    c = u
    u = u + 3*v
    v = c + v
  return (u, v)

Ce programme renvoie :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(u_{11}\) et \(v_{11}\)	\(u_{10}\) et \(v_{11}\)	les valeurs de \(u_n\) et \(v_n\) pour \(n\) allant de 1 à 10	\(u_{10}\) et \(v_{10}\)

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction \(f\) deux fois dérivable sur l’intervalle \([-4~;~2]\). On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\) et \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de \(f\).

Par ailleurs, on donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathcal{C}^{\prime}\) de la fonction dérivée \(f^{\prime}\) dans un repère du plan. On donne de plus les points \(\text{A}(-2~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0)\) et \(\text{C}(0~;~5)\).

4. La fonction \(f\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
concave sur \([-2~;~1]\)	convexe sur \([-4~;~0]\)	convexe sur \([-2~;~1]\)	convexe sur \([0~;~2]\)

5. On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}^{\prime}\) au point B. On a :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f^{\prime}(1) \lt 0\)	\(f^{\prime}(1) = 5\)	\(f^{\prime\prime}(1) \gt 0\)	\(f^{\prime\prime}(1) = -5\)

6. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2 + 1)\text{e}^x\).

La primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0) = 1\) est définie par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x) = (x^2 – 2x + 3)\text{e}^x\)	\(F(x) = (x^2 – 2x + 3)\text{e}^x – 2\)	\(F(x) = (\dfrac{1}{3}x^3 + x)\text{e}^x + 1\)	\(F(x) = (\dfrac{1}{3}x^3 + x)\text{e}^x\)

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x) = x – x\ln x,\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

1. Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.

2. Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

3. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Démontrer que, pour tout réel \(x \gt 0\), on a : \(f^{\prime}(x) = -\ln x\).

b. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\) et dresser son tableau de variations.

4. Résoudre l’équation \(f(x) = x\) sur \(]0~;~+\infty[\).

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[\{\begin{array}{l} u_0 = 0{,}5 \\ u_{n+1} = u_n – u_n\ln u_n \ \text{ pour tout entier naturel } n, \end{array}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. On rappelle que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0{,}5~;~1]\).

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0{,}5 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 1\).

2. a. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.

b. On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\). Déterminer la valeur de \(\ell\).

Partie C

Pour un nombre réel \(k\) quelconque, on considère la fonction \(f_k\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f_k(x) = kx – x\ln x.\]

1. Pour tout nombre réel \(k\), montrer que \(f_k\) admet un maximum \(y_k\) atteint en \(x_k = \text{e}^{k-1}\).

2. Vérifier que, pour tout nombre réel \(k\), on a : \(x_k = y_k\).

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\), on considère :

la droite \(\mathcal{D}\) passant par le point \(\text{A}(2~;~4~;~0)\) et dont un vecteur directeur est \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) ;
la droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) dont une représentation paramétrique est : \(\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 3 + t \\ z = 3 + t \end{array}. ,\ t \in \mathbb{R}\).

1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur \(\vec{u^{\prime}}\) de la droite \(\mathcal{D}^{\prime}\).

b. Montrer que les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) ne sont pas parallèles.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\).

On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite \(\Delta\) perpendiculaire aux droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\). Cette droite \(\Delta\) coupe chacune des droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\). On appellera M le point d’intersection de \(\Delta\) et \(\mathcal{D}\), et M’ le point d’intersection de \(\Delta\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\).

On se propose de déterminer la distance MM’ appelée « distance entre les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) ».

2. Montrer que le vecteur \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(\Delta\).

3. On note \(\mathcal{P}\) le plan contenant les droites \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\), c’est-à-dire le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\).

b. En déduire qu’une équation du plan \(\mathcal{P}\) est : \(2x – y – 5z = 0\).

c. On rappelle que M’ est le point d’intersection des droites \(\Delta\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\).

Exercice 4 du corrigé septembre 2022 : questions 4 à 5

Justifier que M’ est également le point d’intersection de \(\mathcal{D}^{\prime}\) et du plan \(\mathcal{P}\).

En déduire que les coordonnées du point M’ sont \((3~;~1~;~1)\).

4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

b. Justifier que le point M a pour coordonnées \((1~;~2~;~0)\).

c. Calculer la distance MM’.

5. On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l} x = 5t \\ y = 2 + 5t \\ z = 1 + t \end{array}.\) avec \(t \in \mathbb{R}\).

a. Montrer que la droite \(d\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

b. On note \(\ell\) la distance d’un point N de la droite \(d\) au plan \(\mathcal{P}\).

Exprimer le volume du tétraèdre ANMM’ en fonction de \(\ell\).

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : \(V = \dfrac{1}{3} \times B \times h\) où \(B\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

c. Justifier que, si \(\text{N}_1\) et \(\text{N}_2\) sont deux points quelconques de la droite \(d\), les tétraèdres \(\text{AN}_1\text{MM}^{\prime}\) et \(\text{AN}_2\text{MM}^{\prime}\) ont le même volume.

Bien travailler ce corrigé septembre 2022

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Questions fréquentes sur ce corrigé septembre 2022

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’algorithmique en Python, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en France (septembre, jour 2)

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