Sujet Polynésie 2025 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Cette page contient le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Polynésie, posé le 18 juin 2025 : l’énoncé complet, puis un corrigé détaillé question par question. Le premier exercice suit une donnée binaire (0 ou 1) transmise de machine en machine avec 10 % d’erreurs : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique démontrée par récurrence, limite égale à 0,5, puis simulation en Python. De plus, le deuxième étudie la fonction \(x \mapsto x\ln(x-2)\) : conjectures graphiques, limite en 2, étude de la dérivée à l’aide d’une fonction auxiliaire, point d’inflexion et nombre de tangentes de pente 3. En outre, le troisième, en géométrie dans l’espace, fait calculer un projeté orthogonal, une hauteur et le volume d’un tétraèdre. Ensuite, le dernier est un vrai-faux : dénombrement, aire sous la parabole, intégration par parties, équation différentielle et limite de suite.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Polynésie (jour 2).

De plus, vous préparez le bac de maths 2027 ? En outre, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Sujet Polynésie 2025 : ce que contient le sujet

Avant tout, précisons que ce sujet Polynésie 2025 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Polynésie (jour 2) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence et les limites. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
Polynésie — 18 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (5 points)

Dans tout l’exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à \(10^{-3}\) près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1.

Une donnée de ce type est transmise successivement d’une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c’est-à-dire en transmettant l’information telle qu’elle l’a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 et devient 1).

La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.

Dans tout l’exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\), on note :

\(V_n\) l’évènement : « la \(n\)-ième machine détient la valeur 1 » ;
\(\overline{V_n}\) l’évènement : « la \(n\)-ième machine détient la valeur 0 ».

1. a. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.

b. Démontrer que \(P(V_3) = 0{,}82\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

c. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.

2. Pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\), on note \(p_n = P(V_n)\).

La première machine a reçu la valeur 1, on a donc \(p_1 = 1\).

a. Démontrer que pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\) :

\[p_{n+1} = 0{,}8p_n + 0{,}1.\]

b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\),

\[p_n = 0{,}5 \times 0{,}8^{n-1} + 0{,}5.\]

c. Calculer la limite de \(p_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d’exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel \(n\) qui représente le nombre de transmissions réalisées d’une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l’instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l’intervalle \([0\,;\,1[\).

1   def simulation(n):
2      donnee = 1
3      liste = [donnee]
4      for k in range(n):
5          if rand() <0.1
6             donnee = 1 - donnee
7          liste.append(donnee)
9      return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1, 0, 0, 1]. Cette liste traduit :

qu’une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ;
la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
la deuxième machine a transmis la donnée qu’elle détient de façon fidèle à la troisième ;
la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu’elle détient à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l’algorithme ci-dessus.

2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1, 1, 1, 1, 1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1].

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]2\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = x\ln(x – 2).\]

Une partie de la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous.

1. Conjecturer, à l’aide du graphique, le sens de variation de \(f\), ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

2. Résoudre l’équation \(f(x) = 0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).

3. Calculer \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\ x \gt 2}} f(x)\).

Ce résultat confirme-t-il l’une des conjectures faites à la question 1. ?

4. Démontrer que pour tout \(x\) appartenant à \(]2\,;\,+\infty[\) :

\[f^{\prime}(x) = \ln(x – 2) + \dfrac{x}{x – 2}.\]

5. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]2\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = f^{\prime}(x)\).

a. Démontrer que pour tout \(x\) appartenant à \(]2\,;\,+\infty[\), on a :

\[g^{\prime}(x) = \dfrac{x – 4}{(x – 2)^2}.\]

b. On admet que \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\ x \gt 2}} g(x) = +\infty\) et que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

En déduire le tableau des variations de la fonction \(g\) sur \(]2\,;\,+\infty[\). On fera apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction \(g\).

c. En déduire que, pour tout \(x\) appartenant à \(]2\,;\,+\infty[\), \(g(x) \gt 0\).

d. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).

6. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]2\,;\,+\infty[\) et préciser les coordonnées d’un éventuel point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction \(f\).

7. Combien de valeurs de \(x\) existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de \(f\) admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?

Exercice 3 (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points suivants :

\(\text{A}(1\,;\,3\,;\,0)\), \(\text{B}(-1\,;\,4\,;\,5)\), \(\text{C}(0\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{D}(-2\,;\,2\,;\,1)\).

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Soit \(\Delta\) la droite passant par le point D et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\).

a. Démontrer que la droite \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABC).

b. Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne :

\[2x – y + z + 1 = 0.\]

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

4. On appelle H le point de coordonnées \((-\dfrac{2}{3}\ \ \dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{5}{3})\).

Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

5. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac{1}{3}B \times h\), où \(B\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) est sa hauteur relative à cette base.

a. Montrer que \(\text{DH} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\).

b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

6. On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique :

\[\begin{cases} x = 1 – 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases} \quad \text{où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.\]

La droite \(d\) et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient \(E\) et \(F\) les ensembles \(E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\}\) et \(F = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9\}\).

Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d’éléments distincts de \(E\) que de combinaisons à 4 éléments de \(F\).

2. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée \(f\), ainsi que le carré ABCD de côté 3.

Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

3. On considère l’intégrale \(J\) ci-dessous :

\[J = \int_1^2 x\ln(x)\,\text{d}x.\]

Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d’obtenir : \(J = \dfrac{7}{11}\).

4. Sur \(\mathbb{R}\), on considère l’équation différentielle

\[(E) : \quad y^{\prime} = 2y – \text{e}^x.\]

Affirmation n° 4 : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{2x}\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).

5. Soit \(x\) donné dans \([0\,;\,1[\). On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[u_n = (x – 1)\text{e}^n + \cos(n).\]

Affirmation n° 5 : La suite \((u_n)\) diverge vers \(-\infty\).

Bien travailler ce sujet Polynésie 2025

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et les suites arithmético-géométriques. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.

Questions fréquentes sur ce sujet Polynésie 2025

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques et le raisonnement par récurrence, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Polynésie (jour 2)

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